マグノン

交換関係

[si(x, t), sj(x^′, t)] = iε_ijks_k(x, t)δ³(x−x^′) (B.54) を満たす局所スピン演算子{si(x)}i=1,2,3を考える。ただし，

s^†_i(x) = s_i(x) (B.55)

とする。全スピン演算子S_iを

S_i(t) =

∫

d³x s_i(x) (B.56)

によって定義すると，これは交換関係

[Si(t), Sj(t)] =iε_ijkS_k(t) (B.57) を満たす。また，

S_±^def= S₁±iS₂ (B.58)

を導入すると，これは交換関係

[S₃, S_±] = [S₃, S₁]±[S₃, iS₂]

= iS₂±i(−iS₁)

= ±(S1±iS2)

= ±S_±, (B.59)

[S₊, S₋] = [S₁+iS₂, S₁−iS₂]

= i[S2, S1]−i[S1, S2]

= 2S₃ (B.60)

を満たす。

今，スピンが全て第3軸方向に向いていて，第3軸まわりの回転に対して不変な真空|0⟩を考える。選 定項（§B.4参照）として，

Φ(x) =s₃(x) (B.61)

を選ぶ。δ_iをS_iによって誘起された変化とする：

δ_iA=i[S_i(t), A]. (B.62)

例えば，

δ1s3(x) = i[S1(t), s3(x)]

= i

∫

d³x^′[s1(x^′, t), s3(x)]

= i

∫

d³x^′(−i)s₂(x)δ³(x^′−x)

= s2(x), (B.63)

δ₂s₃(x) = i[S₂(t), s₃(x)]

= −s1(x) (B.64)

である。また，

δ₁δ₁s₃ = i[S₁, s₂]

= i·is3 =−s3, (B.65)

δ2δ2s3 = i[S2,−s1]

= i·is₃ =−s₃ (B.66)

である。よって，秩序パラメーターは，

v = −⟨0|δδs₃|0⟩

= ⟨0|s₃|0⟩ (B.67)

である。

第i軸まわりの回転の生成子は，

S_i− ⟨0|S_i|0⟩ (B.68)

である。対称性が破れた真空|0⟩^では，

[Si− ⟨0|Si|0⟩]|0⟩

{

= 0 for i= 1,2

̸

= 0 for i= 3 (B.69)

である。ここで，

⟨0|S_i|0⟩ =

∫

d³x⟨0|s_i|0⟩

= {

0 for i= 1,2

vV for i= 3 (B.70)

であるから（V は系の体積），(B.69)は {

Si|0⟩ ̸= 0 for i= 1,2 [S3−vV]

|0⟩= 0 (B.71)

となる。これは，元々あったSU(2)対称性が，その部分群U(1)の対称性を保ちながら，自発的に破れ たことを意味する（対称性を保ったままの部分群を安定群と言う）。

S₁，S₂対称性の自発的破れに伴い，N G場χ(x)が生じる。S₋によってχ場は

e^iS−θχ(x)e^−iS−θ =χ(x)−cθ (B.72) と変換されるものとする。ただし，cは複素c数であり，θは実パラメーターである。(B.72)の†^より，

e^iS+θχ^†(x)e^−iS+θ =χ^†(x)−c^∗θ (B.73) を得る。

強磁性体では普通，NG場χ(x)（マグノンと呼ばれる）は，

χ(x) = 1 (2π)^3/2

∫

d³k χ(k)e^{i(k·x−ωχ(k)t)} (B.74)

の形をしている。ただし，消滅演算子χ(k)と生成演算子χ^†(k)とは，正準交換関係

[χ(k), χ^†(k^′)] = δ³(k−k^′) (B.75) を満たす。これ以外の交換関係は0である。また，これより，

[χ(x, t), χ^†(x^′, t)]

= 1

(2π)³

∫

d³kd³k^′[χ(k), χ^†(k^′)]e^{i(k·x−k′·x′−ωχ(k)t+ωχ(k′)t)}

= 1

(2π)³

∫

d³k e^{ik·(x−x′)}

= δ³(x−x^′) (B.76)

が分かる。

(B.72)をθで微分して

e^iS−θ[iS₋, χ(x)]e^−iS−θ = −c,

[iS₋, χ(x)] = −c (B.77)

を得る。この式と(B.76)より，

S₋ =^w −ic

∫

d³x χ^†(x) (B.78)

と分かる。この式の†^より，

S+ = S₋^†

=w ic^∗

∫

d³x χ(x) (B.79)

