A. 倍角の公式
倍角の公式 任意の角xについて，以下の式が成り立つ．
cos 2x=cos2x−sin2x sin 2x=2 sinxcosx, tan 2x= 2 tanx 1−tan2x
=1−2 sin2x
=2 cos2x−1,
これらの式をまとめて，倍角の公式 (formula of double angle)という．
（証明）『cosの加法定理』(p.171)において sin 2x=sin(x+x)=sinx·cosx+cosx·sinx
=2 sinxcosx tan 2x=tan(x+x)= tanx+tanx
1−tanx·tanx = 2 tanx 1−tan2x α=β=xを代入すれば，右のようにして
導かれる．
【暗 記 48：倍角の公式】
上の証明を参考に，cos 2x=cos2x−sin2xを示せ．
さらに，この式をcosxだけの式で表せ．また，sinxだけの式で表せ．
【解答】
cos 2x=cos(x+x)=cosx·cosx−sinx·sinx=cos2x−sin2x ◀『cosの加法定理』(p.171)
sin2x=1−cos2xであるのでcos 2x=cos2x−(1−cos2x)=2 cos2x−1 ◀『三角関数の相互関係2.』(p.155) また，cos2x=1−sin2xから
cos 2x=(1−sin2x)−sin2x=1−2 sin2x
【例題49】 0<x< π, cosx= 1
3 のとき，以下の問いに答えよ．
1. sinx, tanxの値を求めよ． 2. cos 2x, sin 2x, tan 2xの値を求めよ．
【解答】
1. 0<x< πからsinx>0となるので sinx=
√ 1−
(1 3
)2
= 2√ 2
3 , tanx=
2√ 2 3 1 3
=2√ 2 2. cos 2x=2 cos2x−1=2
(1 3
)2
−1=−7 9 sin 2x=2 sinxcosx=2· 2√
2 3 · 1
3 = 4√ 2 9 tan 2x= 2 tanx
1−tan2x
= 2·2√ 2 1−(2√
2)2
=−4√ 2 7
◀【別解】
tan 2x = sin 2x
cos 2x = −79 4√ 2 9
=
−4√ 2
—13th-note— 4.4 三角関数の加法定理とその応用7 · · ·
173
【練習50：倍角の公式】
(1) 以下の式をcosxのみの式かsinxのみの式で表し，降べきの順に整理しなさい．
(a) cos 2x−sinx (b) cosxsin 2x
(2) α, βは鋭角とし，cosα=
√3
3 , tanβ=2とする．cos 2α, tan 2βを求めなさい．
(3) (2)のα, βについて，sin 2α, tan 2α, cos 2β, sin 2βを求めなさい．
【解答】
(1) (a)（与式）=(1−2 sin2x)−sinx
=−2 sin2x−sinx+1
(b)（与式）=cosx·(2 sinxcosx)=2 sinxcos2x
=2 sinx(1−sin2x)=−2 sin3x+2 sinx ◀『三角関数の相互関係2.』(p.155)
(2) cos 2α=2 cos2α−1=2 ( √
3 3
)2
−1=−1 3 tan 2β= 2 tanβ
1−tan2β
= 2·2 1−22
=−4 3 (3) 0≦2α < πよりsin 2α >0であるので，
sin 2α= √
1−cos22α=
√ 1−
(
−1 3
)2
= 2√ 2
3 ． ◀『三角関数の相互関係2.』(p.155)
さらに，tan 2α=
2√ 2 3
−13
=−2√ 2．
一方，0≦2β < π, tan 2β <0より2βは第2象限の角でありcos 2β <
0, sin 2β >0．ここで 1+tan22β= 1
cos22β ⇔ 1+ (
−4 3
)2
= 1
cos22β ◀『三角関数の相互関係4.』(p.155)
⇔ 25
9 = 1
cos22β よって，cos 2α=−
√ 9 25 =−3
5．また tan 2β= sin 2β
cos 2β ⇔ sin 2β=tan 2βcos 2β ◀『三角関数の相互関係1.』(p.155)
= (
−4 3 )
· (
−3 5 )
= 4 5
B. 半角の公式
半角の公式 任意の角xについて，以下の式が成り立つ．
cos2 x
2 = 1+cosx
2 , sin2 x
2 = 1−cosx
2 , tan2 x
2 = 1−cosx 1+cosx これらをまとめて，半角の公式 (formula of half angle)という．
（証明）『倍角の公式』(p.173)の一つcos 2x=1−2 sin2xにおいて，xに x
2 を代入すれば cosx=1−2 sin2 x
2 となる．これをsin2 x
2 について解けば
⇔ 2 sin2 x
2 =1−cosx ⇔ sin2 x
2 = 1−cosx 2
【暗 記 51：半角の公式】
1. 上の証明を参考に，等式cos2 x
2 = 1+cosx
2 を導け．
2. 等式tan2 x
2 = 1−cosx
1+cosx を示せ．
【解答】
1. 『倍角の公式』(p.173)の一つcos 2x=2 cos2x−1において，xに x 2 を代入して
