一 ℃

= ︒

ω

何 日

+ 

+ 

+ 

二つの表面に固まれた孔隙中の電位分布と荷電分布 + 

図3.2

‑zeljl 

p 

= 

zen;x 

= 

_zeno exp一一一一

kT  ( 3.2) 

と な る か ら ポ ア ソ ン 式

̲ V²lj1 =ーと

εrε

。

^( 3.3) 

を 代 入 し て ポ ア ソ ン ー ボ ル ツ マ ン の 式

一 一 一 一 ‑

V²lj1 =一三立exp一二三竺

εrε~o  .. kT  ( 3.4) 

が 得 ら れ る 。 こ の 2階 微 分 方 程 式 を 解 く 為 に は 二 つ の 境 界 条 件 が 必 要 に な る 。 第 一 の 条 件 は 、 電 場 が 表 面 聞 の 中 央 面 に お い て 0に な る こ と で あ り 、 第 二 の 条 件 は 系 全 体 で は 電 気 的 中 性 条 件 が 保 た れ て い る こ と で あ る 。

( 3.1 ) 式 を 微 分 し て (3.3) 式 を 用 い る と

会 予

^xp

芋 ( 苦 ) = す ( ま ) ( 会 ^{J =} 誌がま r

を 得 る 。 従 っ て

制 一 w

f a l ‑

‑ ¥  

喝E mu

‑T i

t p 一

FK

E

一ウ

ム

+ 

幻

/1 11 1¥  

︐d 

xr tE 16 0 

? 勺一

T ι

t r

・‑

' κ

E

一今 ム

n  一 一

FG   xr aE Jo  

n 

n  ( 3.6) 

と な り 二 つ の 表 面 問 の 任 意 の 位 置 で の 対 イ オ ン 濃 度 は 中 央 部 に お け る 対 イ オ ン 濃 度 と 任 意 の 点 に お け る 電 位 勾 配 に よ っ て 表 す こ と が で き る 。 表 面 電 荷 密 度 ρsは ポ ア ソ ン の 式 を 中 央 部 か ら 表 面 ま で 積 分 す る こ と に よ り 得 ら れ 、

ら ( 生

_一"'

)

"" Swface 

( 3.7) 

と な る か ら 、 表 面 に お け る 対 イ オ ン 濃 度 内 と 表 面 電 荷 密 度 ん と の 関 係 は

n ^<' 

= 

n^， +‑‑‑..!!.:s 

u  v  2εreOkT  ( 3.8) 

と な る 。 任 意 の 点 に お け る 対 イ オ ン 濃 度 nxを 求 め る 為 に は 、 ポ ア ソ ン ・ ボ ル ツ マ ン の 式 (3.4) を 解 く 必 要 が あ る 。 IsrαelachviU¹⁹)に よ れ ば こ の 解 は

ペ 子

^og(cos2

^{G x )}  

^( 3.9) 

と 表 さ れ る 。 こ こ で Gは

D一Tn

一 一

k

v /

一

九

戸‑

‑ r

z一ε

/ { ︑ 一

2一 一

G  _(3.10) 

で 与 え ら れ る 定 数 で あ る 。 す べ て の Gに 対 し て x=oで '1/=0お よ び

互 笠

=0の 条 件 が 満 た さ れ る 必 要 が あ り 、 Gに つ い て 解 く と ゐ

( 幻

^一_dx) ^{一一 = 2一一一一一}

^内

^‑tan‑

ω

^{一一一一一一‑}

‑ P S

C'  ze  2

ε ι  

^(3.11) 

を 得 る 。 こ れ に よ り 対 イ オ ン の 分 布 プ ロ フ ィ ル ( ボ ノ レ ツ マ ン 分 布 )

‑;efV/kT  n

。

nx 

= 

no exp ‑‑^T 

= 

2 ，....， 

COS‑LTX 

(3.12) 

が 決 定 さ れ る 。 以 上 の 関 係 式 に よ っ て 二 つ の 表 面 に 挟 ま れ て い る 溶 液 中 の 対 イ オ ン の 濃 度 分 布 と 電 位 勾 配 を 求 め る こ と が で き る 。