である。また，上の2式より，

[S+, S₋] =^w |c|²

∫

d³xd³x^′[χ(x, t), χ^†(x^′, t)]

= |c|²

∫ d³x

= |c|²V (B.80)

を得る。この式の真空期待値より，

⟨0|[S+, S₋]|0⟩=|c|²V (B.81) が分かる。ところで，(B.60)，(B.70)より，

⟨0|[S₊, S₋]|0⟩ = 2⟨0|S₃|0⟩

= 2vV (B.82)

である。よって，

|c|²= 2v (B.83)

を得る。

上の議論で，

[S+, S₋] = 2S3

= 2

∫

d³x s₃ (B.84)

と，

[S+, S₋] =^w |c|²V

= 2vV

= 2

∫

d³x⟨0|s3|0⟩ (B.85)

との表現が異なるのは，次の理由による。すなわち，

s₃− ⟨0|s₃|0⟩=O(1/V) (B.86) のとき，右辺はV → ∞^の極限で0と見なされる。積分をしてもこの項からの寄与はもはやないので，

弱い関係式(B.85)を得る。ここで重要なのは，空間積分の前に行列要素が決まることである。O(1/V) の項は，極限操作の前に積分すれば残り，(B.84)を得る。

(B.78)に(B.74)を代入して，

S₋ =^w −ic

∫ d³x

∫

d³k 1

(2π)^3/2χ(k)e^{i(k·x−ωχ(k)t)}

= −ic

∫

d³k(2π)^3/2δ³(k)χ(k)e^−iωχ(k)t

= −ic(2π)^3/2χ(k=0) (B.87)

を得る。ただし，ω_χ(k=0) = 0を用いた。この式の†^より，

S₊ = S₋^†

=w ic^∗(2π)^3/2χ^†(k=0) (B.88)

を得る。今，

S₃ =^w

∫

d³k α(k) (B.89)

とおくと，(B.59)，(B.87)，(B.88)より，

[S₃, S₋] =

∫

d³k[α(k),−ic(2π)^3/2χ(k^′=0)] =ic(2π)^3/2χ(k^′ =0), (B.90) [S3, S+] =

∫

d³k[α(k), ic^∗(2π)^3/2χ^†(k^′ =0)] =−ic^∗(2π)^3/2χ^†(k^′ =0) (B.91) を得る。これより，

[α(k), χ(k^′ =0)] = −χ(k^′ =0)δ³(k), (B.92) [α(k), χ^†(k^′ =0)] = χ^†(k^′ =0)δ³(k) (B.93) が分かる。よって，

α(k) =χ^†(k)χ(k) +β(k) (B.94)

である。ただし，β(k)はc数である。これを(B.89)に代入して S₃ =^w

∫

d³k χ^†(k)χ(k) +

∫

d³k β(k) (B.95)

を得る。この式の真空期待値をとると，

⟨0|S₃|0⟩=

∫

d³k β(k) (B.96)

となる。左辺に(B.70)を代入して，

∫

d³k β(k) =vV (B.97)

を得る。よって，(B.95)は

S₃=^w

∫

d³k χ^†(k)χ(k) +vV (B.98)

となる。

C Nother current _と生成子

今，任意の量F(x)に対して

δF(x) ^def= F^′(x^′)−F(x), (C.1)

δF¯ (x) ^def= F^′(x)−F(x) (C.2)

を導入する。前者と後者の関係は，

δF(x) = [

F^′(x^′)−F^′(x)] +[

F^′(x)−F(x)]

= ∂_νF(x)δx^ν+ ¯δF(x) (C.3)

である。(C.2)の定義より

δψ¯ _,µ^A(x) = ∂ψ^′A(x)

∂x^µ − ∂ψ^A(x)

∂x^µ

= ∂

∂x^µ

(ψ^′A(x)−ψ^A(x))

= ∂µ¯δψ^A(x) (C.4)

である。すなわち，δ¯と∂_µは可換である。この式と(C.3)より δψ_,µ^A = ∂νψ_,µ^Aδx^ν+ ¯δψ^A_,µ

= ψ^A_,µνδx^ν+∂µδψ¯ ^A(x) (C.5)

を得る。

(B.20)のδL^は，

δL = det [∂x^′µ

∂x^ν

]L[ψ^A+δψ^A, ψ_,µ^A+δψ_,µ^A]− L

= (1 +∂νδx^ν)

