二 ︐

6.1. THE DMRL ALTERNATIVE  53 

where 

… ^J

^{内 )ds (6.1.8)} 

and 

C 

J u   a zu  

s 

可EEEEEBEEBd

11  

a︐b S ︐

dt  

v 

u 

FEE‑‑EEEEa﹄∞ 

ρ t ' ' ' o  

2 一 一 ψ 

σ 

From this corollary the asymptotic variance 

σ 3 "  

under the null hypothesis 

予'1

depends on the unknown parametersμand G(t).  By the similar method as  given in the previous sections we can construct a consistent estimator 

3 3 1 イ

^[v

^一品

^(t

^{一 ) } ]}

^{2 S!(t‑)de(t)} 

by the theory of counting processes. 

Next we consider the asymptotic behavior of the test  statistic P2(α

， s )  

defiI凶 inthe equation (6.1.6).  This result can be proved by Theorem 4.1.1 of  Section 4.1 and stated as follows. 

COROLLARY 6.1.3.  Suppose that the df 's F(t) and G(t) satis今 theconditions 

l

^{T H}  

h~(t)dC(t)

^<

^∞ 

^(6.1.9) 

and 

η1/2 h₁(T)→

o 

^{in probab出tyasπ}→∞， (6.1.10)  where 

ん(t):=

1

^{00 S( u)d匂}

Then the sequence of the rv's 

ポ/2

九 {

^(o:，s)‑

告 )

converges in distribution as n→∞ to a normal rv with zero mean and variance 

1I F‑

‑ ' t w ‑

︐ ︐  

••. ︑ ‑

C

一

︐α一

角4

‑

︑

_E

︐ E

︑︑..  一

︐ ︐ ‑

a︐

b E  

︐ ︐  

•. ︑ ‑

今 必

‑

L

‑

hN

一4F

54  CHAPTER 6. TESTS FOR DMRL AND HNBUE 

where 

内:=

1

^{00 g{S(t)}dt}

^， 

ん 川 州

(例tt

吋 ) 寸 ∞

^{S(州珂仰削州包吋併)け}}

and the function g(t) is defined in the equation (6.1.2). 

COROLLARY 6.1.4.  Suppose that under the null hypothesis討。 thedf  G(t)  satis五esthe conditions (6.1.9) and (6.1.10) of Corollary 6.1.3.  Then we have as  n‑→00 

η巾 九α(

，

β)→4N(O

， d

^，β)

，

where 

σ3β:=f 州

t)}dC(t)

Because of the  dependency of the asymptotic variance  of the  statistic  九(α

，

s) under the null hypothesis on the unknowns μand G( t)

， 

we may consider  an estimator 

8 3 β

^:= 

1

^T 

^{l { S n い‑州}

^t)

The consistency can be proved by the same technique as used in the proof of  Lemma 2.4 of Kumazawa (1987a). 

Now we compare the e罰caciesof the test statistics _P1 (仇)^and P2(α

，

^s) for 

the alternatives (i)‑(iv) presented in Section 4.1 under the proportional censoring  model with the censori泊ngpa町ramete^白Eλλ.Fr旨omCorollarie^白s6.1.2 and 6.1.4 we may  take μ 1  and 0 < λ <  1.  And the asymptotic variances of the suit^旬ably ωE口rmalize^吋dversions of P₁ (

ψd 

^and P2(α

，

^β) under冗oare given by 

and 

σ~ ^:= 

I 

^{{v ‑<p(t)}2t一λdt}

JO 

σ2ー α ? + α 2 + α 3 +

一 一 ‑

2^・ 1‑λI 2β+3‑λI 2α+2β+7ー λI

+~α1α~+

̲2α1αs+2α2αs  s+2ー λ α+s+4^{一入『 α+2β+5‑λ'}

6.1.  THE DMRL ALTERNATIVE  55  Table 6.1 

Efficacies 

0 /  

the DMRL‑test statistics 

ωhen the 

A1ternative 

Statistic  (i) 

