a t2 (C)
a t2
\)
a t2a
2 式(8 - 7)における確率の領域
a 立
円。
t 1
図8 立
一P nも同様の考え方で求められる.
P 3，
P 2，
以下，
ッ プ長の推定誤差 〆't\ hU 、、zノ ト
連続する n箇所の観測点を通過した場合， ト ッ プカ三，
ト dの長さをもっ
そこでaとa' の差 t nと推定される.
t 3+ + t 2+
t 1十 ッ プ長は2・ =
その2乗平均値を求めてみる.
を推定誤差とし，
(8 -9 ) 4L n 、、，ノ 2
t 2十 ・・・十 ( t 1 +
{ a
-一一2 n ε
ε n2の期待値は， これまで に誘導した確率式を用いて求めることができる.
>
その期待値E(ε 02)は， t 0の場合にはε 02= a 2であるが
n たとえば，
tによるa2の加重平均値と考えられる.
-a)g(t)d 2の条件下における(t
t / f a g ( t ) d
-a ) すなわち，
f a 2 ( t d
= a 2 g ( t ) d
-a )
上式の分母は，
ところで， P 0 ・ t 申であるから， E (ε 02)を書きなおせば，
a?L f'\ 2 刀ル∞O F--u
E (ε 02) = 4zL 申 、、，ノ (8-10)
( P 0・
d t/
g ( t ) -a)
式(8-10)より類推す れば 次 式(8-8)，
同様にε 12の期待値E (ε 1 2)を，
また，
t 2) 2 g ( t 2) d f a (a
-d t 1
{fg(t1) d a
1 2) = 式となる.
E Cε t 2
t 2) 2 g ( t 2) d d
f t 2(a -t 1
f g(tt)d a
+
t 2 t 2
t 2) 2 g ( t 2) d t 2- a ) ca
-d f ( t t十
a -t 1 t 1
a
f g(tt ) d +
138
a ∞
十
日
g ( t 1) d t 1 f t 1 (� -t 2) 2 g ( t 2) d t 2} / ( P 1. t 酬)d '
(8- 1 1) 以下， E (ε 22)， E (ε 32) ， ・・・， E (ε n 2)に関しでも同様である.
( 3 ) 観測点間隔が指数分布に従う場合
tが指数分布に従うものとすれば， その確率密度関数はg (t) =えex p (一λt) ( t孟o )で与えられ， したがって， トリ ッ プ長dが連続する n地点で観測され る確率P nを求めることができる . 結果は次の式のとおりである. すなわち，
式(8 -6 )のP 0， 式(8-8)のP 1に準じて， P 2， P 3， P 4， P nと一般形 を求め(付録C参照) ， 指数分布の確率密度関数を代入して整理すれば P n はポア ソ ン分布に従うことが示される. このことから， � 8. 2. 1の基礎理論の
正しさが確認できる
P n= (λæ)ne x p(-λæ)/ n (8-12)
( a )観測される箇所数の期待値
観測される箇所数の期待値M(æ)は次式によって表わされる.
∞ (λæ ) n-l M (æ ) = L n P n= (λ�) exp(-λ�)ε
n=O n=1 (n-1)! (8-13)
えæ= xとおいて上式を展開すると
M(æ)= xexp(-x)・(1 +x +x 2/2!+x 3/3!+・・・+xn/n!+・・・) (8-14) 上式の右辺()内の級数は， exp(x)のMaclaurin展開に他ならないので
M(æ)= x =æ/t 晦 (8-15)
すなわち， 観測される箇所数はトリ ッ プ長dと平均観測点間隔t 唱との比にな
スU
( b ) トリ ッ プ長の推定誤差
式(8-10)および式(8-11)から，
Po・E (ε 02) = (2/入2)(x 2/2)exp(-x)
P 1・E(ε 1 2) = (2/え2)(x3/3! -x2/2! +x/1!) exp (-x) 同様に
、、1J 11f VA VA
-
-ft、
JI1 nur ny VA VA 凸U 凸U
、、l，
、1，J nJ心 n〈U //
//
2 3 VA VA + + qu A三 //
//
3 4 VA VA
-
-an吐
「hu //
//
4 5 VA V八
，，E‘、，，E、、1IF---
，，E、、1IF---2 2
、人
、人 //
//
つL n，L
，，z‘、，，z、、一一一一、I，，、、，，F
2 2 2 3 ε ε
，，z、、，，z‘、
nHU nドU 2 3 nyA nドA
(8-16)
139
-P n' E (ε n2) = (2/λ2) (x (n -+-2) / ( n + 2) ! -x (n -+-1 ) / ( n + 1 ) ! + x n / n ! ) c x p ( -x )
したがって， トリ ッ プ長推定誤差の期待値は，
∞ 2
E (ε 2) = ε P n. E (ε n2) = 一一一 (1 - e -X)
n=O λ2 (8-17)
以上から， ①観測される箇所数の期待値はトリ ッ プ長と平均観測点間隔との 比率で求められること， ②トリ ッ プ長推定誤差の2乗平均値は平均観測点間隔 の2乗に比例して増大することが明らかであり， これらは等観測点間隔の場合
と同じ内容をもっ結果である.