(L+ ∂L

∂ψ^Aδψ^A+ ∂L

∂ψ_,µ^Aδψ^A_,µ )− L

= ∂L

∂ψ^Aδψ^A+ ∂L

∂ψ^A_,µδψ_,µ^A+L∂νδx^ν (C.6)

となる。これに(C.5)を代入すると，

δL = ∂L

∂ψ^A(∂_νψ^Aδx^ν+ ¯δψ^A) + ∂L

∂ψ^A_,µ(ψ_,µν^A δx^ν +∂_µδψ¯ ^A) +L∂_νδx^ν

= ( ∂L

∂ψ^A −∂_µ ∂L

∂ψ_,µ^A

)¯δψ^A+∂_µ ( ∂L

∂ψ_,µ^A )δψ¯ ^A

+ ( ∂L

∂ψ^Aψ^A_,µ+ ∂L

∂ψ^A_,νψ_,νµ^A )

δx^µ+L∂_µδx^µ

= ( ∂L

∂ψ^A −∂_µ ∂L

∂ψ_,µ^A

)¯δψ^A+∂_µ ( ∂L

∂ψ_,µ^A¯δψ^A+Lδx^µ )

≡ [L]Aδψ¯ ^A+∂µN^µ (C.7)

を得る。ただし，第3等号で

∂L

∂ψ^Aψ^A_,µ+ ∂L

∂ψ^A_,νψ_,νµ^A =∂µL (C.8)

を用い，第4等号で

[L]_A ^def= ∂L

∂ψ^A −∂_µ ∂L

∂ψ_,µ^A, (C.9)

N^{µ def}= ∂L

∂ψ_,µ^Aδψ¯ ^A+Lδx^µ (C.10)

を導入した。N^µは，

N^µ = ∂L

∂ψ^A_,µ(δψ^A−ψ^A_,νδx^ν) +Lδx^µ (C.11)

= ∂L

∂ψ^A_,µδψ^A−T^µ_νδx^ν, (C.12)

T^µ_ν ^def= ∂L

∂ψ^A_,µδψ^A− Lδ^µ_ν (C.13)

とも書ける。N^µは，Nother currentと呼ばれ，T^µ_νは正準エネルギー・運動量テンソルと呼ばれる。N⁰ は，(C.11)より

N⁰ = ∂L

∂ψ˙^A(δψ^A−ψ_,ν^Aδx^ν) +Lδx⁰

= πA(δψ^A−ψ_,ν^Aδx^ν) +Lδx⁰

= π_A(δψ^A−ψ_,i^Aδxⁱ)−(π_Aψ˙^A− L)δx⁰

= π_A(δψ^A−ψ_,i^Aδxⁱ)− Hδx⁰ (C.14) である。ただし，第2，第4等号で

π_A ^def= ∂L

∂ψ˙^A, (C.15)

H ^def= π_Aψ˙^A− L (C.16)

を用いた。

今，

N(t)^def=

∫

d³x N⁰(x) (C.17)

を定義すると，以下に示すように，次の仮定の下で，

[ψ^A(x, t), N(t)] = iδψ¯ ^A(x, t) (C.18) となる。

仮定(1)δx⁰ はxによらない：

δx⁰ =δx⁰(t). (C.19)

仮定(2)δψ^A, ∂iψ^AはπAを含まない。

仮定(3)Lは特異でない。すなわち，

[ψ^A(x, t), H(t)] = iψ˙^A(x, t), (C.20) H(t) ^def=

∫

d³xH(x) (C.21)

および，

[ψ^A(x, t), π_B(x^′, t)] =iδ^A_Bδ³(x−x^′) (C.22) が成り立つ。

仮定(1)より，

N(t) =

∫ d³x[

π_A(δψ^A−ψ_,i^Aδxⁱ)− Hδx⁰]

=

∫

d³x π_A(δψ^A−ψ_,i^Aδxⁱ)−Hδx⁰ (C.23) である。これと，仮定(2),(3)より

[ψ^A(x, t), N(t)] =

∫

d³x^′[ψ^A(x, t), πB(x^′, t)](

δψ^B−ψ^B_,iδxⁱ) (x^′, t)

−[π_A(x, t), H(t)]δx⁰(t)

= i(δψ^A−ψ^A_,iδxⁱ)(x, t)−[π_A(x, t), H(t)]δx⁰(t)

= i(δψ^A−ψ^A_,iδxⁱ−ψ˙^Aδx⁰)(x, t)

