例 4

< x

^r

^の導関数 >

前のページより任意の実数rに対し，

(x^r)⁰ =rx^r−1 が成り立つ。

例 1

y=√³

x⁵の導関数を求めたい。分数指数の定義 √ⁿ

x^m = (√ⁿ

x)^m =x^mn から

³√₃ x⁵´0

=³ x⁵³´0

= 5

3x⁵³⁻¹ = 5

3x²³ = 5 3

√3

x²

問 1

次の導関数を求め，結果を根号(√ , √ⁿ 等)で表せ。

(1) ³

√4

x⁵´0

= (2) ³

√5

x⁷´0

= (3) ³√

x³´0

=

例 2

^{y= 1}

x² の導関数を求めたい。負の指数の定義 1

xⁿ =x⁻ⁿ から µ 1

x²

¶₀

= (x⁻²)⁰ =−2x⁻²⁻¹ =−2x⁻³ =−2× 1

x³ =− 2 x³

問 2

次の導関数を求め，結果を分数の形にせよ。

(1) µ 1

x³

¶0

= (2)

µ 1 x⁴

¶0

= (3)

µ1 x

¶0

=

< log | x | ^の導関数 >

例 1

^{関数 y = log}_|^x_| ^{を考える。}

絶対値の定義から， a >0 に対し log|−a|= loga= log|a| より， y= log|x| のグラフは右図 のように y 軸対称となる。

この導関数は

(1) x >0 のとき |x|=x より y⁰ = (logx)⁰ = 1 x

(2) x <0 のとき |x|=−x より y⁰ = (log|x|)⁰ = (log(−x))⁰ = (−x)⁰

−x = −1

−x = 1 x (1), (2) より x6= 0 のとき

(log|x|)⁰ = 1 x となる。

例 2

^関数 y = log|cosx| を微分したい。

u= cosx とおくと y = log|u| より合成関数の微分法を使うと

dy dx = dy

du × du

dx = (log|u|)⁰×(cosx)⁰ = 1

u ×(−sinx) = 1

cosx ×(−sinx)

=−sinx

cosx =−tanx

問

次の関数の導関数を求めよ。

(1) y= log|tanx| , dy dx =

(2) y = log|x²+ 3x| , dy dx =

(3) y = log|f(x)| , dy dx =

< ^{微分の練習} 3 >

問 1

^{次の極限値を求めよ。}

(1) lim

x→0(1 +x)^x1 (2) lim

h→0

e^h−1 h

問 2

^{次の関数を微分せよ。}

(1) 2e^x (2) 3 logx

(3) √³

x (4) 1

x³

(5) 1

√x (6) e^4x+1

(7) log(5x) (8) e^−x

2 2

(9) log (x³) (10) log|4x|

(11) log|sinx| (12) x√

x

(13) e^xsinx (14) e^3xcos (4x)

(15) xe^−x (16) x²log|x|

問 3

^{y= 4x}を対数微分法を用いて微分せよ。

< ^{接線の方程式} >

y=f(x) のグラフのx=aにおける接線の方程式は

y=f⁰(a)×(x−a) +f(a) (接線の方程式)

である。

例 1

^{f(x) =e2x のとき f(0) =e0= 1}

f⁰(x) = 2e^2x ，f⁰(0) = 2e⁰ = 2

よって y=e^2x の x= 0における接線の方程式は

y=f⁰(0)(x−0) +f(0) = 2x+ 1 より y= 2x+ 1 (接線)

例 2

^{f(x) = logx のとき f(e) = loge= 1}

f⁰(x) = 1

x ^，f⁰(e) = 1 e

よって y= logx のx=eにおける接線の方程式は y=f⁰(e)(x−e) +f(e) = 1

e (x−e) + 1 = 1

e x より y = 1

e x (接線)

例 3

f(x) = cosx のときf

³π 2

´

= cos³π 2

´

= 0

f⁰(x) =−sinx ，f⁰

³π 2

´

=−sin

³π 2

´

=−1 よって y= cosx のx= π

2 における接線の方程式は y =f⁰³π

2

´ ³ x−π

2

´

+f³π 2

´

=−1׳ x−π

2

´

+ 0より y =−x+π

2 (接線)