cosx=2 cos2 x
2 −1⇔1+cosx=2 cos2 x 2
⇔cos2 x
2 = 1+cosx
2 ■
2. tan2 x 2 =
sin2 x 2 cos2 x 2
=
1−cosx 2 1+cosx
2
= 1−cosx
1+cosx ◀分母・分子に2を掛けた
【例題52】 以下の四角に当てはまる，xの定数倍を答えよ．
cos2x= 1+cos ア
2 , sin2 イ = 1−cos 3x
2 , 2 cos22x=1+cos ウ
【解答】 アの半分がxなのでアは2x，3xの半分がイ= 3 2 x， cos22x= 1+cos 4x
2 なのでウ=4x．
—13th-note— 4.4 三角関数の加法定理とその応用· · ·
175
【練習53：半角の公式】
0<x< π, cosx=
√3
3 とする．このとき，cos x 2, sin x
2, tan x
2 を計算せよ．
【解答】
0< x 2 < π
2 よりcos x 2, sin x
2, tan x
2 はすべて正．
cos x 2 =
√ 1+
√3 3
2 =
√ 3+ √
3
6 ◀
√ 3+√
3の 二 重 根 号 を 外 す こ と はできない．
sin x 2 =
√ 1−
√3 3
2 =
√ 3− √
3 6
tan x 2 =
vu ut
1−
√3 3
1+
√3 3
=
√ 3−√
3 3+√
3
=
√( 3− √
3)2
6
= 3− √
√ 3 6
= 3√ 6−3√
2
6 =
√6− √ 2 2
【暗 記 54：加法定理から導く】
三角関数の加法定理の３つの式
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ, sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ tan(α+β)= tanα+tanβ
1−tanαtanβ
から，倍角の公式・半角の公式をすべて導きなさい．
【解答】 （導出は省略）「倍角の公式」はp.173のように導かれ，「半角の 公式」はcosの2倍角の公式を用いて，p.175のように求められる．
加法定理からよい計算練習になるうえ，倍角の公式・半角の公式も自然に覚えられる．
【発 展 55：tanの半角で表す】
t=tan x
2 とするとき，cosx, sinx, tanxをtの式で表せ．
C. 三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その２〜
【練習56：三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その２〜】
(1) 関数y=−cos 2θ−2 sinθ (0≦θ <2π)の最大値・最小値を求めよ．
(2) 0≦θ <2πのとき，方程式sin 2θ=cosθを解きなさい．
(3) 0≦θ <2πのとき，不等式cos2 θ
2 ≧cosθ+1を解きなさい．
【解答】
(1) y=−cos 2θ−2 sinθ
=−(1−2 sin2θ)−2 sinθ
『倍角の公式』(p.173)を用いて sinθにそろえた．
sinθ=tとおく．0≦θ <2πより−1≦t≦1なので y=2t2−2t−1
=2 (
t− 1 2
)2
− 3
2 (−1≦t≦1)
右欄外の図より，yは ◀
y=2t2−2t−1
−1 1 3
1 2
−32
t y
O
t=−1のとき最大値3，t= 1
2 のとき最小値−2 3 をとる．t=sinθであるので
θ= 3
2πのとき最大値3
◀ 1
1
−1
t=sinθ= 1 2
t=sinθ=−1 cos sin
O
θ= π 6 , 5
6πのとき最小値−2 3
(2) sin 2θ=cosθ⇔2 sinθcosθ=cosθ ◀『倍角の公式』(p.173)を用いて共
通因数を作った．
⇔cosθ(2 sinθ−1)=0
⇔cosθ=0, sinθ= 1 2 0≦θ <2πの範囲でcosθ=0, sinθ= 1
2 を満たすθは，右欄外の図よ りθ= π
6 , π 2 , 5
6π, 3 2π．
◀
sinθ= 1 2
cosθ=0 cos sin
O
(3) cos2 θ
2 ≧cosθ+1⇔ 1+cosθ
2 ≧cosθ+1 ◀『 半 角 の 公 式 』(p.175)を 用 い て cosθでそろえた
⇔1+cosθ≧2 cosθ+2
⇔cosθ≦−1
0≦θ <2πの範囲で上の不等式を満たすθの範囲は，右欄外の図の太
線部分である．すなわちθ=π． ◀
−1 cos
sin
O
【発 展 57：方程式の解の個数】
f(x)=sinx− 1
2 cos 2x（0≦x<2π）とする．
1 この関数の最大値，最小値と，そのときのxの値を求めよ．
2 方程式 f(x)=aが4つの解を持つようなaの範囲，3つの解を持つようなaの値を求めよ．
【発 展 58：3倍角の公式】
1 sin 3θをsinθだけの式で表せ．また，cos 3θをcosθだけの式で表せ．
2 0≦θ≦πのとき，方程式cos 3θ+2 cosθ=0を解きなさい．
上の例題の1で求めた等式を，3倍角の公式という．
—13th-note— 4.4 三角関数の加法定理とその応用· · ·