= iδψ¯ ^A(x, t) (C.24)

となる。これより，

e^iN(t)ψ^A(x, t)e^−iN(t) = ψ^A(x, t) + ¯δψ^A(x, t) +O(¯δ²) (C.25) が導かれる。

また，(C.17)，(C.7)より，

N˙(t) =

∫

d³x ∂0N⁰

=

∫

d³x(∂µN^µ−∂iNⁱ)

=

∫

d³x(δL −[L]_A¯δψ^A)−

∫

d³x ∂_iNⁱ (C.26)

が得られる。

今，連続変換がm個のパラメーターで特徴づけられ，(B.17)，(B.18)が，微小量{ε^r}^mr=1を用いて，

δx^µ = x^′µ−x^µ=ε^rf_r^µ, (C.27)

δψ^A(x) = ψ^′A(x^′)−ψ^A(x^′) =ε^rFrA

Bψ^B(x) (C.28)

と書ける場合を考える。これは大域的な変換である。このとき，Nother current(C.11)は，

N^µ = ε^r ( ∂L

∂ψ_,µ^AF_r^A_Bψ^B−T^µ_νf_r^ν )

≡ ε^rJ^µr, (C.29)

J^µ_r ^def= ∂L

∂ψ_,µ^AF_r^A_Bψ^B−T^µ_νf_r^ν (C.30) と書ける。今，

J_r^def=

∫

d³x J⁰_r (C.31)

を定義すると，これはパラメーターε^rが表わす変換の生成子である。

例えば，時空並進の変換は

δx^µ=ε^µ, δψ^A(x) = 0 である。これは(C.27)，(C.28)で

r = µ, f_µ^ν = δ_µ^ν, FµA

B = 0 としたものである。また，このとき，

¯δψ^A(x) = δψ^A(x)−∂_µψ^A(x)δx^µ

= −ε^µ∂µψ^A(x) (C.32)

である。J^µ_r，J_rは，

J^ν_µ = 0−T^ν_λδ_µ^λ

= −T^νµ, (C.33)

Jµ = −

∫

d³x T⁰µ (C.34)

となる。

Lorentz変換のときは，

δx^µ = ε^µνxν, (C.35)

ε^βa = −ε^aβ, (C.36)

δψ^A(x) = 1

2ε^aβ(F_aβ)^A_Bψ^B(x) (C.37)

である。このとき，

δψ¯ ^A = δψ^A−∂αψ^Aδx^α

= 1

2ε^αβ(Fαβ)^ABψ^B−∂αψ^Aε^αβxβ

= 1 2ε^αβ

[

(Fαβ)^ABψ^B+ (xβ∂α−xα∂β)ψ^A ]

(C.38) である²¹⁾。

δx^µは，

δx^µ = ε^µβη_βνx^ν

= ε^αβδ^µ_αη_βνx^ν

= 1

2ε^αβ(δ^µ_αη_βν−δ^µ_βη_αν)x^ν

= 1

2ε^αβ(f_αβ)^µνx^ν, (C.39)

(f_αβ)^µ_ν ^def= δ^µ_αη_βν −δ^µ_βη_αν (C.40) とも書ける。直接計算によって，

[f_αβ,fµν] =η_βµfαν−ηαµf_βν +ηανf_βµ−η_βνfαµ (C.41) が確かめられる。f_αβ，F_αβはともにLorentz群のLie代数の表現行列であるから，

[Fαβ,Fµν] =ηβµFαν−ηαµFβν +ηανFβµ−ηβνFαµ (C.42) が分かる。

Nother currentは，

N^µ = ∂L

∂ψ_,µ^Aδψ^A−T^µ_αδx^α

= ∂L

∂ψ_,µ^A(F_αβ)^A_Bψ^B−T^µ_αε^αβx_β

= 1 2ε^αβ

[ ∂L

∂ψ^A_,µ(F_αβ)^A_Bψ^B−(T^µ_αx_β−T^µ_βx_α) ]

= 1

2ε^αβJ^µαβ, (C.43)

J^µ_αβ ^def= ∂L

∂ψ_,µ^A(F_αβ)^A_Bψ^B−(T^µ_αx_β−T^µ_βx_α) (C.44) となる。よって，Lorentz変換の生成子は，

J_αβ =

∫ d³x

[

π_A(F_αβ)^A_Bψ^B−(T⁰_αx_β−T⁰_βx_α) ]

