さて，マルチンゲール流のもとで，オプション価格式を導きましょう．オプション期間を[0, T]とします．
(1) 設定
株価をSt，オプション期間中一定である金利をr，0時点で1の資金を金利rで連続時間的に繰り返し投 資すると，そのt時点における価値はertですが，これをマネー・マーケット・アカウントと呼び，Btと書 きます(Bt=ert)．これを1つの投資対象として持ちます．StとBtだけが市場にあるとしてStをベースと するヨーロッパ型コールオプションの価格式を導きます．コールオプションの満期T時点における価格Xは
X = max{ST −K,0}です．Kは権利行使価格です．コールオプション以外のものを扱うときは，その価格
をf(ST)というふうに可測関数f(・)を用いて表現します．この場合以下の議論に変更はありません．
確率空間を(Ω,F, P)とします．Wtが確率測度Pのもとで標準ウィーナー過程であるとします．任意の t∈[0, T]に対して，WtはFt可測であるとします．そして，Stについては確率微分方程式
dSt=St
µ µ+1
2σ2
¶
dt+St·σ·dWt
で表されます．あるいはその解として
St=S0·eµt+σ·Wt
という確率過程（対数正規過程）に従うとします．このような言い方によってStの不確実変動の型を定義し ます．
(2) Stの変換（割引，ディスカウント）Zt
すべてのt∈[0, T]に対して，Zt=B−1t ·Stとおきます．またBT−1Xを意識します．ZtはStを割り引い た確率過程です．このような変換を行って，マルチンゲールの議論にのせやすくするのです．後の展開を予 想できるようにZtの様子をみておきます．
5)日本の数学者，丸山儀四郎氏もこの問題に貢献しているので，それを明示する人は丸山氏の名前も添えて，つまり，C‐M‐G‐丸 山の定理と呼んで，この定理を引用します．
まず
Zt=B−1t St
=B−1t ·S0eµt+σWt
=e−rt·S0eµt+σWt
=S0e(µ−r)t+σWt です．次に，dZtを伊藤の微分によって求めると
dZt=Zt
µ
(µ−t)dt+σ·dWt+1 2σ2dt
¶
=Zt
µµ
µ−t+1 2σ2
¶
dt+σ·dWt
¶
=Zt·σ·d µ
Wt+µ−r+12σ2
σ ·t
¶
です．γ= µ−r+12σ2
σ とおけば
dZt=Zt·σ·d(Wt+γt)
と書けます．この形を次のステップ(3)で利用します．直観的な記号である微小時間dt内の投資収益率 dZt
Zt
の期待値を考えると
EP
·dZt
Zt
¸
= µ
µ−r+1 2σ2
¶ dt
です．Stの投資収益率の期待値
EP
·dSt
St
¸
= µ
µ+1 2σ2
¶ dt
と比べるとr·dtだけ減っていることが分かります．
扱う資産価格の確率過程がここでいうStのようでない場合にも，また一般的な場合にも，同様の工夫を行 うことを書き添えておきます．
(3) Pの変換Q（ C‐M‐G‐丸山の定理の利用）
dQ
dP =eγWT−12γ2T，ただし γ= µ−r+12σ2 σ
によりQを定義します．このように定義されたQのもとでW˜t=Wt+γtは，標準ウィーナー過程です．さ らにZtについては(2)で触れたように，W˜tを用いれば
dZt=Zt·σ·dW˜t
と表されます．つまり，Zt=S0e−12σ2+σW˜tと書かれます．
EQ
·dZt
Zt
¸
= 0
であることに注意しましょう．Pのもとで µ
µ−r+1 2σ2
¶
であったものがQのもとではゼロ，つまり， r= µ+1
2σ2 のように見えてしまうのです．また，0≤u < t < Tに対して EQ[Zt|Fu] =EQ
h
S0e−12σ2u+σW˜u·e−12σ2(t−u)+σ( ˜Wt−W˜u)|Fu
i
=Zu·EQ
h
e−12σ2(t−u)+σ( ˜Wt−W˜u)|Fu
i
=Zu·1
ですから，ZtはQのもとでマルチンゲールです（こうなるようにQを構成しました）．（一般論ではここで
C‐M‐G‐丸山の定理を引用しますが，本章ではdQ
dP をこのように定義することによって，必要な事柄を直 観的にではありますが証明してしまいました）．このようなQをP とWtに対する同値マルチンゲール測度 と呼んでいます．
(4) セルフ・ファイナンシング・ポートフォリオ(φt, ψt)を作る（マルチンゲール表現定理の利用）
0≤t≤T とX = max{ST −K,0}（あるいは一般にX=f(St)）に対して Et=EQ
£BT−1X|Ft
¤
により，Etを定義します．3.2節で述べたようにEt, t∈[0, T]はQのもとでマルチンゲールです．つまり，
u≤tに対してEQ[Et|Fu] =Euです．ET =BT−1Xであることに注意しておきましょう．QのもとでZtと Etはマルチンゲールであるので，ZtとEtとQに対して3.2節で述べたマルチンゲール表現定理を用いると 確率過程(previsible, predictable) φt, t∈[0, T]が存在して，dEt=φt·dZtです．このようにして得られた φtを使って，投資対象StとBt，あるいはディスカウントされた投資対象Ztと1，に対する各時点tにおけ る投資単位数(φt, ψt)を求めておきます．(φt, ψt)によって表されるポートフォリオ（流列）がセルフ・ファ イナンシングであることも導きます．
ψt=Et−φtZt, t∈[0, T] と置きます．φtとψtが得られたので，ポートフォリオV は
Vt≡V(φt, ψt) = (φtSt+ψtBt)