界 面 上 に お け る 陽 イ オ ン を 含 む 溶 液 中 の 分 子 の 全 相 互 作 用 エ ネ ル ギ ) は 、 こ の 静 電 気 力 の 他 に フ ァ ン デ ル ワ ー ノ レ ス の カ や 、 分 子 が 有

限 な 大 き さ を 有 し て い る こ と か ら 生 じ る 構 造 力 、 さ ら に 水 和 力 等 の 複 雑 な 力 の 場 の 和 と な る 。 こ れ ら に よ る 全 相 互 作 用 エ ネ ル ギ ー は 、 表 面 か ら 数 分 子 の 距 離 に お い て 振 動 的 に 変 化 し て お り イ オ ン が 安 定 的 に 存 在 し う る 位 置 は 限 ら れ て い る 。 し か し 表 面 か ら あ る 程 度 離 れ

る と 静 電 力 が 支 配 的 な 場 と な る 。

一 方NaCl(1 : 1)の よ う な 電 解 質 溶 液 と CaCl₂ (2: 1) の よ う な 電 解 質 溶 液 が 混 在 す る 場 合 、 表 面 電 荷 密 度 ρsはGrahameの 式 19)により、

Ps 

= . J

^8ε，EokT s

凶 ( 号

){[Na+L+[Ca²+]∞(2 +e‑elfs/kT)} 1/2  (3.13) 

と な り 、 表 面 電 荷 密 度 PSと 表 面 電 位 lfsの 関 係 が 求 め ら れ る 。 こ の 式 か ら 分 か る よ う に 表 面 電 荷 密 度 ん が 変 わ ら な い と し て も 2価 イ オ ン が 存 在 す る こ と で lfsの 値 が 低 下 し て し ま う 。 さ ら に 2価 イ オ ン は 負 の 表 面 部 へ 化 学 的 に 結 合 し 易 く な る 為 に 表 面 の 負 電 荷 は 中 和 さ れ て 、 んと lfsは一層 低 下 す る 。 こ の 様 に 2価 イ オ ン あ る い は 3価 イ オ ン が 存 在 す る 場 合 に は 、 後 に 述 べ る ゼ ー タ 電 位 の 値 も 低 下 す る こ と が 知

られている。

lfsが 約 2 5 mV以 下 の 低 電 位 の 場 合 、 (3.13) 式 の Grahameの 式 は 簡 略 で き て

ρs ‑ε'，^{EOKlf S  (3.14)} 

と 表 す こ と が で き る 。 こ こ で 、

(3.15) 

(3.14) 式 は 、 極 板 間 の 距 離 1/K、 電 荷 密 度 IP、 電 位 差 lfsの コ ン デ

ンサ ー の 式 と 同 じ で あ る 。 こ の 帯 電 コ ン デ ン サ ー と の ア ナ ロ ジ ー か ら、拡散電気二重 層 の 考 え が 生 ま れ そ の 厚 さ を デ バ イ の 長 さ 1/Kとし て い る 。

2 5 oCに お け る デ バ イ の 長 さ は

1/ K 

= 

0.304

寸高司

^{nm  ( 3.16)} 

で あ る 。 ち な み にNaCI溶 液 の 場 合 10‑4 Mで1/K 

= 

30.4  nm..  O.lMで0.96 側、 1Mで 0.3nmと 求 め ら れ る 。 こ の こ と は 、 粘 土 鉱 物 が 塩 分 濃 度 の 低 い 清 水 と 反 応 し て 膨 潤 す る 原 因 を 良 く 説 明 す る 。 さ ら に 多 孔 質 体 を 多 く の よ じ れ た 細 管 と し て 見 な し た と き 、 浸 透 率 が 10^・4mdの 場 合 の 細 管 の 半 径 は(2.13)式 に よ り 約2.2nmと 求 め ら れ る 。 こ れ は イ オ ン 濃 度 の 条 件 に よ っ て は 、 こ の 多 孔 質 体 の 孔 隙 水 は 電 気 二 重 層 の 影 響