(C.45) である。

(C.27)はPµとかかれ，(C.45)の(−1)倍は通常M_αβ とかかれる。すなわち Pµ ≡ −

∫

d³x T⁰µ≡(−H,P), (C.46)

M_µν ≡

∫

d³x(T⁰_µx_ν−T⁰_νx_µ)−

∫

d³x π_A(F_µν)^A_Bψ^B (C.47)

21)ε^0βがあると，仮定(1),(および仮定(2))を破る。

である。Pµの時空並進の生成子であり，MµνはLorentz変換の生成子である。今，

J_i ^def= 1

2ε_ijkM_ij (C.48)

= ε_ijk

∫

d³x T⁰_jx_k−ε_ijk

∫

d³x π_A(F_jk)^A_Bψ^B, (C.49) Ki def

= Mi0 (C.50)

=

∫

d³x(T⁰_ix₀−T⁰₀x_i)−

∫

d³x π_A(F_i0)^A_Bψ^B  (C.51) を定義すると，Jiは角運動量であり，KiはLorentz boostである。

実スカラー場のときのP_µ，M_µνを計算する。ラグランジアンを，

L=−1

2η^µν∂_µϕ∂_νϕ+V(ϕ) (C.52)

とする。V(ϕ) = −(κ²/2)ϕ² のときが自由Klein-Gordon場，V(ϕ) = (µ²/λ²)[cos(λϕ)−1]のときが sine-Gordon場に対応する。ϕの正準共役場は，

π = ∂L

∂ϕ˙

= ∂

∂ϕ˙(1

2ϕ˙²− · · ·)

= ˙ϕ (C.53)

である。正準エネルギー・運動量テンソル(C.13)は，

T^µν = ∂L

∂ϕ_,µϕ,ν−δ^µνL

= ∂

∂ϕ_,µ [−1

2η^αβ∂_αϕ∂_βϕ+V(ϕ)]

ϕ_,ν−δ^µ_νL

= −∂^µϕ∂_νϕ−δ^µ_νL

= −∂^µϕ∂νϕ+δ^µν

[1

2η^αβ∂αϕ∂_βϕ−V(ϕ)]

(C.54) であり，(C.46)は，

P_µ = −

∫

d³x T⁰_µ

= −

∫ d³x

(ϕ∂˙ _µϕ−δ⁰_µ[1

2η^αβ∂_αϕ∂_βϕ−V(ϕ)])

= −

∫ d³x

(

π∂µϕ−δ⁰µ

[1

2η^αβ∂αϕ∂βϕ−V(ϕ)])

(C.55) となる。スカラー場では，F_µν = 0であるから，(C.47)は，

M_µν =

∫

d³x(T⁰_µx_ν −T⁰_νx_µ)

=

∫

d³x(π∂µϕxν−π∂νϕxµ) (C.56)

となり，角運動量は，

J_i = ε_ijk

∫

d³x T⁰_jx_k

= ε_ijk

∫

d³x π∂_jϕx_k

= −ε_ijk

∫

d³x πxj∂_kϕ

= −

∫

d³x π(x×∇ϕ)_i (C.57)

となる。

(C.55)より，

P =−

∫

d³x π∇ϕ (C.58)

である。実クライン・ゴルドン場の場合にこれを計算する。(A.49)-(A.51)，(A.53)-(A.56)を代入して P = − 1

(2π)³

∫ d³x

∫ d³k

∫ d³k^′

√ω(k) 2

[−ia(k)e^{ik·x−iω(k)t}+ia^†(k)e^{−ik·x+iω(k)t}]

×

√ 1 2ω(k^′)

[ik^′a(k^′)e^{ik′·x−iω(k′)t}−ik^′a^†(k^′)e^{−ik′·x+iω(k′)t}]

=

∫ d³k

∫ d³k^′

√ ω(k) ω(k^′)

1 2

[−a(k)a(k^′)δ³(−k−k^′)k^′e^{−iω(k)t−iω(k′)t}

+a^†(k)a(k^′)δ³(k−k^′)k^′e^{iω(k)t−iω(k′)t}+a(k)a^†(k^′)δ³(−k+k^′)k^′e⁻iω(k)t+iω(k^′)t

−a^†(k)a^†(k^′)δ³(k+k^′)k^′eiω(k)t+iω(k^′)t]

=

∫ d³k1

2k[

a(k)a(−k)e^−i2ω(k)t+a^†(k)a(k) +a(k)a^†(k) +a^†(k)a^†(−k)e^2iω(k)t]

