α21Xーα22Y一α23
一
α11， α12， α13， α21， α22 > 0 均衡点(♂， y.)は、
一
。α11X• -α12Y. +α13 一 。
• •
α21X ーα22Y 一α23
を満たす。
均衡点の近傍で上の微分方程式を線型近似すると、
『aEa'BE'B'''EEEBEE -
u Z
-Z U
Fa'EaEEEa』EE--EaEL 守tEt'EEEEEEEEE4
-- -
z u 可A n，e 円4 ワ・
α α 一
[ij;:;:;l=[:;:;:
一この場合の線型化行列をAとすると、
-/5(α+♂) < 0
ß/5π(α+α・)> 0 一一
TrA 第8.5節の場合はα11 = 0にあたるO
DetA
一
この点の近傍で漸近安定となる。 さらに、特性方程式のやj別式をムとす したがって、均衡点(mぺ♂)は、
れば、
ム= /5(α+α・)[/5(α+α・)- 4ßn]
したがって、/5> 0が十分小さければ、すなわち、
-
丸M W
一α一+-α <
fu
<nU
なれば、ムくOとなり、渦状点(focus)であることがわかる。また、/5 > 0が十分小さければ、TrAの絶 対値も小さくなり、均衡点への接近も緩やかになる。
95
96 APPENDIX C.第8章の数学注
一方、第8.6節の場合、O<ß<lに注意すれば、線型化行列Aに関して、
| ηγ |
TrA = 6什一(ß-1)一α 1 <0
II一γ |
山=
叫
α+凸)
> 0となる。さらに、判別式ムは、
ム=
(岳r
(ß一げ一空子
(ß-1) + 62 a 2 -ω(
α+凸)
こ こで、x=β-1とすれば、この式の右辺は、
バX)=
(岳r
X2_陛トベ
α+凸) 1
X + f?a2 _ω(
α+弐)
となる。すると、
1 ( -1) = 62 ( � +α) > 0
\1一γ /
したがって、0<ヨß<lに対して、ム<0になるためには、1(0)< 0であればよし1。すなわち、
1(0) =ゐ(6α-4n)一4π6_!!:J_ i一γ だから 、6α<4η ならば、1(0)< 0となる。
この時、1(X)= 0に対応するFの値をFとすると、
FくPく1 に対して、判別式 ムは負になる。すなわち、6が
0<6<竺α
であれば、十分大きな労働分配率の均衡値Pに対して、均衡点(mぺ♂) は、渦状点(focus )になる。
Bibliography
[1] Allen， R. G. D.， Macro-Economic Theory， (1ρndon: Macmillan， 1967) [2] Arrow， K.G.， 'The Economic Implications of Learning by Doing，' Rev山l
i化:esム， Vo1.29， pp.155・173， 1962
[3] Blaεk， J.， 'The Technical Progress Function and the Production Function ' Eωnomzcα， Vo1.29 1962，
pp.166-170.
[4] Blanchard， O. J. and S. F ischer， Lectures on MαC附ω仰nomlc叫 ( Cambridge， Mass.， MIT Press，
1989)
[5] BurmeÍster， E and R. Dobell， Mαthemαtical Theories 0/ Economic Groωh (New York: Maβmil
lan，1970)
[6] Clower， R.， 'The Keynesian Counter-revolution: A Theoretical Appraisal，' in F.H. Hahn and F.P.R.
Brechling eds. The Theory 0/ Interes t Rates ( London: Macrnillan， 1965)
[7] Desai， M.， 'Growth Cycles and Inflation in a Model of the Class Struggle， ' Journal 0/ Economic
Theory ， Vo1.6 1973 pp.527-545.
[8] Diamond， P. A.， 'National Debt in a Neoclassical Growth Model，' American Econor山Revie叫 Vo1.55， 1965， pp.1126・1150.
[9] Diamond， P. A.， 'Disembodied Technical Change in a Two Secter Model' Review 0/ Economic
Studies， Vo1.32 1965， pp.161司168.
