1.7 九州看護福祉大学
1.7.1 一般試験 (地方試験 1)
1
次の各問いに答えよ。問1. aを|a| 5 2を満たす実数とする。2次関数f(x) = x2 −4x+ 1に対し，
f(a+ 1)はa= ア のとき，最大値 イ をとり，a= ウ のとき，最 小値 エ をとる。
問2. 原点Oから出発して数直線上を動く点Pは，硬貨を投げて，表が出ると き+1移動し，裏が出るとき−1移動する。硬貨を4回投げたとき，次の 確率を求めよ。
(1) 点Pの座標が原点Oになる確率は オ である。
(2) 点Pの座標が2になる確率は カ である。
問3. √
5の小数部分をaとするとき，
√45
a の値は キ である。
問4. 連続する3つの整数がある。もっとも小さい数の平方ともっとも大きい数 の平方の和は，もっとも大きい数の5倍に等しい。これら連続する3つの 整数の和は ク である。
2
次の各問いに答えよ。なお，解答は答えだけでなく，答えを導くまでの手順がわかるように書くこと。
問A. 図のような4ABCにおいて，∠ABC = 60◦，BC = 3，AC = 7とする。
辺AC上に点PをAP = 2となるようにとる。
(1) ABの長さを求めよ。
(2) 4PBCの面積を求めよ。
B C
P A
問B. 3x−2< x2 54x−3を満たすxの値の範囲を求めよ。
解答例
1
問1. |a|52から −25a52f(a+ 1) = (a+ 1)2−4(a+ 1) + 1
=a2−2a−2
= (a−1)2 −3
ゆえに，|a|52において，f(a+ 1)は，
a =−2のとき最大値6をとり，
a = 1のとき最小値−3をとる．
(答) ア. −2 イ. 6 ウ. 1 エ. −3
問2. (1) 表が出る回数をx回，裏が出る回数をy回とすると x+y= 4，1·x+ (−1)·y= 0
であるから，これを解いて x= 2，y= 2 よって 4C2
µ1 2
¶2µ 1 2
¶2
= 3 8
(2) 表が出る回数をx回，裏が出る回数をy回とすると x+y= 4，1·x+ (−1)·y= 2
であるから，これを解いて x= 3，y= 1 よって 4C3
µ1 2
¶3µ 1 2
¶1
= 1 4 (答) オ. 3
8 カ. 1 4 問3. √
4<√ 5<√
9より，2<√
5<3であるから√
5の整数部分は2である．
ゆえに √
5 = 2 +a これから a =√ 5−2 よって
√45
a = 3√
√ 5
5−2 = 3√ 5(√
5 + 2) (√
5−2)(√
5 + 2) =15 + 6√ 5 (答) キ. 15 + 6√
5
問4. 連続する3つの整数をn，n+ 1，n+ 2とおくと n2+ (n+ 2)2 = 5(n+ 2)
整理して 2n2−n−6 = 0 ゆえに (n−2)(2n+ 3) = 0 nは整数であるから n= 2
したがって，連続する3つの数は 2，3，4
よって，これら連続する3つの整数の和は 2 + 3 + 4 =9 (答) ク. 9
2
問A. (1) 余弦定理により CA2 = AB2+ BC2−2·AB·BC cosB AB =xとおくとゆえに 72 =x2+ 32−2·x·3 cos 60◦ 49 =x2+ 9−2·x·3·1
2 整理すると x2−3x−40 = 0
(x+ 5)(x−8) = 0 x >0 であるから x=8 (2) 4ABC = 1
2AB·BC sinB = 1
2·8·3 sin 60◦ = 1 2·8·3·
√3 2 = 6√
3 4PBC :4ABC = PC : ACであるから，
PC = AC−AP = 7−2 = 5より 4PBC =4ABC× PC
AC = 6√ 3× 5
7 = 30√ 3 7 問B. 3x−2< x2 から
x2−3x+ 2 >0 ゆえに x <1, 2< x · · ·°1 x2 54x−3から
x2−4x+ 3 50 ゆえに 15x53 · · ·°2 1
°と°2 の共通範囲を求めて 2 < x5 3
1.7.2 一般試験 ( 地方試験 2)
入 学 試 験 問 題
数 学 I ・ A
( 地 方 試 験 )
大阪・佐賀・熊本・大分・鹿児島
看護学科・リハビリテーション学科・社会福祉学科 平成19年2月2日実施
注意事項
1. 「始め」の合図があるまで問題用紙を開かないこと。
2. 受験票、筆記用具(鉛筆・消しゴム)、時計(時間表示機能のみ)以外の物は机の下 に置くこと。
3. 問題用紙は、表紙を含めて3ページ あり、これとは別に 解答用紙が、1枚 ある。
4. 受験番号と氏名は、監督者の指示に従って記入すること。
(解答用紙の受験番号と氏名欄はすべて記入すること。)
5. 質問事項等がある場合や特別な事情(病気・トイレ等)のある場合には、その場で 手を挙げて待機し、監督者の指示に従うこと。