=

∫ d³kk

2

[a^†(k)a(k) +a(k)a^†(k)]

(C.59) を得る。ただし，第2等号で(A.141)を，第3等号でω(−k) =ω(k)を用いた。第4等号では，第1項 と第4項

I₁^def= 1 2

∫

d³kka(k)a(−k)e^−i2ω(k)t, I₄ ^def= 1 2

∫

d³kka^†(k)a^†(−k)e^2iω(k)t (C.60) は変数変換k→ −kにより，

I1=−I1, I4=−I4 (C.61)

となるので消えることを用いた。(C.59)は正準交換関係(2.13)より，

P =

∫

d³kka^†(k)a(k) +1

2δ³(k^′ =0)

∫ d³kk

=

∫

d³kka^†(k)a(k) (C.62)

となる。

D 付録 D

D.1 高次補正

この節では，ℏを復活させる。空間次元がdのときの D(x−y) = 1

ℏ[φ⁽⁺⁾(x), φ⁽⁻⁾(y)] (D.1)

をD_d(x−y)と書くと，

D_d(x) = 1 (2π)^d

∫

d^dke^{ik·x−iω(k)t}

2ω(k) , ω(k) =√

k²+κ² (D.2)

である。これは，

D_d(x) =−κ^(d−1)/2θ(−x²)

[N_−(d−1)/2(κ√

−x²) +iε(t)J_−(d−1)/2(κ√

−x²) 2^(d+3)/2π^(d−1)/2(√

−x²)^(d−1)/2

]

+κ^(d−1)/2θ(x²) K_(d−1)/2(κ√ x²) (2π)^(d+1)/2(√

x²)^(d−1)/2 (D.3) となることが知られている（[4]のpp.424-425）。ただし，x²= 0における特異性は無視した。ここで，

x²=−t²+x², ε(t) = {

+1 for t >0

−1 for t <0 , θ(z) = {

1 for z >0

0 for z <0 (D.4) であり，J_−(d−1)/2，N_−(d−1)/2，K_(d−1)/2 はそれぞれベッセル関数，第2種ベッセル関数，第2種変形 ベッセル関数である。特に，d= 3のとき，

D₃(x) = { _κ

8π

√1

−x²[N1(κ√

−x²) +iε(t)J1(κ√

−x²)] for x² <0

κ 4π²

√1

x²K₁(κ√

x²) for x² >0 (D.5)

であり，d= 1のとき，

D₁(x) =

{ −¹₄[N₀(κ√

−x²)−iε(t)J₀(κ√

−x²)] for x² <0

1

2πK₀(κ√

x²) for x² >0 (D.6)

である。ただし，J_−n= (−1)ⁿJ_n，N_−n= (−1)ⁿN_n（n= 0,1,2,· · ·^{）を用いた。}x² = 0付近で展開す ると，

D₃(x) = 1 4π²

1 x² + κ²

8π² ln (κ√

|x²| 2

)

+κ²(2γ−1)

16π² +iε(t)θ(−x²) κ² 16π +O

( x²ln(

κ√

|x²|))

, (D.7)

D1(x) = − 1 2π ln

(κ√

|x²| 2

)− γ 2π + i

4ε(t)θ(−x²)−κ²x² 8π ln

(κ√

|x²| 2

)

+O(x²) (D.8)

となる。γ = 0.57721· · · はオイラー定数である。ただし，n= 0,1,2,· · · に対して，

J_n(z) =

∑∞ m=0

(−1)^m m!(m+n)!

(z 2

)n+2m

, (D.9)

N_n(z) = 2

πJ_n(z) lnz 2 − 1

π

n−1

∑

m=0

(n−m−1)!

m!

(z 2

)₋n+2m

−1 π

∑∞ m=0

ψ(m+ 1) +ψ(m+n+ 1) m!(m+n)! (−1)^m

(z 2

)n+2m

, (D.10)

K_n(z) = 1 2

n∑−1 m=0

(−1)^m(n−m−1)!

m!

(z 2

)₋n+2m

+(−1)ⁿ⁺¹ ∑^∞

m=0

1 m!(m+n)!