。

^{i} (iii)  (iv)} 

λ =  1/10 

九(0

，

0) 0.5638  0.6609  0.0469  0.1131  九(0

・ ，

5) 0.6575  0.6334  0.0540  0.1435  九(0

，

1) 0.7284  0.5997  0.0585  0.1701  P2(

ム

0) 0.5942  0.6608  0.0491  0.1222  P2(.5

， 

.5)  0.6840  0.6293  0.0557  0.1526  P2(.5

，

1)  0.7509  0.5931  0.0597  0.1787  九(1

，

0) 0.6211  0.6611  0.0510  0.1306  P2(1

， 

.5)  0.7076  0.6256  0.0571  0.1608  P2(1

，

1)  0.7711  0.5874  0.0606  0.1866 

λ =  3/4 

九(0

，

0) 0.0534  0.0625  0.0044  0.0107  九(0

，

.5)  0.0857  0.0826  0.0070  0.0187  P2(0

，

1)  0.1182  0.0973  0.0095  0.0276  P2(.5

，

0)  0.0594  0.0660  0.0049  0.0122  九(.5

，

.5)  0.0934  0.0859  0.0076  0.0208  P2(.5

，

1)  0.1269  0.1002  0.0100  0.0302  九(1

，

0) 0.0647  0.0689  0.0053  0.0136  九(1

，

.5)  0.1003  0.0887  0.0081  0.0228  P2

( l ，

1)  0.1348  0.1026  0.0106  0.0326 

respectively

， 

whereψ(t)

， 

v and αj'S are given in the equations (6.1.7)

， 

(6.1.8) and  (6.1.3)ー(6.1.5)

，

respectively. Here ior the statistic P₁₍ψ1) we consider the weight  iunction ψ1 (t) to be oi iorm t^a. 50 the resulting statistic P₁ (ψ1) is  equivalent  to the statistic九α(

，

^α).

56  CHAPTER 6. TESTS FOR DMRL AND HNBUE 

Then the efficacies of the九(a

，

^s)‑test are given as follows:  for the alter‑ native (i) 

f 

1n(s + 2)  ln(α+β+4)  ) 2 ^{I ( f   ，}n¥2 ̲̲2  eff{P2(α

，

β ) } = { ‑ } / { ( α + 2 y^.lσ

i } ，  

l (

β +  1)(β+ 2)  (β+ 2)(α+β+ 3) 

J 

for (ii) 

eff{

p : 仇

β)}=

{ _l / ₍ / l

_{β +}  

' 

^，₂^，¥₎^")，_2(α1_+s+4)σ

，  l / ， 

 ^，. ₂ 

~2 _J 

for (iu) 

eff{P2(α

，

s)} = ~竺 +JL+α~~

L 

2 . 

s

十

o

α+β+ 5 

J 

and for (iv) 

f  ̲ 

，a2ln(s + 2)α31n(α+β+4)) 2 ^I 2  eff{乃(α

，

β)}= { α 1 + + } z  L‑‑^{.o. '}  _s 

+ 

^{1 α +s+3} 

J 

Some numerical evaluations of the above expressions with some values of  αand βyield the entries of Table 6.1.  Here we recommend the test based on  the P₂(1

， 

l)‑statistic for this testing problem. 

6.!. THE HNBUE ALTERNATIVE  57 

6.2.  The HNBUE A1ternative  For testing the null hypothesis 

π 。 :

^F(t) 

= 

^1 ‑exp( ‑tjμ)  for t三

o

^{(μunspecl五ed)}

versus the alternative 

冗6 : F(t) is  HNBUE

， 

but not exponential

， 

under the random censorship model

， 

Bergman and Klefsjo (1985) proposed the  class of the test statistics Q1(k) and Q2(k) with k integerと2based on the  property that if F(t) is  HNBUE then for k 

= 

2

， 

3

， ・ ・ ・ ， 

1

^{0 0  S1c(t)dt}

^{三 守}

and 

f ^い

^{1c(t)}dt三 同}

with l/1c  := 

2 : 7 = 1   j .  