例 4

^{f(x) =√x のときf(1) =√1 = 1}

f⁰(x) = 1 2√

x ^，f⁰(1) = 1 2√

1 = 1 2 よって y=√

x のx= 1 における接線の方程式は y=f⁰(1)(x−1) +f(1) = 1

2 (x−1) + 1 = 1

2 x+ 1

2 ^より y = 1

2 x+ 1

2 (接線)

問

以下の接線の方程式を求めよ。

(1) y=e^x の x= 0 における接線

(2) y= logx のx= 1 における接線

(3) y= sinx のx= 0 における接線

(4) y=√x のx= 4 における接線

(5) y= 1

x ^のx= 1 における接線

< ^{平均値の定理} >

a, bが定数で，a < bとするとき，不等式

a5x5b , a < x < b , a < x , x5b などを満たす実数xの集合を区間といい，

[a, b] , (a, b) , (a, +∞) , (−∞, b) などで表す。[a, b]を閉区間，(a, b)を開区間という。

問 1

^区間[a, b]は集合{x:a 5x5b}を表す。([a, b] ={x:a5x5b}) 次の区間を集合の記述法{x: }を用いて表せ。

(a, b) = (a, +∞) = (−∞, b) =

(a, b] = [a, b) = [a, +∞) =

<ロルの定理>

関数f(x)が閉区間 [a, b] で連続，

開区間(a, b)で微分可能で，f(a) =f(b) ならば

f⁰(c) = 0 ， a < c < b を満たす実数cが存在する。

証明略

<平均値の定理>

関数f(x)が閉区間 [a, b] で連続，

開区間(a, b)で微分可能ならば f(b)−f(a)

b−a =f⁰(c) ， a < c < b を満たす実数cが存在する。

証明略

問 2

^定数a, b(a < b) と関数f(x) =x²に対し，次式をみたすcをaとbで表せ。

f(b)−f(a)

b−a =f⁰(c) (a < c < b)

< ^{関数の増減} >

関数f(x)において，ある区間の任意の値u，vについて

① u < v ならば f(u)< f(v)

が成り立つとき，f(x)はその区間で単調に増加するという。

また，

② u < v ならば f(u)> f(v)

が成り立つとき，f(x)はその区間で単調に減小するという。

上の定義式①でf(u)5f(v)が成り立つとき増加といい，

②式でf(u)=f(v)が成り立つとき減小という。

前ページの平均値の定理から次の定理が導かれる。(証明は研 究課題)

<定理>

関数f(x)は閉区間[a, b]で連続，開区間(a, b)で微分可能とする。

区間(a, b)で常にf⁰(x)>0ならばf(x)は区間[a, b]で単調に増加する。

常にf⁰(x)<0ならばf(x)は区間[a, b]で単調に減小する。

常にf⁰(x) = 0ならばf(x)は区間[a, b]で定数である。

例

f(x) =x³−6x²+ 9x−2の増減を調べる。

f⁰(x) = 3x²−12x+ 9 = 3(x−1)(x−3) よりx= 1, 3でf⁰(x) = 0となる。

右表よりグラフは右図のようになる。

(注) この表を増減表という。

増減表は表2のように略記してよい。

(表1)

x x <1 1 1< x <3 3 3< x

f⁰(x) + 0 − 0 +

f(x) ^単調_増加 2 ^単調_減少 −2 ^単調_増加 (表2)

x · · · 1 · · · 3 · · ·

y⁰ + 0 − 0 +

y % 2 & −2 %

問

f(x) =x³−3x²+ 3に対し増減表を作り，

グラフを描け。

< ^{極大・極小} 1 >

関数 f(x)について、 aの近くの

x に対し

f(a)> f(x)

が成り立つとき、 f(x) は x = a で極大になるといい、 f(x) を 極大値という。

また、 b の近くの x に対し f(b)< f(x)

が成り立つとき、 f(x) は x=b で極小になるといい、 f(b) を極小値という。

極大値と極小値をまとめて極値という。

例

3次関数y= 2x³−9x²+ 12x−2 の極値を調べるには、増減表を作 ればよい。微分すると

y⁰ = 6x²−18x+ 12

= 6(x−1)(x−2)