6. 原則として、試験終了まで退出できない。
7. 試験終了後は、監督者の指示があるまで、各自の席で待機すること。
8. 解答用紙を回収した後、問題用紙は持ち帰ること。
9. 試験会場では、携帯電話・PHS・ポケベル・時計のアラーム等の電源を切ってお くこと。
1
次の各問いに答えよ。問1. 90◦ 5 θ 5180◦とする。sinθ = 2
3 のとき，cosθ = ア ，tanθ = イ である。
問2. |a−1|<2のとき，√
a2+ 4a+ 4−√
a2 −6a+ 9を簡単にすると， ウ であり，√
a2+ 4a+ 4−√
a2−6a+ 9 >0を満たすaの値の範囲は エ である。
問3. 2次関数y=x2+ax+bのグラフの頂点が点(1, 2)であるとき，定数aの 値は オ で，定数bの値は カ である。
問4. 赤玉3個，黒玉2個，白玉4個が入っている袋から，3個の玉を同時に取 り出すとき，次の確率を求めよ。
(1) 3個とも赤玉である確率は キ である。
(2) 黒玉1個と白玉2個が出る確率は ク である。
(3) 3個とも同じ色である確率は ケ である。
2
次の各問いに答えよ。なお，解答は答えだけでなく，答えを導くまでの手順がわかるように書くこと。
問A. 三角形ABCの内接円の中心をO，辺ABの接点をPとし，∠ABC = 60◦， AB = 8，BC = 5とする。
(1) ACの長さを求めよ。
(2) BPの長さを求めよ。
(3) 内接円の半径を求めよ。
O A
B C
P
問B. a > 0とする。2次関数y= ax2−6ax+b (15x 54)の最大値が14で，
最小値が2であるとき，定数a，bの値を求めよ。
解答例
1
問1. sin2θ+ cos2θ = 1 からcos2θ = 1−sin2θ= 1− µ2
3
¶2
= 5 9 90◦ 5θ 5180◦ より，cosθ50 であるから
cosθ =− r5
9 =−
√5 3 また tanθ = sinθ
cosθ = 2 3 ÷
Ã
−
√5 3
!
=− 2
√5
(答) ア. −
√5
3 イ.− 2
√5
問2. |a−1|<2 を解いて −1< a < 3
√a2+ 4a+ 4 =p
(a+ 2)2 =|a+ 2|
√a2−6a+ 9 =p
(a−3)2 =|a−3|
−1< a <3 のとき a+ 2 >0，a−3<0 であるから
|a+ 2|=a+ 2，|a−3|=−(a−3) =−a+ 3 このとき √
a2+ 4a+ 4−√
a2−6a+ 9 = (a+ 2)−(−a+ 3)
= 2a−1 また，√
a2+ 4a+ 4−√
a2−6a+ 9>0を満たすaの値の範囲は，
2a−1>0 これを解いて a > 1 2
−1< a <3に注意して 1
2 < a <3 (答) ウ. 2a−1 エ. 1
2 < a < 3
問3. 放物線y=x2+ax+bの頂点が(1, 2)であるから，x2の係数に注意して y= (x−1)2+ 2 すなわち y =x2−2x+ 3
よって a =−2, b = 3 (答) オ. −2 カ. 3
問4. (1) 3C3 9C3 = 1
84 (2) 2C1×4C2
9C3 = 2×6 84 = 1
7
(3) 3個とも同じ色であるのは，3個とも赤玉の場合と3個とも白玉の場
合である．
3個とも白玉の確率は 4C3
9C3 = 4 84
したがって，(1)と上の結果から，求める確率は 1
84+ 4 84 = 5
84 (答) キ. 1
84 ク. 1
7 ケ. 5 84
2
問A. (1) 余弦定理により AC2 = AB2+ BC2−2AB·BC cosB AC2 = 82+ 52−2·8·5 cos 60◦= 64 + 25−2·8·5·1 2 = 49 AC>0であるから AC = 7
(2) この内接円と辺BC，ACとの接点を，そ れぞれQ，Rとする．
BP =xとおくと，AP = 8−x AP = ARであるから AR = 8−x BP = BQ，BC = 5 より CQ = 5−x また，CQ = CRより CR = 5−x AC = 7より (8−x) + (5−x) = 7 これを解いて x=3
(3) 4OBQは，∠OBQ = 30◦，∠BQO = 90◦ の直角三角形であるから
OQ = BQ tan 30◦ = 3× 1
√3 =√ 3
O A
B C
P
Q
R
問B. y=ax2−6ax+b
=a(x2−6x) +b
=a{(x−3)2−32}+b
=a(x−3)2−9a+b
a > 0 より，15 x5 4において，x = 1で最大値14をとり，x = 3で最 小値2をとるので
−5a+b = 14，−9a+b= 2 これを解いて a = 3, b = 29