In Bergman and Klefsjる(1985) a modi泊五制edKa句，子plar吋在島似el estimator was used to de

. n

^{ne the statistics} Qdk) and Q2(k) and the asymptotic  normality of the suitably normalized versions of the statistics was derived under  some strong conditions. Then these statistics can be represented as 

and 

r 

^S!(t)dt 

Q1(k) : ^{= . JU} ‑;:. 

r‑n 

f

‑ :

 

^{{1 ‑F;(t)}dt} 

Q2(k) : = ...u  ^{l ‑ ....}  μπ 

(6.2.1) 

(6.2.2)  by using the Kaplan‑Meier estimator Fn(t) de

. n

^{I凶 inthe equation (4.}1.1)  of  Section 4.1. Here we reject the null hypothesis 冗oin favor of 冗6for large values  of Q1(k) and reject冗。 forsmall values of Q2(k). It is seen that the test statistic  N₂₍ψ) withψ(t) = t^a and αnonnegative integer

， 

^{introduced in Section 5.2 for} 

testing against the NBUE alternatives

， 

is asymptotically equivalent to Q1(α+2). 

58  CHAPTER 6.  TESTS FOR DMRL AND HNBUE 

Kumazawa (1989a) introduced a measure of exponentiality against the HN‑

BUE life  df's given by 

d.1 : 

=  1

^{わ∞ 刊世州刈(}

^{0 0}

=付∞伽

^t)e‑tdt‑

1 ^{0 0 κ} _イ仰

^)d仇

with nonnegative weight functionゆ(t).Note that d.1 = 0 when Fε冗oand  d.1 > 0 when F E 冗6・Ifwe select the weight function 

ψ

(t) := t^a with α >  0

， 

the above measure d.₁ becomes 

+1n/̲¥ 

J ; ∞ 包

^as(u)ぬ

1=μa+lr(α)‑~一一 α  and a class of the test statistics 

f T r g n (

^包)du Q3(α) 

. =  .   " . . ;

^{U，，‑‑̲内‑1‑1}

μ九. (6.2.3)  for α >  0 may be constructed by using the Kaplan‑Meier estimator Fn(t). This  statistic in the uncensored case closely relates to the class of the statistics T_a  introdl悶 din  Kimball (1947) and may be considered部 anatural extension  of T_a for  the censored observations.  Some properties of T_a are discussed in  Lee et  al. (1980) in  detail.  Under the uncensored model Singh and Kochar  (1986) considered the above testing problem by using the weight functionゆ(t):= 

exp( ‑tjμF)jμF in the measure d.₁ and discussed some properties ofthe resulting  test statistic. 

Here Theorem 9.4 oi Dharmadhikari and Joag‑dev (1988) states that F(t)  is  an HNBUE liie df ii

， 

and only ii

， 

f

∞

f ∞

^{g(t)ほ p(‑tjμF)dt} 

1 

g(t)dF(t)三 3

Jo μF 

for all  nondecreasing

， 

convex function g(t) on [0

， ∞ ) .  

Hence the measure d.1 

may be also derived from this characterization oi the HNBUE life distributions.  Note that we reject 

π 。

^{infavor of冗6ior small values oi Q3(α).} 

Now the asymptotic distribution of the test statistic Q1(k) can be derived  from Theorem 4.1.1 oi Section 4.1. 

6.2.  THE HNBUE ALTERNATIVE  59 

COROLLARY 6.2.1.  Suppose that for五xedinteger kさ2the df's F(t) and G(t)  satisfy the conditions 

1

^{T H}  

h~(t)dC(t)

^<

^∞ 

^(6.2.4) 

and 

π1/2h1(T)→

o 

in probability asη →∞，  (6.2.5)  where 

ん(t):=

1

^00 S(u)d包

Then we have as n→ ∞  

ポ ヤ

where 

σ;:=j ; H {

μ2h1(t)‑fFh(t)}2dC(t)  μ企

μ2 : = 

1

⁰⁰ 

^s

^1&( t)dt 

and 

ん(t): 

= イ 内 )

COROLLARY 6.2.2.  Suppose that for fixed integer k 

2 :  

2 and the null hypothesis  F(t)

， 

the censoring df G(t) satisfies the conditions (6.2.4) and (6.2.5) ofCorollary  6.2.1.  Then we have as n→ ∞  

1・同

舟4噌Aσ 

AU  

/a

・ ︑

N J帥↓ ︑EEt﹀ ︐

EEJ1

一

h

︑ . ︐

F' m

︐ ︐  

I︑

唱A

n E v  

rB

﹄t

EK

司z u

︐ ︐ ︐ ︐  

'i

制  

品

where 

σ2L‑r

{S(t) ‑kS"(t)PdC(t) 

1，"  .‑ k2 

Again we can prove the asymptotic normality of the suitably normalized  version of the statistic Q2(k) from Theorem 4.1.1 of Section 4.1. 