より x = 1 と x = 2 のとき y⁰ = 0 となる。

x · · · 1 · · · 2 · · · y⁰ + 0 − 0 +

y % 3 & 2 %

極 極 大 小 増減表より

x= 1のとき 極大値y= 3 x= 2のとき 極小値y= 2 であることがわかる。

問

3次関数y = 2x³+ 3x²−12x の増減表を作り、極値を調べよ。

x= のとき極大値y= x= のとき極小値y=

x

y

⁰

y

< ^{極大・極小} 2 >

例

4次関数y= 3x⁴−16x³+ 18x²+ 8 の極値を調べるには、3次関数と 同様に増減表を作ればよい。

微分すると

y⁰ = 12x³−48x²+ 36x

= 12x(x²−4x+ 3)

= 12x(x−1)(x−3)

より、x = 0, x = 1, x = 3のと きy⁰ = 0 となる。

x · · · 0 · · · 1 · · · 3 · · ·

y⁰ − 0 + 0 − 0 +

y & 8 % 13 & −19 %

極 極 極

小 大 小

増減表より

x= 1のとき極大値y= 13 x= 0のとき極小値y= 8 x= 3のとき極小値y=−19 であることがわかる。

問

以下の関数の増減表を作り、極値を調べよ。

(1) y= 3x⁴−8x³−18x²

x y

⁰

y

(2) y= x² e^x

x

y

⁰

y

< ^{極大・極小} 3 >

例題

y= −1−x²

x (x6= 0) の極値を調べよ。

(解) y⁰= −2x×x−(−1−x²)×1 x²

= 1−x² x²

より増減表は右のように

なる。 (答) x= 1のとき極大値y=−2 x=−1のとき極小値y= 2

問

次の関数に対し, 増減表を作り, 極値を求めよ。ただし( )内は定義域である。

(1) y=x−2√

x (x=0) (2) y=xe^−x

2 2

(3) y=x³e^x (4) y= x²

x−1 (x6= 1)

< ^{関数のグラフ} >

問

次の関数を微分し、増減表を作り、極値を調べよ。また右図の上にその関数の グラフを書け。(グラフは極値の座標が分かるように目盛りを書く)

(1) y =x³+ 3x²−2 y⁰ =

(2) y = 3x⁴−4x³−12x²+ 20 y⁰ =

< ^{直線上の運動} >

数直線上を動く点Pを考える。

点Pの位置(座標)をxとする。

xは時刻tによってかわるので、

xはtの関数だからx=x(t)と書く。時刻tから時刻t+∆tまでの 平均速度は ∆x

∆t = x(t+∆t)−x(t)

∆t である。∆t →0のときの極限値を v(t)とすれば、v(t)は時刻tでの瞬間の速度である。その極限値

v(t) = lim

∆t→0

∆x

∆t = lim

∆t→0

x(t+∆t)−x(t)

∆t =x⁰(t) = dx dt を点Pの時刻tにおける速度という。この式から速度は

位置x=x(t)を時間変数tで微分したものであることがわかる。

速度v =v(t)は時刻tによってかわる。

時刻tから時刻t+∆tまでの速度 の変化の割合v(t+∆t)−v(t)

∆t

の∆t→0のときの極限値a(t)は、時刻tでの瞬間の速度変化の 割合であり

a(t) = lim

∆t→0

v(t+∆t)−v(t)

∆t =v⁰(t) = dv

dt = d²x

dt² =x⁰⁰(t) を点Pの時刻tでの加速度という。

速度(velocity)を通常vで表し，加速度(accelaration)を通常aで表す。

例

^時刻tにおける位置x(t)がx(t) = 5−2t+ 3t²−4t³である点の 速度vと加速度aは

v(t) = dx

dt = (5−2t+ 3t² −4t³)⁰ =−2 + 6t−12t² a(t) = dv

dt = (−2 + 6t−12t²)⁰ = 6−24t

問

x(t)が以下の場合に、速度v(t)と加速度a(t)を求めよ。

(1) x(t) = 10 + 4t−5t² v(t) = a(t) =

(2) x(t) = 3 cos(2t) v(t) = a(t) =

(3) x(t) =e^2tsin(4t) v(t) = a(t) =

< ^{平面上の運動} 1 >

座標平面上を動く点Pがあるとき、時刻tにおける点Pの 座標を(x, y)とすると、xとyはtの関数であるから

x=x(t) , y=y(t) と表す。

時刻tにおける点の位置を P¡

x(t), y(t)¢ , 時刻t+∆tにおける点の位置を P⁰¡

x(t+∆t), y(t+∆t)¢ とすると、時刻tからt+∆tまでの間の

x軸方向の平均速度は ∆x

∆t = x(t+∆t)−x(t)

