n次の実数係数多項式
A(s) =a0sn+a1sn−1+· · ·+an, aj∈R の係数を次のようにならべたn×nの行列を作成する．
H = (hij) = (a−i+2j) =
a1 a3 a5 a7 a9 a11 . . . a0 a2 a4 a6 a8 a10 . . . 0 a1 a3 a5 a7 a9 . . . 0 a0 a2 a4 a6 a8 . . . 0 0 a1 a3 a5 a7 . . . 0 0 a0 a2 a4 a6 . . . ... ... ... ... ... ... . ..
,
ただし，係数の添え字の範囲を超えた場合0とする．つまり，行列H の(i, j)成分hij は，
hij = {
a−i+2j, 0≤ −i+ 2j≤n
0, otherwise
である．
定理11.3 (フルビッツ安定判別法). 最高次数の係数が正 a0>0 の n次実数係数多項式 A(s) =a0sn+a1sn−1+· · ·+an, ∀aj∈R
の A(s) = 0 の根が全て負の実部を持つための必要十分条件は，次の 2 条件を満たすことで
ある．
1. 全ての係数が正である（aj>0,j= 0,1,. . .,n）．
2. 行列 H の左上の k×k の小行列の行列式を Dk とおくと，全ての Dk >0,k = 1,2, . . .,n．
フルビッツ安定判別法の証明は，次の本を参照せよ．
高木貞治，代数学講義，改訂新版，共立出版，昭和４０年．P.97例３ とP.361問題がフル ビッツ安定判別法．
例 11.4. 次の特性関数を持つ，システムの安定性を調べよ．
1) A1(s) =s4+ 3s3+ 8s2+ 12s+ 8, 2) A2(s) =s5+ 2s4+ 3s3+ 4s2+ 5s+ 4 3) A3(s) =s5+ks4+ 3s3+ 4s2+ 5s+ 4, パラメータk∈R
4) A4(s) =s5+ks4+ 33s3+ 63s2+ 64s+ 30, パラメータk∈R
1) 4次多項式A1(s) =s4+ 3s3+ 8s2+ 12s+ 8 は全ての係数が正であるから，フルビッツ 安定判別法の最初の条件は満たしている．4×4の行列H を作成すると，
H =
3 12 0 0
1 8 8 0
0 3 12 0
0 1 8 8
である．4個の小行列式を順番に計算すると，
D1=3= 3>0, D2=
3 12 1 8
= 3·8−1·12 = 12>0,
D3=
3 12 0
1 8 8
0 3 12
= 3·
8 8 3 12
−1·
12 0
3 12 + 0·
12 0
8 8
= 3·6·12−12·12 = 6·12 = 72>0,
D4=
3 12 0 0
1 8 8 0
0 3 12 0
0 1 8 8
=−0·
1 8 8 0 3 12 0 1 8
+ 0·
3 12 0 0 3 12
0 1 8
−0·
3 12 0
1 8 8
0 1 8
+ 8·
3 12 0
1 8 8
0 3 12
= 8·D3= 8·72>0
なので，フルビッツ安定判別法により，特性関数A1(s) を持つシステムは安定である．ただ し，D3は行列式を第 1 列で展開した．D4 は行列式を第4 列で展開した．D3>0 と全ての 係数が正があれば，自動的にD4>0 となるので，D4の正負のチェックは必要ない．
2) 5次多項式A2(s) =s5+ 2s4+ 3s3+ 4s2+ 5s+ 4は全ての係数が正であるから，フルビッ ツ安定判別法の最初の条件は満たしている．5×5の行列H を作成すると，
H =
2 4 4 0 0 1 3 5 0 0 0 2 4 4 0 0 1 3 5 0 0 0 2 4 4
である．5 個の小行列式を順番に計算すると，
D1=2= 2>0, D2=
2 4 1 3
= 2·3−1·4 = 2>0,
D3=
2 4 4 1 3 5 0 2 4
= 2·
3 5 2 4 −1·
4 4 2 4 + 0·
4 4 3 5