60  CHAPTER 6. TESTS FOR DMRL AND HNBUE 

COROLLARY 6.2.3. Suppose that fOI五xedintegeI k三2the df F( t)  and the  censoIing df G(t) satisfy the conditions (6.2.4) and (6.2.5) of COIollaIY 6.2.1.  Then we have as n

→∞ 

wheIe 

and 

ポ ヤ

σ;:=j;H{μ2h1(t)‑fFh(t)}2dC(t)  μF 

μ2 : 

=  1

^{00 {1 ー戸内内内(}

^ω

^{附ttり川川)汀}}

h1(

川州(

ω

収吟

t

): 

=  1

^00 S(u)d包

ん(t): 

= 

k 

1

^00 F

^{c‑ I}

¹

^{州 包}

COROLLARY 6.2.4.  Suppose that fOI fixed integeI k三2and the null hypothesis  F(t)

， 

the censoIing df G(t) satisfies the conditions (6.2.4) and (6.2.5) ofCoIollary  6.2.1.  Then we have as n

→∞ 

η1/2{Q2(k) ‑V

I c }

→d N(O

， イ I c ) ， 

wheIe 

σ ; h イ∞山

From Corollaries 6.2.2 and 6.2.4 the asymptotic variances of the suitably  normalized versions OfQl(k) and Q2(k) under冗。hypothesisare found to depend  on the unknowns μand G(t)

， 

and may be estimated by 

づJ;:{丸

(t‑)‑kS!(t‑)Pde(t) 

v 1，1c  k₂ 

and 

勾 I c:  =  1

^T ν{

^{ふ 日 勾}

^{(tー)ー 1}2de例}

respectively.  The consistency of these estimators can be proved by the same 

6.!!.  THE HNBUE ALTERNATIVE  61 

method as given in Section 4.1. 

Next we consider the asymptotic distribution of the test  statistic Q3(α)  de五nedin the equation (6.2.3). 

THEOREM 6.2.5 (Kumazawa (1989a)). Suppose that for五xedconstant α > 0   the df's F(t) and G(t) satis今 theconditions 

f ^同

^(t)dC(t)<∞ 

and 

η1/2h;(T)→

o 

in probabi1ity as n→ ∞   for i = 1 and 2

， 

where 

ん(t):=

1

^{00 S( u)d包}

and 

ん(t):=

1

^00 uCt S 

Then we have as n→ ∞  

η1/2 

~

^{Q3(α)‑ζ:1} 

~→d

^N(O

， ぺ ) ，

t μF  J  where J.L2 :=ん(0)and 

σ2 .̲ 

h ; H {

^μ2(α

+ 

1)h1(t) ‑μFh2(t)PdC(t) 

PROOF: We have 

肌 π1/2

~

^Q3(α) ‑

~:1 ~

L μF  . J 

f T Z π

^(s )dh2( s) π1/2(向+1μ~+1 )η1/2h

2

^(T)

.‑.，...，‑1‑1 μ 2  ......"'‑l‑1 ↓ . ‑ . ， . . . L  1 

μ九・ μ九'μF μ九'

(6.2.6) 

(6.2.7) 

with Zn(t) 

=

^η1/2{Fn^{(t) ‑F(t)}jS(S).} It is  seen from Corollary 3.3 of Serfiing  (1980) and the fact that

ん

isa consistent estimator ofμF that the second term 

62  CHAPTER 6. TESTS FOR DMRL AND HNBUE 

of the right hand side is  asymptotically equivalent to  μ2(α+ 1) 

  : J ^{z .}

^叫(s)dhds) 

μ

予

+2 from the conditions (6.2.6) and (6.2.7) 

Now Lemma 3.1.2 of Section 3.1  together with the Cramむ‑Wold Device  implies that the random vector 