∆t y軸方向の平均速度は ∆y

∆t = y(t+∆t)−y(t)

∆t 直線PP⁰方向の平均速度の大きさは PP⁰

∆t =

p(∆x)²+ (∆y)²

∆t =

sµ∆x

∆t

¶2

+ µ∆y

∆t

¶2

であるから、∆t →0とすると x軸方向の瞬間速度は dx

dt = lim

∆t→0

∆x

∆t y軸方向の瞬間速度は dy

dt = lim

∆t→0

∆y

∆t

そこでx軸方向とy軸方向の速度の組

~v= µdx

dt ,

dy dt

¶

(速度)

を時刻tにおける点Pの速度または速度ベクトルという。

速度~vの大きさは

|~v|=

sµdx dt

¶2

+ µdy

dt

¶2

(速さ) となる。これを速さという。

問

時刻tにおける点P(x, y)の座標が x= 2t , y = 1−t²

で表されるとき、時刻tにおける速度~vと速さ|~v|を求めよ。

< ^{平面上の運動} 2 >

問

地上から初速 −→

v (0) = (k1, k2) で 打ち出した物体の t 秒後の水平 距離を x(t) , 高さをy(t)とすると、

(空気抵抗を考えなければ)

⎧⎪

⎨

⎪⎩

x(t) =k₁t (水平距離) y(t) =k2t− g

2t² (高さ)

となる。ここで g は重力加速度g = 9.8 (m/s²)である。

(1) t 秒後の水平速度v_x(t) ,垂直速度 v_y(t) を求めよ。

(

_v

x(t) = dx dt = v_y(t) = dy

dt = (2) t 秒後の速度 −→

v (t) =¡

v_x(t), v_y(t)¢ の傾き v_y(t)

vx(t) を求めよ。

v_y(t) v_x(t) =

(3)

½x=k₁t y=k₂t− g

2t² から t を消去して、軌道曲線の式 ¡

y=f(x) の形¢

を求めよ。

(ただし k₁ >0とする)

(4) (3)で求めた軌道関数を f(x) とおく。導関数f⁰(x) を求めよ。

f⁰(x) =

(5) v_y(t) v_x(t) =f⁰¡

x(t)¢ であることを示せ。

(注) (5)の式は −→

v(t)の方向が軌道 y=f(x) 上の点¡

x(t), y(t)¢ における接線と同じ 方向であることを意味する。

< ^{平面上の運動} 3 >

時刻tでの点の座標をP(x, y)，

点Pがえがく曲線をCとすると，

曲線Cの接線の傾きはdy dxで，

合成関数の微分の公式 dy dx = dy

dt · dt dx， と逆関数の微分の公式 dt

dx = 1 dx

dt

より，

接線PTの傾き=dy dx = dy

dt · dt dx =

dy dt dx dt

=−→v の傾き

となる。これは速度−→v = µdx

dt , dy dt

¶

の方向が，点Pにおける曲線Cの接線PTの方向 と一致することを示す。

例

座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上を 点Pが動く。点(1, 0)から出発し，1秒間に

1ラジアン回転するとすれば，t秒後の座標P(x, y)は x= cost , y= sint

である。速度−→v は

−

→v = µ dx

dt , dy dt

¶

=³

−sint , cost´

=³

−y , x´ となる。従って点Pの位置ベクトル−→

OP = (x, y)に 対し，速度−→v = (−y, x)は垂直である(図2)ことが 分かる。従って図1の速度−→v の方向は点Pにおける 円の接線と同じ方向である。

問

例と同じ問題で1秒間にωラジアン回転するとすれば，

t秒後の座標P(x, y)は

x= cos (ωt) , y= sin (ωt)