[10] Drandakis， E. M. and E. S. Ph印， 'A Model of Induced Invention， Growth， and Distribution，' Economic JOU1・nα1， Vo1.76， 1966， pp.832・840.
[11] Eatwell， J.， 'Theories of Value， Output and Employment，' in J. Eatwell and M. Milgate eds. Key nes' Economics αnd the Theory 0/ Value and Distrihution ( New York: Oxford University Press， 1983)
[12] Fischer， S.， 'Keynes-Wicksellωd Neoclasical Models of Money and Growth，' Amεr巾.
Ret山lペペIetωμ Vo叫1.62， 1972
[13] Fisher， E. 0.， 'Susu tained Growth in the Model of Overlapping Generations，' J ournal 0/ Economic
Theory ， Vo1.56 1992， pp.77-92.
[14] Friedman， M.， 'The Quantity Theory of Money : A Restatement，' in M. Friedman ed.，Studω In the Qω山:ty Theory 0/ flrfoney， (Chicago University Press， 1956)
97
98 関連書籍
[15] Glomm， G. aはB. Ravikumar， 'Public versus Private Investment in Human Capital : Endogenous Growth and Income Inequality，' Jou.rnal 0] Politicα1 Economy ， Vo1.100， 1992， pp.818-834.
[16] Goodwin， R. M.， 'A Growth Cycle，' in Soci悶:aαli山 ed. (Cambridge: Cambridge University Press， 1967)
[17] Harcourt， G. C. Some C α 川r円t均 e Co 川山m University Press， 1972)
[18] Harris， L.， Afonetary Theory (New York: McGraw-Hill， 1981 )
[19] Harrod， R. F.， 'An Essay in Dynamic Theory，' Economic Jou.rnal， Vo1.49 ， 1939， pp.1ι33.
[20司] Ha訂rrod， R. F.， T口Otωuaαr吋ds α Dynami凡川H化 Economics， ( London， Macmillan， 1948)
[21] Hicks， J. R.， 'A Suggestion for Simplifying the Theory of Money，' EωnomlcαVo1.2， ppl-19， 1835.
[22] Hicks， J. R.， 'Mr. Keynesωd 'Cl出SIα'，'Econometrica Vo1.5， pp147・159， 1937.
[23] Hicks， J. R.， Valu.e and Cαptial 2nd ed. ( Oxford， Claredon Press， 1946)
[24] Hirsch， M. VV.ωd H. Srnale， DifJerentωEqu.ations， DynamiωSystems，αnd Lineαr A Ig ebra (Lon
don: Academic Press， 1974)
[25] Kahn， R. F.， 'Exercises in the Analysis of Growth，' Ox]ord Economic Papers ， N.S. Vol.ll， pp.143-156， 1959.
[26] Kaldor， N.， 'Alternative Theories of Distribution，' Revieω0] Economic Stu.dies， Vol. 23， pp.8与100，
1956.
[27] Kaldor， N. 'A Model of Economic Growth，' Economic Jou.rnal， Vo1.67， 1957， pp.591-624.
[28] Kaldor， N. 'Capital Accumulation and Economic Growth，' in The Theory 0] Capitα1， ed. F. A. Lu tz and D. C. Hague， (London: Macmillan，1961)
[29] Kaldor， N. 'A Comrnent，' (in Symposium on Prodution Functions and Economic Growth )， Re山ω 0] Economic Stu.dies， Vo1.29， 1962， pp.246-250.
[30] Kalec1ci， M.， Selected Essays on the Dynamics 0] the Cαpitαlist Society ( Cambridge: Cambridge University Press 1972 )
[31] Kennedy， C.， 'Induced Bias in Innovation and the Theory ofDistribution，' Eωnomic Jou.rna/， Vo1.74，
1964， pp.541-647.
[32] Kennedy， C.ωd Thirlwall， A. P.， 'Technical Progress-A Survey，' Economic J ou.rna/， Vo1.82， 1972，
pp.11-72.