= 2·(3·4−2·5)−1·(4·4−2·4) = 2·2−8 =−4≤0
であり，D3≤0なので，フルビッツ安定判別法により，特性関数A2(s)を持つシステムは不 安定である．ただし，D3 は行列式を第1列で展開した．
3) 5次多項式A3(s) =s5+ks4+ 3s3+ 4s2+ 5s+ 4 が，フルビッツ安定判別法の最初の条 件を満たすためには，s4の係数であるパラメータk >0が必要である．5×5の行列H を作 成すると，
H =
k 4 4 0 0
1 3 5 0 0 0 k 4 4 0 0 1 3 5 0 0 0 k 4 4
である．5 個の小行列式を順番に計算すると，
D1=k=k >0, D2=
k 4 1 3
= 3k−4>0 =⇒ k > 4 3,
D3=
k 4 4 1 3 5 0 k 4
=k·
3 5 k 4 −1·
4 4 k 4 + 0·
4 4 3 5
=k·(3·4−k·5)−1·(4·4−k·4) =−5k2+ 16k−16
=−5(k−8/5)2−16/5>0 =⇒この不等式は解を持たない．
したがって，フルビッツ安定判別法の 2個目の条件（D3>0 ）を満たさないので，このシ ステムはどんなパラメータk∈Rに対しても不安定である．
4) 5次多項式A4(s) =s5+ks4+ 33s3+ 63s2+ 64s+ 30が，フルビッツ安定判別法の最初 の条件を満たすためには，s4 の係数であるパラメータ k >0 が必要である．5×5 の行列H
を作成すると，
H=
k 63 30 0 0
1 33 64 0 0
0 k 63 30 0
0 1 33 64 0
0 0 k 63 30
である．5 個の小行列式を順番に計算し，各小行列式が正であるパラメータ kの範囲を求め ると，
D1=k=k >0, D2=
k 63 1 33
= 33k−63>0 =⇒ k > 63
33 (;1.9091),
D3=
k 63 30 1 33 64 0 k 63
=k·
33 64 k 63 −1·
63 30
k 63 + 0·
63 30 33 64
=k·(33·63−k·64)−1·(63·63−k·30) =−64k2+ 2109k−3969>0
=⇒ 2109−3√ 381313
128 (;−1.7852)< k < 2109 + 3√ 381313
128 (;34.7383),
D4=
k 63 30 0 1 33 64 0 0 k 63 30 0 1 33 64
=k·
33 64 0 k 63 30 1 33 64 −1·
63 30 0 k 63 30 1 33 64
=−4096k2+ 104226k−192546>0
=⇒ 52113−10647√ 17
4096 (;2.0054)< k < 52113 + 10647√ 17
4096 (;23.4404),
D5=
k 63 30 0 0
1 33 64 0 0
0 k 63 30 0
0 1 33 64 0
0 0 k 63 30
= 30·D4>0
である．ただし，D3は第1列で行列式を展開した．D4では，第1 列で行列式を展開した後 の計算は略した．D5 は第5列で行列式を展開すると，30·D4 になり，D5>0は D4>0か ら自動的に得られる．よって，全ての小行列式が正になるパラメータkの範囲は，
52113−10647√ 17
4096 (;2.0054)< k < 52113 + 10647√ 17
4096 (;23.4404) である．このとき，システムは安定である．
12 ナイキスト安定判別法
一巡伝達関数Go(s)を持つ負のフィードバックシステム（第10.1小節参照）は，1+Go(s) = 0 の解の実部が全て負であれば，安定であった．ナイキスト安定判別法は，Go(s)のベクトル軌 跡（第9.3小節参照）から，負のフィードバックシステムの安定性を判定する方法である．一 巡伝達関数 Go(s)が時間遅れ e−T s を持つような場合，前述の方法は使えないので，ナイキ スト安定判別法が有効である．