8 . 2 _ 2 観測点間隔が一按分布および対数正規分布に従う場合
本節 では， 観測点間隔に関する確率分布として一様分布， 対数正規分布を用 いながら数値シミュ レーシ ョ ンを行なうこと により， 前節の内容を補足し， 望 ましい観測点間隔のあり方について考察を加えるものである.
( 1 ) トリ ッ プ長の推定
誤差に関する特性 図8 - 4は， 期待値を ほ ぼ 5 . 0に固定し， 一様 分布と対数正規分布に関
しては標準偏差を2. 9前 後に制御した観測点間隔 分布をもとに， トリ ッ プ 長の推定誤差の2乗平均 値の平方根ε +の値のト
リ ッ プ長aによる変化を みたものである. 等観測 点間隔の場合には一定の
周期でε ・の増減が繰返 されるのに対し， 観測点、
間隔が確率分布する場合 にはいずれも一定値に収
対数正規分布間隔
1# 4.0
処』
$l 務3.0 {tぜ 梨2.0
1.0
o 10 20 30 40
トリップ長上かm) 図8-4 トリップ長と推定誤差(配置間隔の分布形の変イヒ)
よ)σ t=2.75
V 0/
= 0 .30
。 10 ?どn u 30 40
トリップ長1 (km) 図8-5 トリップ長と推定誤差(一線分布配置間隔の分散の変化)
140
-東しており， 等観測点 間隔の場合よりも大きなε ・の値を示している. なお，
図8 - 4で 観測点間隔が確率分布をする2ケースの比較を行なうと， 期待値，
標準偏差に差がないにもかかわらず， ε ゅの値に明瞭な差が現れている. これ は分布形の特性に由来するものと考えられる
次に， 観測点間隔の標準偏差の大きさの変化がε ・の増減に及ぼす影響につ いてみ てみよう. 図8 - 5は 観測点間隔を平均ほぼ5. 0の一様分布であるとし た場合に， 標準偏差の変化によるε 'の曲線形の変化を表わしたものである.
観測点間隔の標準偏差σ tの減少につれて曲線は下方に推移する. ①， ②など 比較的σ tの大きな範囲では上下変動が小さく横這い状態を呈するが， σ tの減 少につれて周期性を帯び， 上下変動の激しい曲線形に変化する. さらにσ tが
Oに近づくと等観測点間隔における誤差曲線に漸近していく.
( 2 )平均観測点間隔の目標値
これまでの解析結果から判断すると， トリ ッ プ長の推定誤差を可能な限り小
さくするという目的を設定した場合， 一般的には平均観測点間隔が短く， 観測 点間隔のばらつきが小さい配置を目指すべきこととなる
しかし， これまでの解析から は意味のある限界値， あるいは特性の変化点の ような特定の値を見出すことができなかった. そ こで， 平均観測点間隔の目標 値を設定するため， トリ ッ プ長分布を考慮した以下の分析を試み る.
トリ ッ プ長の推定誤差の2乗平均値E (ε 2)をトリ ッ プ長分布の確率密度 関数
f (a)を用いて平均化した値ε .2を次のように定義する.