[33] Kennedy， C. and Thirlwall， A. P. 'Technical Progress-A Survey，' Economic Jou.rnal， Vo1.82， 1972，
pp.1l-72.
[34] Kenway， P.， 'Marx， Keynes and the Possibility of Crisis，' Cα川ridge Journα1 0] Economics ， Vo1.4 pp.23-36， 1980
関連書籍
[35] Keynes J. M.， The Generα1 Theory 0] E仰loyme 叫 Jnterest， and Afoney ( London Ma配乙口印I立m凶l 1936 )
99
[36] Keynes J. M. 'The General Theory of Employment，' Qua山ry Journal 0] Economics ， Vo1.51 pp.203-223， 1937.
[37] Lange， 0.， 'Say's law: A Restatement and Criticism，' in Lange， McIntyre， Yntema eds.， Studies in Mathemαtical Economics and Eωnometrics， (The University of Chicago Press， 1942)
[38] Lange， 0.， 'Marxian Economics and Modern Economic Theory，' Reviω0] Economic Studies ， Vo1.2，
1935， pp.189-201
[39] Lucぉ， R. E. Jr.， 'On the Machanics of Economic Development' 10tH・nal 0] M onetary Economics
， Vo1.22， 1988， pp.3-42.
[40] Marx K.， I序説J W経済学批判要綱j， 高木幸二郎監訳 (大月書店， 1958 ) [41] Marx K.， W資本論』第一巻， 岡崎次郎訳 (国民文庫， 大月書店
[42] Marx K.， W資本論』第二巻， 岡崎次郎訳 (国民文庫， 大月書店
[43] Marx K.， W資本論』第三巻， 岡崎次郎訳 (国民文庫， 大月書店 1972 ) [44] Marx， K.， W賃金・価格・利潤j， 横山正彦訳，国民文庫， (大月書店， 1965 )
[45] McCallum， B. T.， and M. S. Goodf巾吋， 'Demand for Money : Theoretical Studies，' in J. EatweU，
M. Milgate， P. Newman eds The New Palgrave Dictionary (Macmillan， 1987)
[46] Modigliani， F. R.， 'Liquidity Preference and the Theory of Interest and Money，' Econometricα
Vol.12， pp45-88， 1944.
[47] Muth， J. F.， 'Rational Expectations and the Theory of Price Movement，' Eωnometrica， Vo1.29，
1961， pp.315-344.
[48]新野幸次郎、置塩信雄，Wケインズ経済学j， (三一書房， 1957) [49]置塩信雄，W蓄積論.n ， (筑摩書房， 1976 )
[50]置塩信雄他『経済学j， (大月書店， 1988 )
[51] Okishio， N.， 'Technical Change and the Rate of Pro五t，' Kobe University Economic Re山叫Vol.7，
pp.85-99， 1961.
[52] Orphanides， A. and R. M. Solow， 'Money， Inflation and Growth' in B.M. Friedman and F.H. Hahn eds， Hαndbook 0] Monetary Economics， Vol.l. ( Elsevier Science Publisher 1990 )
[53] Pasinetti， L. L.， 'A Mathematical Formulation of the Ricardian System，' Review 0] Economic Stud
ies， Vo1.27， pp. 7�98， 1960.
[54] van der Ploeg， F.， 'Predator-Pray aはNeo-Classical Models of Cyclical Growth，' 10urnα1 0] Eco
nomics ， Vo1.43， 1983， pp.235・256.
[55] Rebelo， S. 'Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth，' 10urnal 0] Political Economy ， Vo1.99，
1991， pp.500-521.
100 関連書籍
[56] Ricardo， D.， 'On the Principles of Political Econorny and Taxation， ' in The Works αnd Corr仰on
dance 01 Dα山d Ricardo Vo1.1， ed. Piero Sraffa， (Carnbridge: Carnbridge University Press， 1951) [57] Robinson， J.， The Acum山tion 01 Capitα1， (London: Macrnillan， 1956)
[58] Robinson， J.， 'The Organic Cornposition of Capital，' Kyklos， Vo1.31 1978， pp5-20 [伊59司] Roerner， J. E.， Anal句yti比;氾Cαal Foundαtれ1川
University Press， 1981)
[60] Rorner， P. M. 'Increasing Return and Long-run Growth' Journal 01 Political Economy ， Vo1.94， 1986，
pp.1002-1037.