( l

^{T Zn(t)dh1(t)}

^，  l

^T Zn(t

附 ) )

converges in distribution as n→ ∞ to 

(

l

^TH

^{却 附}

with the limiting process Z(t) of み(t).Hence the limiting rv of Wn asπ→ ∞   can be expressed as 

f ; H  

Z(s)dh2(S)  JL2(α +  1) 

J ; H  

Z(s)dhl(S)  μa+l  _μF ..a+2 

J ; H {

μ2(α

+ 

1)h₁(t) ‑μFh2( t)}dZ( t)  μF a+2 

The desired result follows from the Fubini's Theorem and some calculations. I  COROLLARY 6.2.6. Suppose that for五xedconstant α >  0 and the null hypoth‑

esis  F(t)

， 

the censori時 dfG(t) satisfies  the conditions (6.2.6) and (6.2.7) of  Theorem 6.2.5. Then we have as n→ ∞  

η1/2{Q3(α) ‑r(α+1)}→d N(O

， イ

a)' where 

~，a

^:= 

1

^{00 { r(α+仰 )̲} 

^J

^{1LO O}

_戸

^t)

小

^C(包)

Because of the dependency of the asymptotic varianceσ3，a UIIdeE冗oon  the unknown parametersμand G(t)

， 

we may use a consistent estimator 

rT[n ， 

^{，n¥n L  ¥} 

: 1

^ftaEn(t)dt ) 2 

: = l 刊

(α+2)

ぬい‑)‑

A O M   }dC(包)

Jo   ..l μ九回 J 

6.~. THE HNBUE ALTERNATIVE  63 

by the theory of counting processes. 

We shall consider the e侃caciesof the tests based on the statistics Q1(k)

， 

Q2(k) ^and Q3(^{α) against the alternatives (i)‑(iv) listed in Section 4.1 under the}  proportional censoring model with否(t)= S^λ(t). Then Corollaries 6.2.2

， 

6.2.4  and 6.2.6 imply that μ =  1 and 0 < 入 <1.  And the asymptotic variances of  their suitably normalized versions under冗oare given by 

and 

宅 1 2  1 

σ1，11  : 

= 

k2(1ー λ)

一夜 E て可+

2k‑λ‑1'  仏 ・ ー ヤ 旬

一 ‑

2

， " .  ‑

^{~ i‑1一入}

σ d

必心 ふ

²

ふ

^hν，，:= 戸 = 斗= (件h削k似!川

白

(ο1 ^一 λ刈げ)i+1' 

respectively

， 

^where 

and 

αi，"

乞

ω C⁷ⁿ，II

，

l+7n=i 

川 := 

2 :  

^{dl，，，d7n，，，，} 

l+7n=i 

ω : = ( ^{川 合 )}

^ff^oo^rr ⁱ  i 

⁼ 

= 2¹ 

， 

3

，  . . . ，  

k

， 

for i 

= 

0 

for i = 1

， 

2

，  . .   .   ，

k. 

Here we assume for the statistic Q3(α) that α= k is  positive integer. 

As stated in the beginning of this section the Q1 (k )‑statistic is  equivalent  to the N2(ψ)‑statistic with ψ(t) 

= 

t"‑2

， 

^{we do not give the expressions for the} 

efficacies of the test based on Q1(k). Then some calculations show that for the 

64  CHAPTER 6. TESTS FOR DMRL AND HNBUE 

Table 6.2 

Efficαcies 01 the HNB UE‑test dαtutics  ωhen the censoring parameterλ=

ム

and2 Statutic  /り

Q1(2)  1.2474  Q1(3)  1.3732  Q2(2)  1.2474  Q2(3)  1.1289  Q3(1)  0.7217  Q3(2)  0.3889 

Q1(2)  0.1863  Q1(3)  0.3497  Q2(2)  0.1863  Q2(3)  0.1386  Q3(1)  0.01  Q3(2)  0.0008 

alter^口rna

eff州 仰

f パ ω { ω

偽仰附Q仏

ω2

似

バ μ

州(刈h作)例仲 ザ州

f

汽 刷 { for (ii) 

A1ternative 

。

^{i) (iiり}

0.6490  0.0721  0.5056  0.0711  0.6490  0.0721  0.6932  0.0691  0.7217  0.0451  0.5600  0.0243 