である。このとき速度−→v と速さ|−→v|を求め，図3に

−

→v を点Pを始点とするベクトルとして図示せよ。

< ^{平面上の運動} 4 >

座標平面上の動点Pの t 秒後の位置

¡x(t), y(t)¢ に対し、x 軸方向の 速度・加速度は

v_x(t) = dx

dt =x⁰(t) : 速度 a_x(t) = dv_x

dt = d²x

dt² =x⁰⁰(t) : 加速度 であり、y 軸方向の速度・加速度は

v_y(t) = dy

dt =y⁰(t) : 速度 a_y(t) = dv_y

dt = d²y

dt² =y⁰⁰(t) : 加速度 である。これらを成分とするベクトルを

−

→v(t) =¡

v_x(t), v_y(t)¢

= µdx

dt , dy dt

¶

: 速度

−

→a(t) =¡

ax(t), ay(t)¢

= µd²x

dt² , d²y dt²

¶

: 加速度

と表し、速度 −→

v (t) ,加速度 −→

a(t)と言う。

問

地上から初速 −→

v (0) = (k1, k2) で 打ち出した物体の t 秒後の水平距離 を x(t) , 高さを y(t) とすると、

(空気抵抗を考えないとすれば)

½ x(t) =k₁t (水平距離) y(t) = k₂t− g

2t² (高さ)

となる。(ただし g = 9.8 m/s² である。)

(1) t 秒後の速度 −→

v (t)を求め、右図に点¡

x(t), y(t)¢

を始点とするベクトルとして図示せよ。

−

→v (t) =

(2) t 秒後の加速度 −→

a(t) を求め、右図に点¡

x(t), y(t)¢

を始点とするベクトルとして図示せよ。

−

→a(t) =

< ^{平面上の運動} 5 >

例

座標平面上の原点Oを中心として半径rの円周上を点Pが 動く。点Pは点(r, 0)から出発し，1秒間に1ラジアン回転 するとすれば，t秒後の座標P(x, y)は

x=rcost , y=rsint である。速度−→v は

−

→v =³ dx

dt , dy dt

´

=³

−rsint , rcost´

=³

−y, x´ であり，加速度−→a は

−

→a =³ d²x

dt² , d²y dt²

´

=³

−rcost , −rsint´

=³

−x, −y´ である。従って−→a =−−→

OPより−→a の方向は−→

OPと反対 方向である(図2)。これは加速度−→a が点Pを中心Oに 向けて引っ張る力=向心力(=遠心力に対抗する力)を意味 する(図1)。

問 1

^{例の場合に}_|^−→v |と|−→a|を求めよ。

|−→v|=

|−→a|=

問 2

^{例と同じ問題で1秒間にω}ラジアン回転するとすれば，

t秒後の位置P(x, y)は

x=rcos (ωt) , y=rsin (ωt)