<x>
AU βL
、、，J PTA βuN pu 2 pu nNu ns-d 一一2
Pレ (8-18)
ε 申2は式(8-17)や図8 - 4に示されるように， 観測点間隔tの期待値t ·およ び標準偏差σ tのみの関数となる. 観測点を等間隔に すれば， σ t= 0となりt..
( = t )の みの影響を考えればよい. したがって， 等観測点間隔に関してε ・2とt -との関係が求められれば， 観測誤差の許容値ε 〈け2を与えることにより， 対
応するt(バを逆算的に求めることができる
図8 - 6は昭和55年度の全国道路交通情勢調査自動車o D調査の結果から，
トリ ッ プ長の頻度分布を求め， それを対数正規確率紙上に表わしたものであり，
各点は ほぼ直線上にある. このことから， トリ ッ プ長分布は対数正規分布であ - 141
-るとみなすことができる . よりトリ ッ プ長の自然対数の19J f寺他勺 と標準偏 差σ￡ を求めると， μ，_ =1. 829， σt =1. 101であり， トリ y プ長中央値は6. 23
km， 平均トリ ッ プ長11. 42k m 標準偏差17.55k mとなることがわかる. そこ で， トリ ッ フ長の分布をパラメータμ1. .σt を用いた対数正規分布とし ， そ の確率密度関数を次のように設定した.
誤差特性は一様分布， 対数正規 分布等に従う観測点間隔による 誤差特性の下限値に相当してお
り， 図8 - 7の値も平均観測点間隔一定の条件下におけるトリ ッ プ長推定誤差
f (a )
rz;;句 ・ 2
等観測点間隔のε 2，こ関する 式(8-4)と式(8-19)を用いて，
式(8-18)のε ・2の値を数値積分 法iこより計算した. 図8 - 7は ε せの平方根と平均トリ ッ プ長 a +との比率が平均観測点間隔
t 申によ ってどのように変化す るかをみたものである. 図8
4 ， 図8 - 5の結果からもわか るように， 等観測点間隔による
d?n(a)-μ， 2
( ー ) }
σ L
(8-19)
e xp
{-�O
nvnUハun
U 円U
7 6 5 4
3
10 5
図8-6自動車ODのトリップ長分布
平均特性の下限値を示すと考えられる.
以上において， トリ ッ プを単位として分析を進め， 観測点間隔とトリ ッ プ長 の捕捉精度との関係を明らかにした. これは， トリ ソ プ長の捕捉問題が理論的
に取り扱いやすいこと， トリ ソ プ長の捕捉精度が走行台キロ推定精度や区間平 均交通量の推定精度に関係が深いことによる. しかし， 本章で交j重量観測系の
問題を考察する目的は， 走行台キロに代表される交通の活動量を精度良く捉え る観測系を編成することにあり， この観点から， 観測点間隔と走行台キロの推 定精度との関係こそ明らかにすべき問題である. そこで， 以下に ， トリ ッ プ長 推定精度と走行台キロ推定精度との関係を検討する.
142
観測点間隔t (等間隔)の道路区間で， 長さt2jのトリ ッ プが通過する観測 点数を n j とすれば， トリ ッ プ長の推定誤差は U j-t2j n jtである. 一方，
同区間の交通量がq台であるとき， 走行台キロの推定誤差U は次式で与えられ
る.
q Q
U = j =1 L (t2j - n jt) j =1 L U j
(8-20)
ここで， U jを確率変数 と 考え ， その期待値， 分散を(μ u. σ u2) とすると，
Uもまた確率変数 となり， その期待値， 分散はそれぞれ，
E (U) = Qμ u， Var(U) =Q σ U2 (8-21)
となる. 平均トリ ッ プ長に対する推定誤差の標準偏差を， トリ ッ プ長の推定誤 差率e = σ u/ t2申と定義すれば， 走行台キロの推定誤差率は次式となる.
λ=
j
Q σ u2/ ( Q t2 +) =θ/Jq
(8-22)たとえば， 交通量が100台のときにはλ=e / 10となり， 走行台キロ 推定誤
差率はトリ ッ プ長推定誤差率の1/10倍である. また， 交通量が10000台であれ ば1/100倍 となる.