(z 2

)_n+2m[ lnz

2 −ψ(m+ 1) +ψ(m+n+ 1) 2

]

, (D.11) ψ(z) = d

dzln Γ(z), ψ(1) =−γ (D.12)

であることを用いた。

(2.36)を例に，高次補正を計算する。まず，場の秩序パラメーター(2.126)は，(2.42)より

ϕ=f+λf³+ 3ℏλD(ε)f (D.13)

である。第3項が高次補正である。今，

: ˜ψ[x|φ_f]: ^def= ψ−ϕ (D.14)

を定義すると，これは:ψ[x|φ]:とは高次補正の分だけ異なる。(2.36)の例では，

: ˜ψ[x|φ_f]: = ψ−ϕ

= φf +f +λ(φ³_f+ 3φ²_ff+ 3φff²+f³)−(f+λf³+ 3ℏλf D(ε))

= φ_f +λ(φ³_f + 3φ²_ff+ 3φ_ff²−3ℏf D(ε))

= φ_f(1 + 3λf²) +λ(φ³_f + 3φ²_ff−3ℏf D(ε)) (D.15) である。

φ³_f = φ⁽⁺⁾³_f +φ⁽⁺⁾_f φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f +φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾²_f +φ⁽_f⁻⁾²φ⁽⁺⁾_f

+φ⁽⁺⁾²_f φ⁽_f⁻⁾+φ⁽⁺⁾_f φ⁽_f⁻⁾²+φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f φ⁽_f⁻⁾+φ⁽_f⁻⁾³ (D.16) :φ³_f: = φ⁽⁺⁾³_f +φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f φ⁽⁺⁾_f +φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾²_f +φ⁽_f⁻⁾²φ⁽⁺⁾_f

+φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾²_f +φ⁽_f⁻⁾²φ⁽⁺⁾_f +φ⁽_f⁻⁾φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f +φ⁽_f⁻⁾³ (D.17) φ³_f−:φ³_f: = [φ⁽⁺⁾_f φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f −φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f φ⁽⁺⁾_f ] + [φ⁽⁺⁾²_f φ⁽_f⁻⁾−φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾²_f ]

+[φ⁽⁺⁾_f φ⁽_f⁻⁾²−φ⁽_f⁻⁾²φ⁽⁺⁾_f ] + [φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f φ⁽_f⁻⁾−φ⁽_f⁻⁾φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f ]

= [φ⁽⁺⁾_f , φ⁽_f⁻⁾]φ⁽⁺⁾_f + [φ⁽⁺⁾²_f , φ⁽_f⁻⁾] + [φ⁽⁺⁾_f , φ⁽_f⁻⁾²] +φ⁽_f⁻⁾[φ⁽⁺⁾_f , φ⁽_f⁻⁾]

= ℏD(ε)φ⁽⁺⁾_f + 2ℏD(ε)φ⁽⁺⁾_f + 2ℏD(ε)φ⁽⁻⁾_f +φ⁽⁻⁾_f ℏD(ε)

= 3ℏD(ε)[φ⁽⁺⁾_f +φ⁽_f⁻⁾]

= 3ℏD(ε)φ_f (D.18)

および，

φ²_f = φ⁽⁺⁾²_f +φ⁽⁺⁾_f φ⁽_f⁻⁾+φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f +φ⁽_f⁻⁾² (D.19) :φ²_f: = φ⁽⁺⁾²_f +φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f +φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f +φ⁽_f⁻⁾² (D.20) φ²_f−:φ²_f: = φ⁽⁺⁾_f φ⁽_f⁻⁾−φ⁽_f⁻⁾φ⁽⁺⁾_f

= ℏD(ε) (D.21)

より，(D.15)は，

: ˜ψ[x|φ_f]: = φ_f(1 + 3λf²) +λ[:φ³_f: +3ℏD(ε)φ_f + 3(:φ²_f: +ℏD(ε))f−3ℏf D(ε)]

= φ_f(1 + 3λf²+ 3ℏλD(ε)) +λ(:φ³_f: +3 :φ²_f:f) (D.22) となる。また，:ψ[x|φf]:は，

:ψ[x|φ_f]: = :φ_f+f+λ(φ³_f + 3φ²_ff + 3φ_ff²+f³):

= φ_f +λ(:φ³_f: +3 :φ²_f:f+ 3φ_ff²)

= φf(1 + 3λf²) +λ(:φ³_f: +3 :φ²_f:f) (D.23) である。ただし，c数のN積は0であるとした。(D.22)，(D.23)より

: ˜ψ[x|φ_f]:−:ψ[x|φ_f]: = 3ℏλD(ε)φ_f(x) (D.24)

= 0w (D.25)