0.0969  0.0107  0.1287  0.0181  0.0969  0.0107  0.0851  0.0084  0.01  0.0006  0.0011  0.0001 

(iv 

0.3874  0.4 776  0.3874  0.3287  0.1804  0.0847 

0.0578  0.1216  0.0578  0.0403  0.0025  0.0002 

6.~. THE HNBUE ALTERNATIVE 

for (i益)

ザ引州

f

パ 馴 {

eザ引州

f

汀ff{

バ ω

^{胤 刷}

{

仙

ω

Q仏似3(

め

k

刈 ) リ } ト = { ド 「 灯 刷 r t ( ケ ^{: γ}

^什叫

^{γ + γ)}

²

^幻 リ

^{}2jσ ; h '} 

吋引州仰

パ ω f 刷 ω {

偽

ω

仏Q似

バ

2

( k 刈 刈 ) リ } ト = { 巳 ; z 右 ^{川 ( k ぺ γ   ; 7 ~ 1 1 う ) ( い 川}

^山i++刊叫

¹

^り)

^{ι い ; し 九 υ れ山}

^i+什

^J

²

^{幻 ψ ) }}

e

ザ引州

f 汀 爪 f パ m

^{胤 刷}

ω {

偽仏ω3(Q似

仏

k)

ト } ト = ゴ = r ^ド巾

²代²(伴k+

ベ 与 ^{1 +  持 ) ' / σ ;}

^h

^， 

and for (iv) 

ザf{Q2(kト (νh-hZ(叫ん~ ) 1 思 3 ) 2 / ^心

eff{Q3(k)} 

=  r

²(k 

+ 

1){ν10+1 ‑k ̲1}2jσ;，h

， 

respectively

， 

whereγdenotes the Euler's constant. 

65 

Table 6.2  shows the e罰caciesof the tests  based on the statistics Ql(2)，  Q1(3)

， 

Q2(2)

， 

Q2(3)

， 

Q3(2) and Q3(2) against the alternatives (i)‑(iv) and some  values of the censoring parameterλThe poorness of the performance of the  test based on the Ta‑statistic

， 

equivalent to the Q3(α)‑statistic in the uncensored  case

， 

was pointed out in Lee et al. (1980) and it  seems that the Q3(α)‑statistic in  the censored case inherits the characteristic of the Ta‑statistic.  Here we recom‑ mend the Q1 (3)‑test for testing exponentiality against the HNBUE alternatives  under the censored model based on the concept of the Pitman asymptotic rela‑ tive efficiency. 

Acknowledgments 

I wish to thank Professor S. Shirahata of Osaka U niversity for his advice and  constructive criticism.  My thanks also go to Professor M. Okamoto of Otemon  University

， 

Professor N. Inagaki and Professor K. Ishu of Osaka University from  whom I acquired statistical backgrounds and helpful discussions. 

References 

Aalen

， 

O. O. (1978). Nonparametric inference for a family of counting processes.  Ann. Stαtist. 6

， 

701‑726. 

Andersen

， 

P. K.

， 

Borgan

，  o . ， 

Gill

， 

R. D. and Keiding

， 

N. (1982). Linear non‑ parametric tests for comparison of counting processes

， 

with applications to  censored survival data. lnter.  Statist.  Rev. 50

， 

219‑258. 

Barlow

， 

R. E.

， 

Bartholomew

， 

D. J.

， 

Bremr

悶 ，

J.  M. and Bru

此 ，

H. D. (1972).  Stαtisticallnference under Order Restrictions. John Wiley

， 

New York.  Barlow

， 

R. E. and Campo

， 

R. (1975). Total time on test processes and applica‑

tions to failure data analysis.  In Reliαbility  and ，Pαult  Tree Analysis

， 

R.  E. Barlow

， 

J.  Fussell and N. D. Singpurwalla

， 

eds.

， 

SIAM

， 

Philadelphia

， 

451‑481. 

Barlow

， 

R. E. and Doksu凧 K.(1972). Isotonic tests for convex orderings. Proc.  Sizth Berkely Sympo. 1

， 

293‑323. 