を 大 き く 受 け う る こ と を 示 唆 し て い る 。

3.3  流 動 電 位 の 基 礎 式

電 解 質 溶 液 が 固 体 と 接 し て 相 対 運 動 が あ る と 、 界 面 に 存 在 す る 電 気二重 層 の 為 に 種 々 の 電 気 現 象 が 起 こ る 。 図 3.1に 示 し たSternの 理 論 で は 固 体 一 液 体 の 界 面 上 に 、 一 定 電 荷 密 度 で 界 面 に 吸 着 固 定 し た 荷 電 粒 子 層 のHelmholtz層 と 、 そ の 外 側 に 広 が る 荷 電 粒 子 の 拡 散 層 が あ

り 、 後 者 の 中 に せ ん 断 面 が 存 在 す る と し て い る 。 こ の 場 合 、 流 体 と 固 体 の 相 対 運 動 に よ っ て 一 部 の 電 荷 が 移 動 す る こ と が 予 想 さ れ る 。 ポ ア ソ ン の 式 に 依 れ ば 電 荷 の 存 在 は 電 位 差 を 生 じ る 。 こ の せ ん 断 面 に お け る 電 位 は ゼ ー タ 電 位 と 呼 ば れ て い る 。 図3.3に 示 す よ う に 多 孔 質 体 は 多 く の 細 管 か ら 成 り 、 そ れ ぞ れ の 細 管 が 図 3.4の 様 な 電 荷 の 分 布 を 有 す る と す れ ば 、 細 管 中 の 流 体 の 運 動 に よ っ て せ ん 断 面 内 に 存

ー .，..̲ 

2πr8xτ 

 

4

 

2πr8x"t 

8x 

+ 

t

。

ー惨

b 

T=‑dp/dxげ2

ード. ̲‑J ー ・￨ーI.ー

(P+dp/dx8x)πr² 

I  /  1 "  

^てこーμdv/dr

ー砂

+  +  + 

C a t i o n  f t o w  

⁺ 

+  +  惨 +

‑ F l u i e  p a t h  

+  + 

+  +  +  + 

t a g n a t e  l a y e r  

M i n e r a l  s u r f a c e  

Pore w i t h  e l e c t r i c  double l a y e r  

図3.4 層流の原理と流動電位の発生機構

在 す る 電 荷 も 移 動 す る 。 電 荷 の 移 動 は 電 流 に 他 な ら な い。 した が っ て、一 つ の 細 管 に つ い て 見 て み る と 管 中 央 か ら せ ん 断 面 ま で の 体積 中 の 電 荷 の 流 れ が 電 流 で あ る か ら

1

，  =  f 

^2nrPe (r)ν[(r)dr  ^(3.17) 

。

電 荷 は 、 管 壁 か ら 非 常 に 近 い 拡 散 層 に 存 在 す る 。 従 っ て 流 体 の 流 れ を 理 想 的 な 粘 性 流 と 見 な し 管 壁 近 傍 の 流 体 の 流 れ を 平 均 流 速νavを

4(b ‑r) 

用 い て テ イ ラ ー 展 開 で 近 似 す れ ば 、 ν[_1'(r_‑)=_/  ν _‑av  b  となる。 y=b‑rと おけば、 (3.17) 式 は

1

，  = 

‑81lVav fPe(Y)Y

ψ 

電 荷 密 度 ρeを ポ ア ソ ン の 式

2 d 2 v  

div grad lf/ 

= 

V l lf/  =て

‑ i ‑

=‑Pe/ErEO

の ノ

(3.18) 

(3.19) 

に 置 き 換 え て 積 分 す る と 、 せ ん 断 面 に お け る 電 位 を ゼ ー タ 電 位 と し て

い 8 m m i

^戸rE

。 今 ^ψ

; の

^y

~{(Y ~;):~:一件付

^{Y) y=b  b砂}

=‑8πGrEル

f d

^{lf/=‑初 rEoSVav (3.20)} 

こ の 電 流 に よ っ て 誘 起 さ れ た 電 場 Esは 、 オ ー ム の 法 則 に 応 じ た 電 導 電 流 12を 生 じ る 。 岩 石 の 電 導 率 と 孔 隙 率 と の 関 係 を 表 すArchieの 式 と の 類 推 か ら 、 こ の 細 管 は 屈 曲 し て い る も の と し て 取 り 扱 う 方 が よ り 適 切 と 恩 わ れ る 。 従 っ て 電 気 二 重 層 に よ る 表 面 電 導 が 小 さ い 場 合

