乗分布

•

 母集団が標準正規分布

N (0, 1)

に従うとき，そこからの無作為標本

(z ₁ , z ₂ , . . . z _N )

によっ て作られる統計量

x =

N

i =1

z _i ² (124)

確率密度関数は

f (x) = 1

2 ^{n/ 2} Γ(N/2) x ^{N/ 2−1} e ^{− x/ 2} (125)

•

^このとき

, x

_は自由度

(d.f.)(degrees of freedom) N

_のカイ

2

乗分布

( χ ² -distribution)

に従う といい，

χ ² _N

_で表す

.

• Γ(m)

_{はガンマ関数と呼ばれ}

Γ(m) =

_∞

0

e ^{− x} x ^{m −1} dx (126)

で定義される

.

1. Γ(1) = 1 , Γ( ¹ ₂ ) = √ π 2. Γ(m + 1) = mΓ(m)

3. m

が正の整数なら

Γ(m) = m!

カイ 2 乗分布

•

^平均

:

xf (x)dx = 1

2 ^{N/ 2} Γ(N/2)

x ^{N/ 2−1} e ^{− x/ 2} dx

= 2(N/2)

2 ^{N/ 2+1} Γ(N/2 + 1)

x ^{N/ 2} e ^{− x/ 2} dx = N (127)

•

^分散

:

x ² f (x)dx − N ² = 1

2 ^{N/ 2} Γ(N/2)

x ² x ^{N/ 2−1} e ^{− x/ 2} dx − N ²

= 4(N/2)(N/2 + 1) 2 ^{N/ 2+2} Γ(N/2 + 2)

x ^{N/ 2+1} e ^{− x/ 2} dx − N ²

= 2N (128)

•

^カイ

2

乗分布表（付表）では，表側に自由度

N

_{をとり，表頭に確率}

α

_{をとる．両者がクロ} スするところにある値が

χ ² _N (α)

_{であって，}

p(x ≥ χ ² _N (α)) = α (129)

となる．すなわち，自由度

N

のカイ

2

乗分布に従う確率変数

x

が

χ ² _N (α)

以上という区間に 属する確率が

α

になる．この確率αを上側確率といい，

χ ² _N (α)

を上側

100α%

点という．

ティー分布

•

^確率変数

x

_{が標準正規分布}

N (0, 1)

_に従い

, y

_が自由度

ν

_のカイ

2

乗分布に従 うとする

.

•

^{このとき，}

2

つの確率変数

x, y

_{が独立ならば}

t = x

y ν

(130)

は自由度

(d.f.)ν

のティー分布

(t-distribution)

に従うといい

, t _ν

_で表す

.

•

^確率変数

t

_{の確率密度関数は}

f (t) = Γ( ^{ν +1} ₂ )

√ νπΓ( ^ν ₂ ) (1 + t ²

ν ) ^{− ν +1 2} , t ∈ ( −∞ , + ∞ ) (131)

である．

ティー分布

•

^一般に

, N (μ, σ ² )

における標本平均において，

x − μ σ/ √

N (132)

は標準正規分布に従うので

σ

既知のとき

μ

を推測することが可能

• σ ²

が分かっていないとき，思い切って標本分散

s _xx

を利用すると，

x − μ

√ s _xx / √

N (133)

は正規分布にしたがわない

•

^ところが

y = N s _xx

σ ² = 1 σ ²

N

i =1

(x _i − x) ² (134)

が

χ ² (N − 1)

に従い

• x ˆ = x − μ σ/ √

N (135)

が

N (0, 1)

_{に従うと仮定し}

,

これらの比を考えると未知の

σ

_{による項が消える}

ティー分布

•

^自由度

(d.f.)N

のティー分布

(t-distribution)

に従うといい

, t _N

で表す

.

•

^確率変数

t

_{の確率密度関数は}

f (t) = Γ( ^N ₂ ⁺¹ )

√ N Γ( ^N ₂ )Γ( ¹ ₂ ) (1 + t ²

N ) ⁻

^N2+1

, t ∈ ( −∞ , + ∞ ) (136)

である．

•

^平均

:

偶関数なので ゼロ

•

^分散

:

証明

1 + x ²

N = 1

t , Γ( ^N ₂ ⁺¹ )

√ N Γ( ^N ₂ )Γ( ¹ ₂ ) = A (137)

とおく

.