Barlow

， 

^R. E. and Proschan

， 

^{F. (1969). A note on tests for monotone} if仏白a.ilu rate based on incomplete data.  Ann. Math. Statist.  40

， 

595‑600. 

Barlow

， 

R. E. and Proschan

， 

F. (1975). Stαtistical Theo叩 ofReliabilityαnd Life  Testing: Probability Models. Holt

， 

Rinehart and Winston

， 

New York.  Bergman

， 

B. and Kle色UO

，

B. (1985).  Testing against HNBUE with randomly 

censored data.  In  Contributions to  Prob.  Statist.  in Honour of G.  Blom

， 

J.  Lanke and G. Lindgrem

， 

eds.

， 

Lund

， 

49‑72. 

Bergman， B. and Klefsj，る B. (1989).  A family of test  statistics for detecting  monotone mean residuallife. J. Stαtist.  Plan.  lnfer. 21

，

161‑178. 

Billingsley

， 

P. (1968).  Converget問 。IfProbability Measures. John Wiley

， 

New 

REFERENCES  69 

York. 

Chen

， 

Y. Y.

， 

Hollander

， 

M. and LaIゆerg

，

N. A. (1983a). Testing whether new  is  better than used with randomly censored data. Ann. Statist.  11

， 

267‑ 274. 

Chen

， 

Y. Y.

， 

Hollander

， 

M. and La時berg

，

N. A. (1983b).  Tests for monotone  mean residuallife

， 

using randomly censored data. Biometrics 39

， 

119‑127.  De Souza Borges

， 

W.

， 

Proschan

， 

F. and Rodrig町 s

，

J.  (1984).  A simple test  for new better than used in expectation. Commun. Stαtist.‑Theory Meth.  A13

， 

3217‑3223. 

Deshpande

， 

J.  V. (1983).  A class of tests for expOI^悶 ltialityagainst increasing  failure rate average alternative. Biometrika 70

， 

514‑518. 

Dharmadhikari

， 

S. and Joag‑dev

， 

K. (1988). Unimodαlity

， 

Convezity

，

αnd Appli‑ cations. Academic Press

， 

New York. 

Fernholz

， 

L.  T.  (1983).  Von Mises  Calculus for  Statistical  Functionals.  Springer‑Verlag

， 

New York. 

G出， R. D. (1980).  Censori吋 andStochastic Integral.  Mathematical Centre  Tracts 124

， 

Mathematisch Centrum

， 

Amsterdam. 

Gill

， 

R. D. (1983).  Large sample behaviours of the product‑limit estimator on  the whole line. Ann. Statist.  11

，

49‑58. 

Hollander

， 

M. and Proschan

， 

F.  (1972).  Testing whether new is  better than  used. Ann. Math. Statist.  43

， 

1136‑1146. 

Hollander

， 

M. and Proschan

， 

F.  (1975).  Tests for  the  mean residual life.  Biometrika 62

， 

585‑593. 

Hollander

， 

M. and Proscl則 l

，

F. (1984).  Nonparametric concepts and methods  in reliability.  In Handbook of Statistics

， 

Vol.  ./.  P. K. Krishnaiah and P.  K. Sen. eds.

， 

North‑Holland

， 

New York

， 

613‑655. 

Hollander

， 

M.

， 

Park

， 

D. H. and Proschan

， 

F. (1985).  Testing whether new is  better than used of a speci:fied age

， 

with randomly censored data. Canad.  J. Statist.  13

， 

45‑52. 

70  REFERENCES 

Hollander

， 

M.

， 

Park

， 

D. H. and Proschan

， 

F. (1986). A class oflife distributions  for aging. J. Amer. Statut. A.uoc. 81

， 

91‑95. 

Joe

， 

H. and Proschan

， 

F. (1983).  Tests for properties of the percentile residual  life function. Commun. Statiot.‑Theory Meth. A12

， 

1087‑1119. 

Joe

， 

H. and Proschan

， 

F. (1984).  Percentile residualli長 functions.Oper.  Reo.  32

， 

668‑678. 

Kaplan

， 

E. L. and Meier

， 

P. (1958). Nonparametric estimation from incomplete  observations. J. Amer. Statut.  Auoc. 53

， 

457‑481. 