である。

準粒子方程式(2.1)の真空期待値を取ると，巨視的物体に対する古典的方程式

Λ(∂)ϕ(x) =⟨0(f)|j[ψ(x)]|0(f)⟩ (D.26) を得る。(D.14)より

⟨0(f)|j[ψ](x)|0(f)⟩ = ⟨0(f)|j[ϕ(•)+ : ˜ψ[•|φ_f]:](x)|0(f)⟩

= j[ϕ](x) + (高次補正) (D.27)

となる。従って，(D.26)は

Λ(∂)ϕ(x) =j[ϕ](x) + (高次補正) (D.28)

となり，tree近似でのϕの方程式は

Λ(∂)ϕ(x)^tree= j[ϕ](x) (D.29)

となる。

(D.27)を示そう。以下では，N積はφ_fについてのものとし，必要がない限り引数は省略する。j[ψ](x)

には，ψⁿ(x)のような項が含まれる。ψⁿにψ=ϕ+ : ˜ψ:を代入すると，

ψⁿ = (ϕ+ : ˜ψ:)(ϕ+ : ˜ψ:)· · ·(ϕ+ : ˜ψ:)

= ϕⁿ+nϕⁿ⁻¹: ˜ψ: +n(n−1)

2 ϕⁿ⁻²: ˜ψ:: ˜ψ: +· · · (D.30)

となる。この真空期待値は，

⟨0(f)|ψⁿ|0(f)⟩=ϕⁿ+n(n−1)

2 ϕⁿ⁻²⟨0(f)|: ˜ψ:: ˜ψ:|0(f)⟩+· · · (D.31) である。第2項以降が，(D.27)の(高次補正)に対応する。tree近似では，

:A::B:^tree= :AB: (D.32)

である。よって，

⟨0(f)|ψⁿ|0(f)⟩^tree= ϕⁿ (D.33)

となる。同様にして，(D.29)を得る。

今の例では，

: ˜ψ:: ˜ψ: = (1 + 3λf²)²φ²_f +λ(1 + 3λf²)φ⁴_f + 3λ(1 + 3λf²)f φ³_f −3λℏf D(ε)(1 + 3λf²)φ_f + λ(1 + 3λf²)φ⁴_f +λ²φ⁶_f + 3λ²f φ⁵_f −3λ²ℏf D(ε)φ³_f

+ 3λ(1 + 3λf²)f φ³_f + 3λ²f φ⁵_f + 9λ²f φ⁴_f−9λ²ℏf²D(ε)φ²_f

− 3λℏf(1 + 3λf²)D(ε)φ_f −3λ²ℏf D(ε)φ³_f−9λ²ℏf²D(ε)φ²_f + 9λ²ℏ²f²D²(ε) (D.34) であり，真空期待値は，φ_f の偶数次だけが残り，

⟨0(f)|: ˜ψ:: ˜ψ:|0(f)⟩ = ⟨0(f)|(1 + 3λf²)²φ²_f+λ(1 + 3λf²)φ⁴_f+λ²φ⁶_f + 9λ²f φ⁴_f

−18λ²ℏf²D(ε)φ²_f + 9λ²ℏ²f²D²(ε)|0(f)⟩

= ⟨0(f)|[

(1 + 3λ²)²−18λ²ℏf²D(ε)]

φ²_f +λ(1 + 12λf²)φ⁴_f +λ²φ⁶_f

+9λ²ℏ²f²D²(ε)|0(f)⟩ (D.35)

である。Wickの定理より得られる公式

⟨0(f)|φ²ⁿ_f |0(f)⟩= (2n−1)(2n−3)· · ·3·1ℏⁿDⁿ(ε) (D.36) より，

⟨0(f)|: ˜ψ:: ˜ψ:|0(f)⟩ = [

(1 + 3λf²)²−18λ²ℏf²D(ε)]

ℏD(ε) +λ(1 + 12λf²)3ℏ²D²(ε) +15λ²ℏ³D³(ε) + 9λ²ℏ²f²D²(ε)

= (1 + 3λf²)²ℏD(ε) + 3λ(1 + 9λf²)ℏ²D²(ε) + 15λ²ℏ³D³(ε) (D.37) を得る。

ドキュメント内 蜊定ｫ蝣ｴ縺ｮ驥丞ｭ占ｫ悶↓縺翫¢繧狗悄遨ｺ縺ｮ螻樊ｧ縺ｨ驥丞ｭ舌た繝ｪ繝医Φ) (ページ 72-86)