図8 - 7より， 一例として1台の自動車の走行キロ 推定誤差率 (トリ ッ プ長 推定誤差率)を10%以下に抑えることを考えれば， 観測点間隔を2.5 k m以下 にする必要があ り， 同じく20%以下に抑えるためには観測点間隔を5.0k m以 下にする必要があることなどが読み取れる.
しかし， このことは， 道路区間が十分に長く， かっトリ ッ プ長に偏りがない 場合にのみ成立する . すなわち， 有限の長さをもっ区間上の走行距離の上限値 は区間長であるので， 長さLの区間上の走行距離分布は， 与えられ たトリ ッ フ 長分布 とは一致せず， トリ ッ プ長分布の確率密度関数を， O--L ， L--2L ，
. ， (i-l)L--iL ， ・ ・ ・ に分割し， 0 -- Lの区間で重ね合わせ合成し た確率密度関数をもつことになる. これをh (t2 )とすれば，
co
h (t2)= L f (t2 + i L ) ( 0くd三L) (8-23)
以上の考察のもとに， 交通量10000台 とし， 区間長 Lを変化させて観測点間 隔と走行台キロ 推定度差率 との関係を求めたものが図8 -8である. 同じ観測
点間隔でも区聞が短いほど誤差率が高いこと が読み取れる. また， 図8 - 7と
143
-の{直が 図8 8
比較すると
• ' . ' ， • . • 1・
有限長の区 な っており，
高く
間における走行台キロ推定の 区間長が十分に長 誤差率は，
い場合に比べて高く なること
50 0.0
00
もわかる.
15.0
限測間関( k m )
観測点間隔とトリップ長推定誤差との関係
100
図8-7
‘ゾ プ長分布
次にト さて，
の偏り の影響について考えよ
(渓)州附州問応川開銀ロ什ac州問
10
- ・
? ・ ー ー ・ ー ・ ー ・ ・ ・ ・ ・ ・ ー ー ・・ ・ .
一 一
ー 司 ・ .
ーーー一・ .... 一一一 一 一ー一一 一一 一 一ー一 一 一 一一一 一ーー・. . 一・ .
00 0.0
*
鎖 倒100.0
定=自 主主� K ?、
ー町、
」ー
第5章から第7章にわた
この道路 網を利用する交通に関して，
福岡市道路網を計算例と して用いて きたが，
つ
り，
nue nu nu vFミ
、，Fm aK
関崎 』
i '『'測殿内u
50 nu
ゾーン間およびゾー ン内内交
観測点間隔と走行台キロ推定誤差率との関係 図8-8
ゾーン内マ
一 一
ッ プ長を合成して求 通のト
ト ッ プ めたのが図8 - 9の
o nU 2J
(渓}おこの分布の平 長分布である.
� 20.0
標、
ッ プ長は5.35km，
均ト
全 準偏差は3. 95 k mであり
10.0
ッ プ長11.42km，
国平均ト
標準偏差17.55kmに比較し
200 25.0
トリップ長(km)
標準偏差ともに小 150
て平均値，
2ρ
み吃
音十 間
1.0 1:'t 主主 3 什
�J -"i ι00
*-� 50.0寸，
側 制
!1í 400--1‘
例縦
断 300
K ?、
ヘ 200寸' ..L
10.0--1‘
福岡市道路網のトリソプ長分布
.•
••
• .. e •
• • • . 、
図8-9
き宅
待
� gτ ω1000
>c Eど
"
ご、
..L
ッ プ長分布を
推定誤差率を示したものが図
8 8に比
交通量10000台，
全般に誤差率が上昇し 区間長Lに対する走行台キロ
- 10である. 図8 べて，
このト もとにして，
さし1
8 0
ている.
1 --， 一了一一一r'0
10.0 15.0
観月時間関( k m)
観測点、間隔と走行台キロ推定誤差率との関係 (福岡市トリップ長分布にもとづく)
50
図8 -10 走行台キ ロなど
を用いた道路区間の評価は，
とこ ろで，
144