Kimball

， 

B. F. (1947).  Some basic theorems for  developing  tests  of五tfor  the case of nonparametric probability distribution functions. Ann. Math.  Statut. 18

， 

540‑548. 

Kle色jo

，

B. (1981). HNBUE survival under some shock models. Scαnd. J. Stati8t.  8

，

39‑47. 

Kle色j，る B.  (1982a).  On aging properties and total time on test  transforrr比

Scand. J. Stαtiot. 9， 37‑41. 

Klefsj，る B. (1982b).  The HNBUE and HNWUE classes  of life  distributions.  Naval Reo.  Logut.  Quart. 29

， 

331‑344. 

Kle^色uo

，

^B. (1983).  Some tests against aging based on the total time on test  transform. Commun. Statiot.‑Theory Meth. A12

， 

907‑927. 

Ko叫 H.L. (1978a). A class of tests for testing  new is better than used.' Canad.  J. Statiot. 6

， 

249‑271. 

Koul

， 

H. L. (1978b). Testing for new better than used in expectation. Commun. 

Statut.‑Theory Meth. A7

， 

685‑701. 

Ko叫 H.L. and Susarla

， 

V. (1980). Testing for new better than used in expec‑ tation with incomplete data. J. Amer. Stαtiot.  Aoooc. 75

， 

952‑956.  Kumazawa

， 

Y. (1983). A class oftest statistics for testing whether new is  better 

than used. Commun. Statiot.‑Theory Meth. A12

， 

311‑321. 

Kumazawa

， 

Y. (1984).  Tests for increasing failure rate average with randomly  censored data. Working Paper No. 11

， 

Shiga Univ. 

REFERENCES  71 

K umazawa

， 

Y. (1986a).  Tests for  new better than used in expectation with  randomly censored data.  Seq.  Anal. 5

， 

85‑92. 

Kumazawa

， 

Y. (1986b).  Large sample behaviors of statistics  under random  censorship.  Working Paper No. 15

， 

Shiga Univ. 

Kumazawa

， 

Y. (1986c). On testing NBU for random censors}吟 .Economic Rev.  Shiga Univ.  240

， 

79‑85. 

Kumazawa

， 

Y. (1986d).  Testing whether new better than used in expedation  for random censorship.  Seq.  Anal. 5

， 

339‑346. 

Kumazawa

， 

Y. (1986e). A class of tests for new better than used in expedation  with incomplete data.  Seq.  Anal. 5

， 

347‑361. 

Kumazawa

， 

Y. (1987a).  On testing whether new is  better than used using ran‑ domly censored data. Ann. Statiot.  15

， 

420‑426. 

Kumazawa

， 

Y. (1987b). A note on an estimator oflife expectancy with random  censorship. Biometrika 47

， 

655‑658. 

Kumazawa

， 

Y. (1988a).  Tests for NBUP‑αand NBU‑t_o under random censor‑ ship.  Economic Rev.  Shiga Univ.  253・254

，

169‑182. 

Kumazawa

， 

Y. (1988b).  Testing exponentiality based on total time on test  transform under random censorship.  Working Paper No. 19

， 

Shiga Univ.  Kumazawa

， 

Y. (1989a). Testing expor悶 ttialityfor HNBUE under random cen‑

sorship.  Economic Rev.  Shiga Univ.  260・261.(in press). 

Kumazawa

， 

Y. (1989b). Testing against NBUE under random censorship. Eco‑ nomic Rev.  Shiga Univ. 257

， 

95‑102. 

Larゆerg

，

N. A.

， 

Leon

， 

R. V. and Proschan

， 

F. (1980).  Characterization ofnon‑

parametric classes of life distributions. Ann. Prob. 8

， 

1163‑1170. 

Lee

， 

S.  C.  S.

， 

Locke

， 

C. and Spurrier

， 

J. D. (1980).  On a class  of tests  of  exponentiality.  Technometric$ 22

， 

547‑554. 

Marshall

， 

M. and Proschan

， 

F. (1972).  Classes of distributions applicable in  replacement with renewal theory implications. Proc.  Sizth Berkely Sympo・

1

， 

395‑415. 

ドキュメント内 滋賀大学学術情報リポジトリ (ページ 58-76)