となる。このとき−→v , |−→v| , −→a , |−→a| を求めよ。

−

→v =³

, ´

, |−→v |=

−

→a =³

, ´

, |−→a|= また ω = 1

2 のときの−→v と−→a を(図1のように)点Pを始点としたベクトルと して図3に図示せよ。

< ^解答 1 ^～ 4 >

< 1ページ.関数の定義域と値域1 >

問1の解答

(1)y=√ x+ 2 定義域: x=−2

値域: y=0 (2)y=−√

1−x 定義域: x51

値域: y50

問2の解答

(1)y= 1 x+ 1−2 定義域: x6=−1

値域: y6=−2 (2)u= 1

1−x−1 定義域: x6= 1 値域: y6=−1

< 3ページ.単調関数>

問の解答

(1)y= 3x−2 単調増加

(2)y=x³−3x 単調関数ではない

(3)y=−(x−1)² (x=2) 単調減少

(4)y=|x|

単調関数ではない

(5)y= sinx 単調関数ではない

(6)y= sinx ³

−π

2 5x5π 2

´ 単調増加

< 2ページ.関数の定義域と値域 2>

問の解答

(1)y= 2^x

定義域:実数全体 値域: y >0 (2)y= log₂x

定義域:x >0 値域: 実数全体 (3)y= cosx

定義域:実数全体 値域: −15y51

< 4ページ.逆関数 1>

問の解答

f(x) = 2x−1

f⁻¹(x) = 1 2x+1

2

< ^解答 5 ^～ 8 >

< 5ページ.逆関数 2>

問1の解答

f(x) =x² (x=0) f⁻¹(x) =√

x

問2の解答

f(x) = 2^x f⁻¹(x) = log₂x

問3の解答

f(x) = log₃x f⁻¹(x) = 3^x

< 7ページ.逆三角関数2 >

問1の解答

問2の解答

問3の解答

(1) π 6 (2)3π

4 (3)2π

< 6ページ.逆三角関数 1> 3

問1の解答

問2の解答

問3の解答

(1) π 4 (2)−π

3 (3)−π 6

< 8ページ.逆三角関数 3>

問1の解答

問2の解答

問3の解答

(1) π 4 (2) π 6 (3)−π

3

< ^解答 9 ^～ 11 >

< 9ページ.合成関数>

問1の解答

(1)g(f(x)) = 3x²+ 3 , f(g(x)) = 9x²+ 1 (2)g(f(x)) = (tanx) + 2 , f(g(x)) = tan(x+ 2) (3)g(f(x)) =x−1 , f(g(x)) =√

x²−1 (4)g(f(x)) = log₂(x²+ 2) , f(g(x)) = (log₂x)²+ 2

問2の解答

(1)f⁻¹(f(a)) =a (2)f(f⁻¹(b)) =b

問3の解答

(1)g(f(x)) =x , f(g(x)) =x (2)g(f(x)) =x , f(g(x)) =x (3)g(f(x)) =x , f(g(x)) =x

問4の解答

(1)x (2)x (3)x (4)x

(5) π 4 (6) 1

< 10ページ.関数の練習>

問1の解答

(1)y=√

x 定義域:x=0 , 値域 :y=0 (2)y= 4^x 定義域:実数全体, 値域 :y >0 (3)y=

µ1 2

¶x

定義域:実数全体, 値域 :y >0 (4)y= sinx 定義域:実数全体, 値域 :−15y51 (5)y= log₄x 定義域:x >0 , 値域 :実数全体 (6)y= log1

2x 定義域:x >0 , 値域 :実数全体

問2の解答

(1)f(x) =x⁴ (x=0) f⁻¹(x) =√⁴ x (2)f(x) = 4^x f⁻¹(x) = log₄x (3)f(x) = log₂x f⁻¹(x) = 2^x

(4)f(x) = log1

2x f⁻¹(x) = µ1

2

¶x

問3の解答

(1) sin⁻¹ Ã√

3 2

!

= π

3 (2) cos⁻¹ Ã

−

√2 2

!

= 3π 4

(3) tan⁻¹(1) =π

4 (4) cosec³π 4

´

= 1

sin(^π₄)=√ 2

(5) sec³π 3

´

= 1

cos(^π₃)= 2 (6) cot³π 6

´

= 1

tan(^π₆) =√ 3

問4の解答

(1)f(g(x)) = sin(x⁴) , g(f(x)) = (sinx)⁴= sin⁴x (2)f(g(x)) = cos(x⁵) , g(f(x)) = (cosx)⁵= cos⁵x (3)f(g(x)) = (3x+ 4)⁵ , g(f(x)) = 3x⁵+ 4 (4)f(g(x)) = (x²+ 3x)⁶ , g(f(x)) =x¹²+ 3x⁶

< 11ページ.無限等比級数 >

問の解答

(1) 1 +1 2+1

4+1

8+· · ·+ 1

2ⁿ+· · ·= 1 1−¹2

= 2

(2) 1 10+ 1

100+ 1

1000+· · ·+ 1

10ⁿ+· · ·= 1 10 1−10¹

=1 9

(3) 3 10+ 3

10× 1 10+ 3

10× µ1

10

¶2

+· · ·+ 3 10×

µ1 10

¶n−1 +· · ·=

3 10 1−10¹

=1 3

< ^解答 12 ^～ 18 >

< 12ページ.循環小数1>

問の解答

(1) 0.6875

(2) 0.41666· · ·= 0.416˙ (3) 0.121212· · ·= 0.1˙2˙ (4) 0.405405405· · ·= 0.40˙ 5˙

