全空間 U と U での移動の一意対応性

補題 ^4.1

全空間を ^U とし^, その全空間 ^U に対して全単射写像 によって生成されるコンフィギュ レーション空間を ^U とする^. このとき^, 以下の ^[I],[II] が成り立つ^.

[I] : 全空間 ^U における線状ロボット ^AB の任意の移動に対して^, 一意に定まる ^U での 線状ロボット ^AB の移動が必ず存在する^.

[II] : コンフィギュレーション空間 ^U における線状ロボット ^AB の任意の移動に対して^, 一意に定まる全空間 ^U での線状ロボット ^AB の移動が必ず存在する^.

証明

全空間 ^U に対する ^U を生成する写像 は^,

: U D ! U ; one toone, onto

2 2

Z(F(x;y);) 7 ! Z(x;y;)

と定義されているものとする^. この写像 は全単射であることから^,その逆写像 ¹ が存 在し^,それを^,

1

: U ! U D ; one to one, onto

2 2

Z(x;y;) 7 ! Z(F(x;y);)

とおく^.

[I]全空間 ^U における線状ロボット^AB の移動を任意に１つ固定するため^,その移動を生 成する単射写像として^,以下を満たす写像 を^,

: R 1

[0;1] ! U D ; one toone

2 2

t 7 ! (t)=Z(F(x(t);y(t));(t))

と任意に１つ選び固定する^. さらに^,この単射写像 によって任意に１つ固定される の 像 ^M すなわち^, 全空間^U における線状ロボット^AB の移動^M を^,

M =f(t)2U Djt 2[0;1]g

とおく^. ここで の定義により^, 任意の ^t2[0;1] に対して ^{Z(F(x;y);)2U D} が必ず 存在することから^, それを^,

(t):=Z(F(~x(t);y(t));~

~

(t))

とおく^. さらに の定義により^, 任意の ^{Z(F(x;y);)2 U D} に対して ^{Z(x;y;) 2 U} が必ず存在することから^, それを^,

(Z(F(~x(t);y(t));~

~

(t))):=Z(x(t);y(t);(t))

とおく^. このとき と の合成写像 ^Æ を ^:=Æ とおくと^,

(t) := (Æ)(t)=((t))

= (Z(F(~x(t);y(t));~

~

(t)))

= Z(x(t);y(t);(t))

となる^. ここで は単射で は全単射であることから^, その合成写像 は単射となり^,

: R 1

[0;1] ! U ; one toone

2 2

t 7 ! (t)=Z(x(t);y(t);(t))

が成り立つ^. このとき^, 写像 による ^M の ^U への像 ^(M)を^,

: UD ! U

M 7 ! M:=(M)

とおくと ^Mは 写像 ^=Æ と 写像 の定義によって^,

M = (M)

= f((t))2U jt2[0;1]g

= f(t)2U j t 2[0;1]g

となる^. ここで は単射であることから^{, M}は一意に定まることとなる^.

以上のことから^, 任意の に対して^:=Æ とおくと^, その によって一意に定まる^U での線状ロボット ^AB の移動 ^Mが必ず存在することとなる^.

[II]U における線状ロボット^AB の移動を任意に１つ固定するため^, その移動を生成する 単射写像として^, 以下を満たす写像

: R 1

[0;1] ! U ; one to one

2 2

t 7 ! (t)=Z(x(t);y(t);(t))

を任意に１つ選び固定する^. さらに^,この単射写像によって任意に１つ固定されるの 像 ^M すなわち^,U における線状ロボット^AB の移動^M を^,

ここで の定義により^, 任意の ^{t 2[0;1]}に対して ^Z(x;y;)2U が必ず存在することか ら^, それを^,

(t):=Z(~x (t);y(t);~

~

(t))

とおく^. さらに ¹ の定義により^,任意の ^Z(x;y;)2U に対して ^{Z(F(x;y);) 2UD} が必ず存在することから^, それを^,

Z(F(x(t);y(t));(t)):=

1

(Z(~x(t);y(t);~

~

(t)))

とおく^. このとき^, と ¹ の合成写像 ^1Æを ^{:= 1Æ}とおくと^,

(t) := ( 1

Æ)(t) = 1

((t))

=

1

(Z(~x(t);y(t);~

~

(t)))

= Z(F(x(t);y(t));(t))

となる^. また は単射で ¹ は全単射であることから^, その合成写像 は単射となり^,

: R 1

[0;1] ! U D ; one toone

2 2

t 7 ! (t)=Z(F(x(t);y(t));(t))

となる^. このとき^, 写像 ¹ による ^M の ^UD への像 ^1(M) を^,

1

: U ! U D

M 7 ! M :=

1

(M)

とおくと ^M は 写像^{= 1Æ}と 写像 ¹ の定義によって^,

M =

1

(M)

= f

1

((t))2U Djt2[0;1]g

= f(t)2U Djt2[0;1]g

となる^. ここで は単射であることから^{, M} は一意に定まることとなる^.

以上のことから^,任意の に対して^{:= 1Æ}とおくと^,その によって一意に定ま る ^{U D} での線状ロボット ^AB の移動^M が必ず存在することとなる^.

よって ^[I],[II] により補題が成り立つ^.

証明終り^.