よ=πる2η一σl!!̲E̲ (3.21) 

L  11/  ^.> 

1

，

‑1₂=0で な け れ ば な ら な い か ら

b2ηーIσn一

ιs  ^(3.22) 

こ こ で 干 し 隙 率 併 の 多 孔 質 体 を 、 半 径 bか ら な る 多 く の 細 管 か ら 成 っ て い る と 見 な し た 場 合 、 孔 隙 率 ゆ と 細 管 の 数 を 一 定 に 保 ち な が ら 屈 曲 率 ηを 変 化 さ せ る と 、 細 管 の 長 さ 111は 料lと な り 、 半 径 は b/長 、 単 位 体 積 中 の 細 管 の 数 は が(πb²)と な る 。 従 っ て 流 量 Q(m³/ sec)は

Q=A中T71V倒 ( 3.23) 

と 表 せ る 。 一 方 ハ ー ゲ ン ポ ア ズ イ ユ 式 を 用 い て 流 量 を 表 す と Q=b

2 o

^η‑3AM 

8μ111 

と な る 。 (3.24) 式 を (3.23) 式 に 代 入 す る こ と に よ り V̲ _{=~2η-1 企p}

av  8μ111 

(3.24) 

( 3.25) 

(3.25) を (3.22) 式 に 代 入 しV_avを 消 去 し て 流 動 電 位 を 求 め る

Es =_一εrcO(M  (3.26) 

σFμ 

こ の 様 に 多 孔 質 体 を 屈 曲 し た 多 く の 細 管 と 見 な し た 均 質 な モ デ ル で 、 一 次 元 的 な 圧 力 を 加 え た 場 合 の 流 動 電 位 は (3.26) 式 で 求 め ら れる。

一 方 、 地 熱 貯 留 層 に お け る 流 体 の 生 産 は 主 に フ ラ ク チ ャ ー を 介 し て 行 わ れ る 。 フ ラ ク チ ャ ー を 賦 存 す る 岩 石 の 孔 隙 率 は 一 般 に 非 常 に 小 さ く 、 そ の 母 岩 の 浸 透 率 も 低 い と 考 え ら れ る 。 こ れ は 掘 削 中 の 逸 泥 が フ ラ ク チ ャ 一 帯 と そ れ 以 外 で は 非 常 に 大 き な 差 を 示 す こ と か ら も 分 か る 。 フ ラ ク チ ャ ー で 生 じ る 流 動 電 位 の 定 量 的 解 析 は 、 こ れ を

非 浸 透 性 地 層 に 挟 ま れ た 薄 い 板 状 の 間 隙 で あ る と み な し て 、 (3.26) 式 と 同 様 な 方 法 で 取 り 扱 う こ と が で き る す な わ ち 図 3.3に 示 す 様 に 板 状 の 間 隙 の 流 体 が 単 相 で 層 流 と し て 流 れ る 場 合 、 こ れ は ク エ ッ ト の 流 れ 17)で あ る か ら 、 間 隙 の 任 意 の 点 に お け る 速 度 は 、

ν，--土 δ~(hy-

_{.  2μ}  ^{y2)  (3.27)} 

と な る 。 管 壁 の 近 傍 の 流 れ を テ イ ラ ー 展 開 で 近 似 す る と 、 駆 動 電 流 は

11=‑

引州沖

^(3.28) 

と な る 。 せ ん 断 面 に お け る 電 位 を ゼ ー タ 電 位 と し 、 (3.28)式 を ポ ア ソ ン 式 を 用 い て 解 く と

1

1 

= ̲ hereO仏P 一 μ 

と な る 。 こ こ で 電 導 電 流 は 12 

= 

hσflEs 

で あ る か ら 、 流 動 電 位 は 、 Es一_一εrε

。 I S

i1p

μσF 

(3.29) 