と書かれます．つまり，EtはVtをディスカウントしたもの，Et=φtZt+ψt·1になっています．
さてdVt=φt·dSt+ψt·dBt，つまりVt≡V(φt, ψt)がセルフ・ファイナンシングであることを示すため に少し計算を行います．
まずZtとψtの定義により，Vtは
Vt=φtSt+ψtBt
=φt(Bt·Zt) +ψt·Bt
=φt·Bt·Zt+ (Et−φt·Zt)Bt
=Bt·Et
です．つぎに
dVt=Bt·dEt+Et·dBt, (dBt·dEt= 0)
=Bt·φt·dZt+Et·dBt , (dEt=φt·dZt)
=Bt·φt·dZt+ (φt·Zt+ψt)·dBt , (Et=φtZt+ψt·1)
=φt(Bt·dZt+Zt·dBt) +ψt·dBt
=φt·d(Bt·Zt) +ψt·dBt , (d(Bt·Zt) =Bt·dZt+Zt·dBt)
=φt·dSt+ψt·dBt , (Zt=Bt−1St) となり，Vtがセルフ・ファイナンシングであることが示されました．
VT =BT·ET =BT(BT−1X) =X
なので，このセルフ・ファイナンシング・ポートフォリオVt≡V(φt, ψt)はオプション満期T時点において コール・オプションのペイオフXに一致します．したがって，Vt≡V(φt, ψt)はペイオフXをもつオプショ ンを各時点t∈[0, T]で複製しています（複製ポートフォリオ，replication portfolioと呼びます）．
Vtがセルフ・ファイナンシングであること（つまり期間[0, T]のなかでキャッシュの出入りがないこと），
そしてT時点ではXに一致することからVtのゼロ時点における価値V0はXをペイオフにもつオプション のゼロ時点における価値と等しくないといけません．もし等しくなければ，価値の高い方を（借りてきて）
売って，そのお金で価値の安い方を買って満期T時点まで待てばゼロ時点における差額を金利rで大きくし た分だけ利益を得ることになります．これは裁定取引と呼ばれ，投資資金を使わないで確率1で正の利益を あげます．このような裁定取引機会がない，つまり「ノー・アービトラージュ」の仮定のもとでV0がゼロ時 点のオプション価格を表すことが示されました．ここでの議論では，株式と債券の売買に関して，いくらで も，また，いつでも細かい単位で売買できること，その際の手数料と税金がゼロであること，などを仮定し ています．このような単純化された状況で理論をつくるのですが，そのなかで市場におけるノー・アービト ラージュの必要十分条件が数理的にも表現されています．これはここでは省略します．
マルチンゲール表現定理を利用した箇所で，オプションのペイオフとゼロ時点のオプション価格の関係が 示されているので，それを振り返っておきます．EtとZtとQに対するマルチンゲール表現定理によれば，
t∈[0, T]に対して
Et=E0+ Z t
0
φudZu
です．ここで
E0=EQ
£BT−1|F0
¤
ですからE0はゼロ時点のオプション価格を割り引いたものです．しかし，B0= 1なので，E0はオプション 価格そのものです．
また
V0=φ0S0+ψ0B0
=φ0S0+ψ0
=φ0Z0+ψ0
=E0
というふうにみても構いません．さらに，dVt=φt·dSt+ψt·dBtは VT −V0=
Z T
0
φu·dSu+ Z T
0
ψu·dBu
を確率微分ふうに書いたものですが，これはVT(=X)はV0（ゼロ時点のオプション価格）に期間中u∈[0, T]の (Su, Bu)に対する投資(φu, ψu,)の連続時間的成果を加えたものに等しいことを表しています．投資(φu, ψu,)，
u∈[0, T]のことを数理ファイナンスではヘッジ(Hedge)と呼んでいます．オプションXを発行する金融機
関はこのヘッジを理解し，実践する力を持たねば商売になりません（ならないはずです）．
ここまでφtの関数形を明らかにしないまま議論を展開してきました．このように関数形に依存しない一般 論が可能なのですが，さてφtはどのようにして求めるのでしょう．簡単に言えば，
Vt=φt·St+ψt·Bt
なのですから，t時点におけるVt，あるいはVtのディスカウント・バージョンである Et(=Bt·Vt) =EQ
£BT−1X|Ft
¤
を計算してみればよいのです（これがStとBtの一次結合であるということが重要であり，役に立つのです が，このこと自体はオプション価格式がStとBt（というより1·e−r(T−t)=e−rT ·Bt）に対して線形斉次
性(linear homogeneity)をもつということからも分かるので，これをあまりミステリアスに思うことはあり
ません）．
オプション満期までT 時間あるときのオプション価格（上の式ではt= 0の時点）は，E0なので，
E0=EQ
£BT−1X|F0
¤
=EQ
£e−rTmax{ST −K,0} |F0
¤
=e−rTEQ
h maxn
S0e(r−12σ2)T+σW˜T −K,0oi
=e−rTEQ
h maxn
S˜T −K,0oi
であり，S˜tがdS˜t= ˜St(rdt+σdW˜t)に従っているとして期待値を計算して価格式を得ます．W˜tがQのもと で標準ウィーナー過程に従うことに注意すれば，この条件付期待値は10ページ(1 - 18式)の計算とまった く同じです（そこではオプション満期までの時間が(T−t)であるとして計算していることに注意してくだ さい）．
このようにして得た計算結果の中でStに（ここではS0に）くっついている係数がφtです．