< 15ページ.関数の極限 1>

問の解答

(1) 2 (2) 1 2 (3) 0 (4)−1 (5) 1 (6) 0 (7)−2 (8)−5

< 13ページ.循環小数2>

問の解答

(1) 0.5 =˙ 5 10 1−₁₀¹ = 5

9

(2) 0.9 =˙ 9 10 1−₁₀¹ = 1

(3) 0.1˙2 =˙ 12 100 1−₁₀₀¹ = 4

33

(4) 0.4˙3 =˙ 43 100 1−₁₀₀¹ =43

99

(5) 0.12˙ 3 =˙ 123 1000 1−₁₀₀₀¹ = 41

333

< 16ページ.関数の極限 2>

問の解答

f(2) = 3, f(4) = 1 xlim→2f(x) = 1

xlim→4f(x) = 3

< 17ページ.関数の極限 3>

問の解答

x→lim1−0f(x) = 1 , lim

x→1+0f(x) = 2

x→lim2−0f(x) = 3 , lim

x→2+0f(x) = 3

x→lim4−0f(x) = 1 , lim

x→4+0f(x) =−1

< 14ページ.小数の表示>

問1の解答

(1) 0.001 (2) 0.0001

問2の解答

(1) 10 (2) 0.2

問3の解答

(1) 10 = 9.9 = 10.˙ 0˙ (2) 5.3 = 5.29 = 5.3˙ 0˙

< 18ページ.関数の極限 4>

問の解答

x→−lim0f(x) = 2 , lim

x→+0f(x) = 2 , lim

x→0f(x) = 2

x→lim1−0f(x) = 3 , lim

x→1+0f(x) = 1 , lim

x→1f(x)は存在しない

x→lim4−0f(x) = 2 , lim

x→4+0f(x) = 3 , lim

x→4f(x)は存在しない

x→lim5−0f(x) = 4 , lim

x→5+0f(x) = 4 , lim

x→5f(x) = 4

< ^解答 19 ^～ 24 >

< 19ページ.微分可能性>

問の解答

「左極限値が−1」は「x <0の範囲ではy=|x|のグラフの 傾きが−1であること」を意味する。

「右極限値が+1」は「x >0の範囲ではy=|x|のグラフの 傾きが+1であること」を意味する。

< 20ページ.弧度法の復習 >

問1の解答

問2の解答

`=θ S=1

2θ

< 23ページ.三角関数の極限3 >

問の解答

(1) lim h→0

sin(x+h)−sinx

h = lim

h→0

sinxcosh+ cosxsinh−sinx h

= lim h→0

½ (sinx)×

µcosh−1 h

¶

+ (cosx)× µsinh

h

¶¾

= (sinx)×0 + (cosx)×1 = cosx

(2) 略

< 21ページ.三角関数の極限1>

問の解答

sinθ<θの両辺をθで割るとsinθ

θ <1 · · ·① θ<tanθの両辺にcosθ

θ をかけるとcosθ<sinθ θ · · ·②

①と②より(∗∗)が導かれる。

< 22ページ.三角関数の極限2>

問の解答

(1) lim x→0

sin(3x) 2x = lim

x→0 sin(3x)

3x ×3 2= 1×3

2=3 2

(2) lim x→0

tanx x = lim

x→0 sinx

x × 1

cosx = 1× 1 cos 0= 1

(3) lim x→0

cosx−1

x = lim

x→0

cos²x−1 x(cosx+ 1)= lim

x→0

−sin²x x(cosx+ 1)

= lim x→0

sinx

x × −sinx

cosx+ 1= 1× −sin 0

cos 0 + 1 = 1× −0 1 + 1 = 0

< 24ページ.導関数 >

問の解答

(1)f(x) = 2

f⁰(x) = lim h→0

f(x+h)−f(x)

h = lim

h→0 2−2

h = 0

(2)f(x) =x f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h = lim

h→0

x+h−x

h = 1

(3)f(x) =x²

f⁰(x) = lim h→0

f(x+h)−f(x)

h = lim

h→0

(x+h)²−x² h

= lim

h→0(2x+h) = 2x

ドキュメント内 06微分 [更新済み] (ページ 51-82)