すると

x =

N ( 1

t − 1), 2x

N dx = − 1

t ² dt, ⇒ dx = −

√ N 2 ( 1

t − 1) ^{−1 / 2} t ⁻² dt (138)

x ∈ ( −∞ , ∞ ) ⇒ t ∈ (0, 1] (139)

ティー分布 ( 分散の証明つづき )

•

^{これらを用いると}

E[x ² ] = A

x ² (1 + x ²

N ) ⁻

^N2+1

dx = AN √ N

₁

0

t

^N+12

⁻² ( 1

t − 1) ^{1 / 2} dt

= AN √ N

₁

0

t

^N2

⁻² (1 − t) ^{1 / 2} dt = AN √ N

₁

0

t ⁽

^N2

⁻¹⁾⁻¹ (1 − t) ^{3 / 2−1} dt (140)

ここで

,

簡単のため

α = ^N ₂ − 1 , β = 3/2

とおき

Γ(α)Γ(β) Γ(α + β ) =

₁

0

t ^{α −1} (1 − t) ^{β −1} dt (141)

を利用すると

AN √

N

₁

0

t ⁽

^N2

⁻¹⁾⁻¹ (1 − t) ^{3 / 2−1} dt = AN √

N Γ( ^N ₂ − 1)Γ( ³ ₂ )

Γ( ^N ₂ + ¹ ₂ ) = Γ( ^N ₂ ⁺¹ )

√ N Γ( ^N ₂ )Γ( ¹ ₂ ) N √

N Γ( ^N ₂ − 1)Γ( ³ ₂ )

Γ( ^N ₂ + ¹ ₂ ) (142) Γ( ^N ₂ ⁺¹ )

√ N Γ( ^N ₂ )Γ( ¹ ₂ ) N √

N Γ( ^N ₂ − 1)Γ( ³ ₂ )

Γ( ^N ₂ + ¹ ₂ ) = N

N − 1 (143)

エフ分布

• x ₁ , x ₂

_{が互いに独立で}

,

それぞれ

χ ² (ν ₁ ), χ ² (ν ₂ )

_{にしたがうとき}

, F =

x ₁ ν ₁ x ₂ ν ₂

(144)

の分布を

,

自由度

(ν ₁ , ν ₂ )

_の

F

_分布

F (ν ₁ , ν ₂ )

_と言う

.

•

この分布は，理論値と実際に起こった値との差を評価するのに用いられる

.

天気予報の降水確率を評価するのに用いる

,

一般に，分散分析を行なうとき に用いられる

.

•

^{確率密度関数}

f (x) = Γ( ^{ν 1 +} ₂ ^{ν 2} )

Γ( ^ν ₂ ¹ )Γ( ^ν ₂ ² ) ( ν ₁

ν ₂ ) ^{ν 2 1} x ^{ν 1 2 −2} (1 + ν ₁

ν ₂ x) ^{− ν 1+ 2 ν 2} (145)

エフ分布 ( 平均 )

•

^平均

:

証明

E(x) =

_∞

0

xf (x)dx =

_∞

0

x Γ( ^ν

¹

⁺ ₂ ^ν

²

) Γ( ^ν ₂

¹

)Γ( ^ν ₂

²

) ( ν ₁

ν ₂ )

^ν21

x

^ν12−2

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx (146)

•

^{簡単のため}

A = Γ( ^ν

¹

⁺ ₂ ^ν

²

) Γ( ^ν ₂

¹

)Γ( ^ν ₂

²

) ( ν ₁

ν ₂ )

^ν21

(147)

とおき

E(x) =

_∞

0

Axx

^ν12−2

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx = A

_∞

0

x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx

= A[ 1

− ^ν

¹

⁺ ₂ ^ν

²

+ 1 ν ₂

ν ₁ x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ¹⁻

^ν1+2ν2

] ^∞ ₀ − A 1

− ^ν

¹

⁺ ₂ ^ν

²

+ 1 ν ₂ ν ₁

ν ₁ 2

_∞

0

x

^2−1ν1

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ¹⁻

^ν1+2ν2

dx

= − A 2

− (ν ₁ + ν ₂ ) + 2 ν ₂ ν ₁

ν ₁ 2

_∞

0

x

^2−1ν1

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ¹⁻

^ν1+2ν2

dx

= − A 2

− (ν ₁ + ν ₂ ) + 2 ν ₂ ν ₁

ν ₁ 2

_∞

0

x

^2−1ν1

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

(1 + ν ₁

ν ₂ x)dx

(148)

エフ分布 ( 平均 )

E(x) = − A ν ₂

− (ν ₁ + ν ₂ ) + 2 (

_∞

0

x

^2−1ν1

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

ν ₁

ν ₂ xdx −

_∞

0

x

^2−1ν1

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

)dx

= − A ν ₂

− (ν ₁ + ν ₂ ) + 2 ( ν ₁ ν ₂

_∞

0

x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx −

_∞

0

x

^2−1ν1

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

)dx (149)

_∞

0

A x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx = − A ν ₂

− (ν ₁ + ν ₂ ) + 2 ν ₁ ν ₂

_∞

0

x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx

− A ν ₂

− (ν ₁ + ν ₂ ) + 2

_∞

0

x

^ν21

⁻¹ (1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx (150)

_∞

0

A(1 + ν ₁

ν ₂ )x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx = − A ν ₂

− (ν ₁ + ν ₂ ) + 2

_∞

0

x

^ν21

⁻¹ (1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx (151) (1 + ν ₁

− (ν ₁ + ν ₂ ) + 2 )

