9
ユ
7 10
5
→
5←
とくに3＝0の時は以下の図のようなグラフで考える。
s＝0
3
2
1／
これらのグラフは次のような性質を持っている。
1．どの頂点も次数は3になっている。
2．サーキットはただ1つである。
3．辺の番号として1，2，…，68＋3までの数が、ちょうど1回ずつ出てくる。
4．各頂点において、その頂点につながる辺のうち、その頂点に入っていく向きの辺の番 号の和と、その頂点から出て行く向きの辺の番・号の和が等しくなっている。
性質1は明らかで、性質3も辺の番号付けの方法から成り立つことが分かる。また、図から 簡単な考察で性質2が成り立つことも分かる。性質4については、以下の図のようなグラフ の部分を考えると、
1．頂点盈については、矢印の方向がその頂点に向かっている辺の番号の和は、65一ん＋3で、
矢印の方向がその頂点から出て行く辺の番号の和は、（28−2勧＋（48＋3柄）＝65一た＋3 となり成り立つ。
2．同様iに頂点Bについては、矢印の方向がその頂点に向かっている辺の番号の和は、（25−
2ん）十（23十2一トん）ニ＝45一鳶十2
矢印の方向がその頂点から出て行く辺の番号の和は、45一ん＋2
6s−k十3 A 4s十3十k D6s−k十4
一2s−2k一
↓
一一
↑
一2s−2k十1一
4s−k十2 B 2s十2十k C 4s−k十3
頂点0については、矢印の方向がその頂点に向かっている辺の番号の和は、45一ん＋3 矢印の方向がその頂点から出て行く辺の番号の和は、（25＋2＋初＋（28一舖＋1）＝45一軒3 頂点0については、矢印の方向がその頂点に向かっている辺の番号の和は、（45＋3＋
乃）十（25−2ん十1）＝65一乃十4
矢印の方向がその頂点から出て行く辺の番号の和は、65一た＋4となっており、やは り成り立つ。
図以外の部分、つまり左端と右端の部分については、図から明らかに性質4が成り立ってい ることが分かる。よって、性質4はグラフのどの頂点でも成り立つ。
このような性質を持つグラフを使って、瓦のローテーションを以下のように構成して いく。まずK。の頂点に番号付けをおこない、y（κπ）＝｛0，1，2，3，…η一1｝とする。ただし、
以下頂点の番号づけはηを法とする剰余類で考える。ここでη一1＝125＋6であることに
注意する。
κπのローテーションを次の方法で構成する。
1．グラフG、のサーキットを考え、サーキットにそって、通る辺の番号を書き連ねていく。
ただしこの時、辺の向きとサーキットの向きが逆の場合は、その辺の番号がたならば、
123＋7一たを書くことにする。こうしてできた列をα1，α2，…，αユ2。＋6とする。
2．サーキットは、閉じており、またサーキットはすべての辺を2度つつ通るので，サーキッ トの長さは、125＋6になっている。また、すべての辺を通ることから、α玉，α2，…，α12、＋6 には1，2，…63＋3および、一1，一2，…，《63＋3）が含まれる。これを、ηを法とする 剰余類で考えれば、編≡（125＋7）一八であるからα1，α2，…，α12。＋6は1，2，一・，125＋6 の順列になっている。
3。α1，α2，…，α12。＋6を頂点0のローテーションとする。
4．頂点々（1≦た≦125十6）のローテーションはα1十ゐ，α2＋鳶，…，α12。＋6＋たにより定 める。ただし、もちろんここでの和は123十7を法として考える。
具体的に、
0． α1， α2， …α12。＋6
1． α1＋1， α2＋1， …α12。＋6＋1
た． α、＋んラ α2＋た， …α、2。＋6＋た
n−1．α1＋η一1，α2＋η一1，…α12。＋6＋η一1
とする。
このローテーションが、完全グラフ1㌦のトライアンギュラーローテーションであるこ とを示したい。
頂点ゴのローテーションが、次のようになっていたとする 乞．…，ゴ，海，…
ローテーションの作り方から、頂点0のローテーションは次のようになっている。
0．…，ゴー乞，た一乞，…
この頂点0のローテーションが、G、のサーキットから作られていることから（ブーのの番号 の辺と色一のの番号の辺はつながっている。また、σ，のすべての頂点の次数は3であるか ら、その2辺につながる頂点の図をかくと以下のようになっている。
㌧グ
j−i
よってG．のサーキットには、
…，（乞一鳶），んヂ・・
という部分があるはずで、頂点0のローテーションは、
0．…，ブー乞，ん一￠，… ，ゴーた，ん，…
となっていることが分かる。またこの時頂点んのローテーションは、
た．…，ゴ，ん十ん，…
となっている。ところが、性質4より、
ブー乞＝ん十（た一の
すなわち、ブ＝ん＋たであり、頂点んのローテーションは、
た．…，2，ゴ，…
となっている。ゆえにルールムを満たしているので定理4．15よりトライアンギュラーロー テーションである。
翼
上記の定理で、η…7（mod12）のとき、 K。がトライアンギュラ一己ーテーションをもつ ことが分かったわけであるが、それだけでなくこの定理はその構成方法も示している。定 理4．10の後の考察にあるようにトライアンギュラー千日テーションから埋め込み可な最小 種数の多面体Σが構成される。このとき、定理4．9の証明の中にもあるように次の式が成り
立つ。
η2＿7ηl E（Σ）＝一
（4．1）
6
これをηの2次方程式と見て解くと、
π2−7η十6E（Σ） ＝・ 0
7士 49−24E（Σ）
η ＝ 2
・は明らかに正なのでE＜2であるので・一7−4烽Q4E（Σ）は不適．よって、・とE（Σ）の間
には、
7十 49−241ヲ（Σ）
η＝＝
2
という関係がある。K。を彩色するには、最小でもη色必要であるから、定理3．11のHeawood の不等式とあわせて、これはΣの最小彩色数を与えるグラフの埋め込みになっていることが
分かる。
以下例として具体的にη＝7の場合を考える。このとき（4．1）から、E（Σ）＝0となるの で、κ7のトーラスへの埋め込みが得られるはずである。またη＝7のときη＝12×0＋7で あるからs＝0となる。よって、51ページに示されるグラフGoから1く7の頂点0のローテー ションを構成すると、
0． 1，3，2，6，4，5
となる。頂点0のローテーションから、頂点1，2，3，4，5，6，のローテーションをそれぞれ構成
して、
0． 1，3，2，6，4つ5 1． 2，4，3，0ラ5，6 2． 3，5，4，1，6，0 3． 4，6，5，2，0，1 4． 5，07673，1，2
5． 6，1，0，4ラ2，3 6． 0，2，1，5，3，4
を得る。K7の上記のローテーションから次の14個のサーキットが得られる。
103，302，206，604，405，501，436，635，214，413ラ516，612，325，524
第2章で行ったように14個の三角形をこのサーキットに示されるように貼り合わせ れば求める多面体が構成されるはずである。すなわち14個の三角形それぞれについて、境 界が上記のサーキットと対応するように各頂点に番号をつけ、辺に隣接している2つ頂点の
うち、同一番号の頂点が同一視されるように各辺を貼り合わせていく。そのように構成さ れた組み合わせ多面体は以下の図のようになっている。
4 4
↑
2
0
5
3
1
6
↑
一
4 4
図はトーラスを切り開いた形を示しており、上下の辺と左右の辺を矢印の向きにはり あわせれば元のトーラスになる。これは、K7のトーラス上への埋め込みを表わしている。
よって、トーラスの最小彩色数が7と決定された。