[61] Rorner， P. M. 'Endogenous Technical Change，' Journal 01 Political Economy ， Vo1.98， 1990， pp.71-102.
[62] Rose， H.， 'Unernployrnent in a Theory of Growth，' In山γnatれ1川
282， 1966.
[63] Rose， H.， 'Real and Monetary Factors in the Business Cycle，' Journal 01 Nfoney Cred:t and Banking，
Vo1.1， pp.138・152， 1969.
[64] Sarnuelson， P. A. 'A Theory of Induced Innovation along Kennedy-Weizsäcker Lines，' Revieω 01 Economic� αnd Stat:.stic�， Vo1.47 1965， pp343・356
[65] 1期間順一'資本告l経済の関浩移行と利潤率の傾向的低下J経済麗命学会年報第30集、(青木書店、1993 年10月)
[66] Shah， A.and M. Desai" 'Growth Cycles with Induced Technical Change，' Economic Journal， Vo1.91，
1981， pp.1006-1010.
[67] Shes}吋nski， E. 'Optirnal Accurnulation with Learning by Doing，' in Essαys on the theory 01 Opt:'mαl Economic Groωth， ed. K. Shell (Carnbridge Mass.: MIT Press， 1967)
[68] ;吉、築徹朗、武藤恭彦 『合理的期待とマネタリズム�， (日本経済新聞社， 1980 )
[69] Show， G. K. 'Pollcy Irnpllcations of Endogenous Growth Theory，' Economic Journal， Vo1.102 1992，
pp.611・621.
[70] Sidrauski， M.， 'Ratoinal Choice and Pattern of Growth in Monetary Econorny，' Americαn Economic Rev:.eωPαper� and Proceeding� Vo1.57， pp.534-544 1967
[71] Solow R. M.， 'A Contribution to the Theory of Econornic Growth，' Quariary Journal 01 Economics
， Vol. 70， pp.65-94， 1956.
[72] Solow R. M.， 'Investrnent and Technical Progress ' in MαthmaÚcal M ethod in t仏hεSocialSc口t山
K. J. Arrow， S. Ka山1 and P. Suppes eds. (Stanford Univesity Press， 1959)
[73] Stein， J. L.， 'Money and Capacity Growth，' Journal 0げ1Poliω: tiれ“iω.
1966.
[74] Stein， J. L.， 'Neoclωical and Keynes-Wicksell Monetary Models，' Journal 01 Money Credit αば Bαnking， Vo1.1， pp.153・171， 1969
関連書籍 101 [75] Stern， N. H. 'The Determinants of Growth，' Economic Jou.rnal， Vo1.101 1991， pp.122-133.
[76]高橋陽一郎『微分方程式入門� ， (東京大学出版会， 1988 )
[77] Tobin， J.， 'Liquidity Preference a.s Behavior Towards Risk，' Re山ω 01 Economic Stu.dies， Vo1.25，
pp.65-86. 1958
[78] Tobin， J.， 'Money and Economic Growth，' Ecor
[79] Uzawa， H. 'Neutral Inventions and the Stability of Growth Equilibrium，' Review 01 Econom%'c Stu.d
ies， Vo1.28 1961 pp.1l7-124.
[80] Uzawa， H. 'Optimal Technical Change in an Aggregative Model of Economic Growth，' International Econom%'c Review ， Vo1.6， 1965， pp.18-31.
10ユ
五l図
資本設備と労働需要k
、、t，Jl」 レト 「r Jいl/ 一 ゾ1 ハザ一r ，，，，tlt、 /Jfl
、、lF/ JM一r 〆'』l、、 //
K
o J L τ し
第2図
期待回収不能割合関数r/均
x
ゑj回
実質賃金率と雇用率 103"，E ，