17.4 マルチフラクタル次元の一般論
17.4.2 二項分岐過程再考
上で展開された一般論は当然,個別の現象である二項分岐過程に対しても当てはまる. 具体的な ケースを考えることで理解も深まるので,ここでは一般論をこの二項分岐過程に適用してみよう.
まずは(261)より,マルチフラクタル次元が
Dq = 1
q−1
pq+ (1−p)q
log(1/2) (290)
で与えられたことを思い出すと,τ(q)は
τ(q) = (q−1)Dq= pq+ (1−p)q
log(1/2) (291)
である. 従って, (280)式は
α = dτ
dq = 1
log(1/2)
[pqlogp+ (1−p)qlog(1−p) pq+ (1−p)q
]
(292) となる.
ここで簡単のため
ξ = pq
pq+ (1−p)q (293)
とおくと
1−ξ = (1−p)q
pq+ (1−p)q (294)
となることに気づけば(292)式は
α = 1
log(1/2)(ξlogp+ (1−ξ) log(1−p)) (295) と書き直すことができ,従って, (279)式から大域スペクトルは
f = q
log(1/2)(ξlogp+ (1−ξ) log(1−p))− 1
log(1/2)log(pq+ (1−p)q)
= 1
log(1/2)(ξlogξ+ (1−ξ) log(1−p)) (296)
として求めることができる. 以上をまとめると, 二項分岐過程の特異性の強さαと大域スペクト ルは
α = 1
log(1/2)(ξlogp+ (1−ξ) log(1−p)) (297)
f = 1
log(1/2)(ξlogξ+ (1−ξ) log(1−ξ)) (298) である. ここに, 0≤ξ≤1に注意して,いくつかの確率pに対して大域スペクトルをプロットする と図77(左上)のようになる.
ところで,Dq=0, Dq=1の値,および,そのときの特異性の強さαは次のようにして陽に求めるこ とができる. まずは(293)(294)式を辺々割ると
ξ 1−ξ =
( p 1−p
)q
(299) が得られる. 従って,q= 0の場合には,ξ= 1/2であり,従って,このときのfの値は(298)式から f =Dq=0 = 1であり, これを与えるαの値は(297)式から
α = logp(1−p)
2 log(1/2) (300)
で与えられる.
一方,q= 1の場合には, (299)式からξ=pであり, このときの大域スペクトル値,および,特異 性の強さは(298)(297)式から
f = α=plogp+ (1−p) log(1−p)
log(1/2) =Dq=1 (301)
ここは ページ目
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
f
α
p = 0.1 p = 0.25 p = 0.4
0 0.5 1 1.5 2
0 0.5 1 1.5 2
f
α
p = 0.25 f = α Dq = 1 Dq = 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
f
q
p = 0.1 p = 0.25 p = 0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
α
q
p = 0.1 p = 0.25 p = 0.4
図 77: 二項分岐過程におけるfのα依存性. pの値はp= 0.1,0.25,0.4に選んでいる(左図). 右図はp= 0.25に関し, fとDq=0, Dq=1の値の関係をプロットしてある.下段はfのq依存性(左),および,αのq依存性(右).
で与えられる. この関係をp= 0.25に対して図77(右上)に載せた.
以上がマルチフラクタルとその次元の計算方法である. 興味のある者はこの講義で作図したいく つかのフラクタル図形に対し,マルチフラクタル次元をqの関数として数値計算してみると良いで あろう.
レポート課題
本講義で学習したカオスやフラクタルが役に立つような事例があればその理由とともに挙げ, A4 用紙数枚程度で説明せよ. ちなみに,役に立たないと思う場合にその理由を書いても良い. なお,事 例を多数あげるより,少ない事例に関しての考察が深い方が点数は良い. これと,講義ノート#11 に載せた課題をまとめて提出する.
全てのレポートの〆切: 平成23年8月12日(金) 午後5時(厳守), 提出先は情報科学研究科棟 8-13のポストまで.
連絡:
最終回である次週7/26は本講義に関連する「フラクタル」「スケールフリー性」に関連する担当者 らの研究グループ(情報統計力学グループ):
http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~j_inoue/major.html#group
の研究紹介を行います.
図78: 上海.平成23年6月(井上撮影).
ここは ページ目
関連する参考書を何点か挙げておきます. 下記リストのなかで入手困難なもので,読んでみたい ものがあれば,数週間程度ならばお貸しできます.
参考文献
[1] 「カオス入門：現象の解析と数理」長島弘幸,馬場良和 共著 培風館(1992).
