一階線形微分方程式 ( 定数変化法 )

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ. この形の微分方程式は 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

＊ この方程式を 方程式 に対応する線形同次方程式とよぶ ＊ の解は

より は定数

ここで と定数が変化すると考えて に代入すると

× ×

従って となり の

解は となる

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.22/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は, 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx + p(x)y = 0 ⁽＊⁾

この方程式を 方程式 に対応する線形同次方程式とよぶ ＊ の解は

より は定数

ここで と定数が変化すると考えて に代入すると

× ×

従って となり の

解は となる

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は, 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx + p(x)y = 0 ⁽＊⁾

この方程式を, _方程式 (4) _に対応する線形同次方程式とよぶ.

＊ の解は

より は定数

ここで と定数が変化すると考えて に代入すると

× ×

従って となり の

解は となる

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.22/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は, 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx + p(x)y = 0 ⁽＊⁾

この方程式を, _方程式 (4) _に対応する線形同次方程式とよぶ. (_＊) _の解は Z dy

y = − Z

p(x)dx より y = C exp{−

Z

p(x)dx} (C は定数) ここで と定数が変化すると考えて に代入すると

× ×

従って となり の

解は となる

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は, 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx + p(x)y = 0 ⁽＊⁾

この方程式を, _方程式 (4) _に対応する線形同次方程式とよぶ. (_＊) _の解は Z dy

y = − Z

p(x)dx より y = C exp{−

Z

p(x)dx} (C は定数) ここで, C = C(x) と定数が変化すると考えて (4) _{に代入すると}

× ×

従って となり の

解は となる

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.22/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は, 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx + p(x)y = 0 ⁽＊⁾

この方程式を, _方程式 (4) _に対応する線形同次方程式とよぶ. (_＊) _の解は Z dy

y = − Z

p(x)dx より y = C exp{−

Z

p(x)dx} (C は定数) ここで, C = C(x) と定数が変化すると考えて (4) _{に代入すると}

dy

dx + p(x)y = dC

dx exp{−

Z

p(x)dx} − Cp(x) exp{−

Z

p(x)dx} + p(x)C exp{−

Z

p(x)dx}

× ×

従って となり の

解は となる

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は, 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx + p(x)y = 0 ⁽＊⁾

この方程式を, _方程式 (4) _に対応する線形同次方程式とよぶ. (_＊) _の解は Z dy

y = − Z

p(x)dx より y = C exp{−

Z

p(x)dx} (C は定数) ここで, C = C(x) と定数が変化すると考えて (4) _{に代入すると}

dy

dx + p(x)y = dC

dx exp{−

Z

p(x)dx} − Cp(x) exp{−

Z

p(x)dx} + p(x)C exp{−

Z

p(x)dx}

× ×

従って となり の

解は となる

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.22/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は, 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx + p(x)y = 0 ⁽＊⁾

この方程式を, _方程式 (4) _に対応する線形同次方程式とよぶ. (_＊) _の解は Z dy

y = − Z

p(x)dx より y = C exp{−

Z

p(x)dx} (C は定数) ここで, C = C(x) と定数が変化すると考えて (4) _{に代入すると}

dy

dx + p(x)y = dC

dx exp{−

Z

p(x)dx} − Cp(x) exp{−

Z

p(x)dx} + p(x)C exp{−

Z

p(x)dx}

× ×

= dC

dx exp{−

Z

p(x)dx} = q(x)

従って となり の

解は となる

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は, 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx + p(x)y = 0 ⁽＊⁾

この方程式を, _方程式 (4) _に対応する線形同次方程式とよぶ. (_＊) _の解は Z dy

y = − Z

p(x)dx より y = C exp{−

Z

p(x)dx} (C は定数) ここで, C = C(x) と定数が変化すると考えて (4) _{に代入すると}

dy

dx + p(x)y = dC

dx exp{−

Z

p(x)dx} − Cp(x) exp{−

Z

p(x)dx} + p(x)C exp{−

Z

p(x)dx}

× ×

= dC

dx exp{−

Z

p(x)dx} = q(x)

··· dC

dx = q(x) exp{

Z

p(x)dx}

従って となり の

解は となる

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.22/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は, 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx + p(x)y = 0 ⁽＊⁾

この方程式を, _方程式 (4) _に対応する線形同次方程式とよぶ. (_＊) _の解は Z dy

y = − Z

p(x)dx より y = C exp{−

Z

p(x)dx} (C は定数) ここで, C = C(x) と定数が変化すると考えて (4) _{に代入すると}

dy

dx + p(x)y = dC

dx exp{−

Z

p(x)dx} − Cp(x) exp{−

Z

p(x)dx} + p(x)C exp{−

Z

p(x)dx}

× ×

= dC

dx exp{−

Z

p(x)dx} = q(x)

··· dC

dx = q(x) exp{

Z

p(x)dx} 従って C(x) = Z

q(x) exp{

Z

p(x)dx}dx となり, の

解は となる

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

x _{を独立変数とし}, y = y(x) を未知関数とするとき dy

dx + p(x)y = q(x) ⁽⁴⁾

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は, 先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx + p(x)y = 0 ⁽＊⁾

この方程式を, _方程式 (4) _に対応する線形同次方程式とよぶ. (_＊) _の解は Z dy

y = − Z

p(x)dx より y = C exp{−

Z

p(x)dx} (C は定数) ここで, C = C(x) と定数が変化すると考えて (4) _{に代入すると}

dy

dx + p(x)y = dC

dx exp{−

Z

p(x)dx} − Cp(x) exp{−

Z

p(x)dx} + p(x)C exp{−

Z

p(x)dx}

× ×

= dC

dx exp{−

Z

p(x)dx} = q(x)

··· dC

dx = q(x) exp{

Z

p(x)dx} 従って C(x) = Z

q(x) exp{

Z

p(x)dx}dx となり, (4) の 解は y =

„Z

q(x) exp{

Z

p(x)dx}dx

«

exp{−

Z

p(x)dx} となる.