(3.30) 

(3.31) 

ま た 細 管 の モ デ ノ レ が 多 孔 質 体 に 拡 張 で き る よ う に 、 フ ラ ク チ ャ ー を 薄 層 の 多 孔 質 体 か ら な る と 考 え ら れ る 。

こ こ で は.26)式 及 び(3.31)式 は 、 多 孔 質 体 中 の 電 気 電 導 は 全 て 電 解 質 溶 液 中 の バ ル ク イ オ ン を 介 し て 行 わ れ て い る と 仮 定 し て い る 。 浸 透 率 が 大 き く 、 従 っ て 細 管 の 径 が 電 気 二 重 層 に 比 べ て 格 段 に 大 き

い 場 合 、 概 ね こ の 仮 定 は 当 て は ま る も の と 考 え ら れ る 。 しか し な が ら浸透 率 が 非 常 に 低 く 、 従 っ て 細 管 の 径 が 小 さ く な り 相 対 的 に 電 気 二重 層 の 厚 さ が 無 視 で き な い 場 合 は 、 多 孔 質 体 の 電 気 電 導 は 電 気 二 重 層 に よ る 表 面 電 導 の 影 響 も 受 け る よ う に な る 。

電 気 二重 層 に お け る イ オ ン 濃 度 は 表 面 電 荷 密 度 に 依 存 し 、 バ ル ク イ オ ン 濃 度 に ほ と ん ど 依 存 し な い と さ れ て い る 12)13)28)。 こ の 電 気 二 重 層 は 表 面 に 吸 着 固 定 し て い る 対 イ オ ン と 、 そ れ に 比 べ て 運 動 性 の 高 い 拡 散 層 に お け る 対 イ オ ン と か ら 成 っ て い る 。 こ の 拡 散 層 に 存 在 す る 対 イ オ ン は イ オ ン 電 導 に 寄 与 し て お り 、 こ れ を 表 面 電 導 と 呼 ん でいる。 Bikerman²⁸)は 表 面 電 導 率 を ゼ ー タ 電 位 に 依 存 す る 関 数 と し て 示 し て い る 。 す な わ ち ゼ ー タ 電 位 は ポ ア ソ ン の 式 が 示 す 様 に せ ん 断 面 内 に お け る 対 イ オ ン の 量 か ら 導 か れ て い る 。

表 面 電 導 現 象 が 見 ら れ る 典 型 的 な 例 が 粘 土 鉱 物 の 電 導 率 で あ る 。 粘 土 鉱 物 は そ の 種 類 に 依 っ て 表 面 電 荷 密 度 に 違 い が あ る が 、 地 層 水 の 塩 分 濃 度 に 関 わ ら ず に 大 き な 電 導 率 を 示 す 。 バ ル ク イ オ ン 濃 度 が 小 さ い 場 合 、 電 気二重 層 に お け る 対 イ オ ン の 相 対 濃 度 比 が 大 き く な り 、 表 面 電 導 に よ る 影 響 は 大 き く な る 。 温 泉 井 や 地 熱 井 の よ う に 一 般 に 地 層 水 の 塩 分 濃 度 が 低 い と 思 わ れ る 環 境 に お い て 、 変 質 帯 が 大 き な 電 導 率 を 示 し てArchieの 式 が 当 て は ま ら な い 現 象 が 見 ら れ る の は 粘 土 鉱 物 の 表 面 電 導 に よ る 影 響 と 考 え ら れ る 。

こ の 様 に 表 面 電 導 の 影 響 が 相 対 的 に 大 き く な る と 、 電 導 電 流 を 表 す(3.21)、(3.30)式 に お い て 示 し た バ ル ク 溶 液 の 他 に 表 面 電 導 に よ る 電 気 電 導 現 象 を 考 慮 す る 必 要 が あ る 。 ま た 電 気 二 重 層 に お け る 他 の 特 異 な 物 性 も 影 響 を 与 え る 12)13)28)。 例 え ば 電 気 粘 性 抵 抗 と 呼 ば れ る

ドキュメント内 自然電位検層による高浸透性地層の評価に関する研 究 (ページ 40-68)