[2] Fractals for the classroom, by H. Peiger, H. Jurgen and D. Saupe, part I,II, Springer-Varlag (1993).
[3] Modeling reality: How computer mirror life, by Iwo Bialynicki-Birula and Iwona Bialynicka-Birula (2004).
[4]「非線形力学とカオス: 技術者・科学者のための幾何学的手法」J.M.T. Thompson, H.B. Stewart 著,武者利光,橋口住久訳 オーム社 (1988).
[5] 「カオス時系列解析の基礎と応用」池口徹, 山田泰司,小室元政 共著,合原一幸編,産業図書 (2000).
[6] 「フラクタル」 高安秀樹 著 朝倉書店(1986).
[7] 「フラクタル科学」高安秀樹 編著 朝倉書店(1987).
[8] 「フラクタル成長現象」タマス・ヴィチェック 著,宮島佐介 訳,朝倉書店(1990).
[9] 「フラクタル」本田勝也 著 朝倉書店(2002).
[10] 「フラクタルと数の世界」西沢清子 他著 海文堂(1991).
[11] 「パーコレーションの科学」小田垣孝 著 嘗華房(1993).
[12] Introduction to percolation theory : revised 2nd edition, by D. Stauffer and A. Aharonoy, (Tayler & Francis, 1994).
[13] 「パーコレーション : ちょっと変わった確率論入門」 樋口保成 著 遊星社(1996).
[14] 「確率モデルって何だろう」今野紀雄 著 ダイヤモンド社 (1995).
[15] 「複雑系を解く確率モデル」香取真理 著 講談社ブルーバックス(1997).
[16] 「秩序・無秩序の世界」黒田耕嗣 著 丸善(1987).
[17] 「カオスとフラクタル」山口昌哉 著,ちくま学芸文庫(1986).
担当 : 井上 純一 ( 情報科学研究科棟 8-13) 平成 23 年 4 月 12 日
1. この講義の目標
複雑系研究の代表的なトピックスである「カオス」「フラクタル」の基本的概念を習得する. 特に,複雑なシステムを非線形力学系,セル・オートマトン等で計算機上に再現し,そこに現 れる複雑な系の挙動・性質がカオスやフラクタルの概念によって特徴付けられることを, 2年 次に既習の初等的なC言語プログラミングを実際に行ってもらうことで学習する.
2. 到達目標
カオス, フラクタルの概念を簡単な系の数値実験(シミュレーション)例を通じて習得する. その際,それらを特徴付けるリアプノフ指数,フラクタル次元などの物理量の計算手法のいく つかを学び,実際に計算機上でこれらの系をシミュレートし,特徴量を評価するための数値計 算技法もあわせて学習する. また,時間があれば,これらカオス,フラクタルの応用例につい ても触れたいが, 当講義は時間的にみて(半期の全15回前後),カオス・フラクタルの「入門 編」にとどまるため,より進んだ内容(工学的応用例を含む)は大学院情報科学研究科複合情 報学専攻において開講されるであろういくつかの講義・演習等で学ぶことになる(例えば,混 沌系工学特論).
※ なお, 当講義で学んだ内容を定着させるために, 後期に開講される「情報工学演習II」で は,カオス・フラクタルに関連する,ある程度まとまった計算機実験をしてもらう.
3. 対象学生
工学部情報工学コース3年生(必修科目). ※ 基本的にどなたの受講も歓迎です.
4. 授業計画
大まかに言って当講義はI.カオス編, II.フラクタル編の2つのパートに分かれる.
I.カオス編
(1)初等力学(物理学I)の復習, 運動方程式(微分方程式)の解析的解法,数値的解法 (2)非線形項の入った運動方程式の数値的解法,写像力学系(ロジスティック写像など）
(3)カオスの特徴付け(リ・ヨークの定理,リアプノフ指数,位相エントロピーなど）
(4)位相空間,奇妙なアトラクタ,リアプノフ指数計算,高次元データの低次元への埋め込み (5)カオス応用(時間があれば(多分,ない.),カオス・ニューラルネットを用いた最適化など）
II.フラクタル編
(1)自然界に現れる様々なフラクタル図形と非フラクタル図形(「特徴的な長さ」の有無,「ス ケール・フリー性」について）
(2)確定的なルールで作られるフラクタル図形(コッホ曲線,シェルピンスキーガスケット) (3)確率的なルールで作られるフラクタル図形(セル・オートマトン、菌糸成長など）
(4)複素力学系とフラクタル(ジュリア集合など）