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.22/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[例題^]

y^′ + 2x

x² + 1y = 4x の一般解を求めよ. (5)

解答 対応する線形同次方程式は

この解は すなわち

として に代入すると

は積分定数

従って解は は任意の定数

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[例題^]

y^′ + 2x

x² + 1y = 4x の一般解を求めよ. (5) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx + 2x

x² + 1y = 0

この解は すなわち

として に代入すると

は積分定数

従って解は は任意の定数

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.23/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[例題^]

y^′ + 2x

x² + 1y = 4x の一般解を求めよ. (5) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx + 2x

x² + 1y = 0 この解は log|y| = −log(x² + 1) + c _すなわち y = C

x² + 1 として に代入すると

は積分定数

従って解は は任意の定数

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[例題^]

y^′ + 2x

x² + 1y = 4x の一般解を求めよ. (5) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx + 2x

x² + 1y = 0 この解は log|y| = −log(x² + 1) + c _すなわち y = C

x² + 1 y = C(x)

x² + 1 ^として (5) に代入すると は積分定数

従って解は は任意の定数

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.23/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[例題^]

y^′ + 2x

x² + 1y = 4x の一般解を求めよ. (5) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx + 2x

x² + 1y = 0 この解は log|y| = −log(x² + 1) + c _すなわち y = C

x² + 1 y = C(x)

x² + 1 ^として (5) に代入すると C^′

x² + 1 = 4x ^i.e. C^′ = 4x(x² + 1) は積分定数

従って解は は任意の定数

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[例題^]

y^′ + 2x

x² + 1y = 4x の一般解を求めよ. (5) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx + 2x

x² + 1y = 0 この解は log|y| = −log(x² + 1) + c _すなわち y = C

x² + 1 y = C(x)

x² + 1 ^として (5) に代入すると C^′

x² + 1 = 4x ^i.e. C^′ = 4x(x² + 1)

··· C(x) = x⁴ + 2x² + c (c は積分定数)

従って解は は任意の定数

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.23/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[例題^]

y^′ + 2x

x² + 1y = 4x の一般解を求めよ. (5) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx + 2x

x² + 1y = 0 この解は log|y| = −log(x² + 1) + c _すなわち y = C

x² + 1 y = C(x)

x² + 1 ^として (5) に代入すると C^′

x² + 1 = 4x ^i.e. C^′ = 4x(x² + 1)

··· C(x) = x⁴ + 2x² + c (c は積分定数)

従って解は y = x⁴ + 2x² + c

x² + 1 (c は任意の定数).

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[練習問題^]

y^′ − 1

xy = xcosx _{の一般解を求めよ}. (6)

解答 対応する線形同次方程式は

この解は すなわち

として に代入すると

は積分定数

従って解は は任意の定数

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.24/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[練習問題^]

y^′ − 1

xy = xcosx _{の一般解を求めよ}. (6) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx − 1

xy = 0

この解は すなわち

として に代入すると

は積分定数

従って解は は任意の定数

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[練習問題^]

y^′ − 1

xy = xcosx _{の一般解を求めよ}. (6) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx − 1

xy = 0 この解は log|y| = log|x| + c _すなわち y = Cx として に代入すると

は積分定数

従って解は は任意の定数

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.24/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[練習問題^]

y^′ − 1

xy = xcosx _{の一般解を求めよ}. (6) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx − 1

xy = 0 この解は log|y| = log|x| + c _すなわち y = Cx y = C(x)x として (6) _{に代入すると}

は積分定数

従って解は は任意の定数

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[練習問題^]

y^′ − 1

xy = xcosx _{の一般解を求めよ}. (6) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx − 1

xy = 0 この解は log|y| = log|x| + c _すなわち y = Cx

y = C(x)x として (6) _{に代入すると} C^′x = xcosx i.e. C^′ = cosx は積分定数

従って解は は任意の定数

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.24/30}

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[練習問題^]

y^′ − 1

xy = xcosx _{の一般解を求めよ}. (6) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx − 1

xy = 0 この解は log|y| = log|x| + c _すなわち y = Cx

y = C(x)x として (6) _{に代入すると} C^′x = xcosx i.e. C^′ = cosx

··· C(x) = sinx+ c (c は積分定数)

従って解は は任意の定数

5. _{一階線形微分方程式} ( _{定数変化法} )

[練習問題^]

y^′ − 1

xy = xcosx _{の一般解を求めよ}. (6) [解答^] 対応する線形同次方程式は

dy

dx − 1

xy = 0 この解は log|y| = log|x| + c _すなわち y = Cx

y = C(x)x として (6) _{に代入すると} C^′x = xcosx i.e. C^′ = cosx

··· C(x) = sinx+ c (c は積分定数)

従って解は y = xsinx + cx (c は任意の定数).

I.常微分方程式の初等積分法^{– p.24/30}

ドキュメント内 1 I p2/30 (ページ 118-144)