フラクタル次元の導出

3.4. フラクタル次元の導出

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3.4.2 ^解析条件

最小二乗法の適用範囲について

フラクタル次元を求めるにあたってボックスカウンティング法を用いることはすで

に3.4.2で述べた。ボックスサイズηとボックス数N との関係はフラクタルパワー則

に従う。両対数グラフにN とη をプロットすれば(図3.7)、その傾きから求めること ができる。

N(η) =Cη^−D (3.2)

よって、フラクタル次元はボックスサイズηとボックス数N とを両対数グラフにプロッ トすることにより(図3.7)、その傾きから求めることができる。

ここで、傾き−Dは最小二乗法により決定される。フラクタル性があるということ は両対数グラフ上でボックスサイズとボックス数とが直線にのるということであり、最 小二乗法は直線にのっている部分に適用するべきであると考えられる。そこでηの範 囲について考察する。

以下に観察倍率 800倍の100本目のラインから得られた N と ηとの関係を例に挙 げる。

3.4. フラクタル次元の導出

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1 10 100 1000 10000 100000

0.01 0.1 1 10 100

boxsize(•)

boxnum

Data Interval

図 3.7: ボックス数とボックスサイズとの関係

まず、適用範囲の最小値についてであるが、これに関してはSEMで測定できるデー タ間隔値を最小値と定めた。データ間隔値以下のボックスサイズでボックス数をカウ ントしてもプロファイルをたどるのと同じであり、ボックスカウンティング法として 意味をなさないためである。

また、最大値の決定には決定係数を用いた。決定係数は 1に近いほど直線関係が保 たれていることを示す指標である。以下に, ボックスサイズの最大値/データ間隔に対 する決定係数の変化を示す(表3.4)。

3.4. フラクタル次元の導出

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表 3.4: 決定係数の変化

ボックスサイズ最大値/データ間隔 決定係数

5 0.999935

10 0.999751

15 0.999539

20 0.999341

30 0.998985

40 0.385618

これからデータ間隔の30倍を越えると決定係数が大きく変化することがわかる。ま た、10倍を越えるとボックスサイズの変化に対してボックス数があまり変化しないこ とからデータ間隔の10倍を最小二乗法適用範囲の最大値とした。

一破面のフラクタル次元の定義

SEMではX方向について420本、Y方向について560本のプロファイルがとれる。

そこで、SEMで得られた１視野の破面に対するフラクタル次元として以下のように定 義する。

1. 各プロファイル１本ずつのフラクタル次元を求める。

2. その視野に含まれる全プロファイルのフラクタル次元の平均値を求め、その値を その視野のフラクタル次元とする。