_∞

0

Ax

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx = − ν ₂

− (ν ₁ + ν ₂ ) + 2 (152) E(x) =

_∞

0

Ax

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx = −

ν

₂

−( ν

₁

+ ν

₂

)+2 ν

₂

−( ν

₁

+ ν

₂

)+2

= ν ₂

ν ₂ − 2 (153)

エフ分布 ( 分散 )

E(x ² ) =

_∞

0

x ² f (x)dx =

_∞

0

x ² Γ( ^ν

¹

⁺ ₂ ^ν

²

) Γ( ^ν ₂

¹

)Γ( ^ν ₂

²

) ( ν ₁

ν ₂ )

^ν21

x

^ν12−2

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx (154) A = Γ( ^ν

¹

⁺ ₂ ^ν

²

)

Γ( ^ν ₂

¹

)Γ( ^ν ₂

²

) ( ν ₁

ν ₂ )

^ν21

(155)

を導入し

E(x ² ) =

_∞

0

x ² f (x)dx =

_∞

0

x ² Ax

^ν12−2

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx

= 2A

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ν ₂

ν ₁ x

^ν21

⁺¹ (1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

⁺¹ | ^∞ ₀

− 2A

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ν ₂ ν ₁ ( ν ₁

2 + 1)

_∞

0

x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

⁺¹ dx

= − 2A

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ν ₂ ν ₁ ( ν ₁

2 + 1)

_∞

0

x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

⁺¹ dx

= − 2A

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ν ₂ ν ₁ ( ν ₁

2 + 1)

_∞

0

x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx

− 2A

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ( ν ₁

2 + 1)

_∞

0

x

^ν21

⁺¹ (1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx

(156)

エフ分布 ( 分散 )

E(x ² ) = − 2A

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ν ₂ ν ₁ ( ν ₁

2 + 1)

_∞

0

x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx

− 2A

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ( ν ₁

2 + 1)

_∞

0

x

^ν21

⁺¹ (1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx

= − 2A

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ν ₂ ν ₁ ( ν ₁

2 + 1)

_∞

0

x

^ν21

(1 + ν ₁

ν ₂ x) ⁻

^ν1+2ν2

dx − 2

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ( ν ₁

2 + 1)E(x ² )

= − 2A

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ν ₂ ν ₁ ( ν ₁

2 + 1) ν ₂

ν ₂ − 2 − 2

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ( ν ₁

2 + 1)E(x ² ) (157)

(1 + 2

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ( ν ₁

2 + 1))E (x ² ) = − 2A

2 − (ν ₁ + ν ₂ ) ν ₂ ν ₁ ( ν ₁

2 + 1) ν ₂

ν ₂ − 2 (158)

V (x ² ) = E (x ² ) − (E(x)) ² = 2ν ₂ ² (ν ₁ + ν ₂ − 2)

ν ₁ (ν ₂ − 2) ² (ν ₂ − 4) (159)

14. 推定

点推定

•

^{データ処理は}

,

与えられたデータについて代表値や散布度などを算出 するものであり

,

結論もそのデータに関してのみいえる

•

統計処理が行われるのは

,

処理結果を取扱うデータのみに限定して言 及するのではなく

,

•

それを手がかりとして背後の母集団についての情報を得る

•

データの背後により大きい母集団があると考え

,

データはそこからラ ンダムに抽出されたサンプルとみなして

,

データ処理の結果をもとに

,

母集団の様相を推測する

.

推定量

•

^{記号の約束}

•

^母集団

–

母平均

μ,

–

母標準偏差

σ,

母分散

σ ² –

相関係数

ρ

•

^{標本統計量}

(

確率変数が

x

_{で表される場合}

) –

標本平均

x,

–

標本標準偏差

√

s _xx ,

分散

s _xx –

相関係数

r

•

^{ランダムサンプル}

(x ₁ , x ₂ , . . . , x _N )

_とは

,

同一母集団から無作為に抽出さ れた，相互に独立な

N

_{個のサンプルである．}

•

^これを

iid

サンプル（

independent and identically distributed random

samples

）という

モーメント法

• k

個の母数を推定したいとき

, k

次までの母集団モーメントと標本モー メントを対応させることにより，

k

個の方程式をたて，それを母数につ いて解くことによって，推定量を求めるというモーメント法である

.

• μ ˆ = x, σ ˆ ² = s _xx (160)

15. 推定量とその性質

不偏性

•

^不偏性

: unbiasedness

•

^{不偏推定量}

: unbiased estimator

•

^{個々の推定量の実現値}

,

すなわち推定値は母数から離れ

,

へだたりがあっ ても

,

何度も推定値を求めれば

,

平均的には母数が得られるような性質

•

標本平均の期待値は母平均に等しい

•

^証明

: x ₁ , x ₂ , . . . x _N

はそれぞれ同一の母集団から無作為に抽出されて いるため

,

それぞれ独立かつ同一の分布であると考えてよい

.

その結果

E (x ₁ ) = E (x ₂ ) = . . . = E (x _N ) = μ (161)

が成立する

.

その結果

,

E (x) = 1 N

N i =1

E (x _i ) = μ (162)

ドキュメント内 tokei01.dvi (ページ 77-93)