テーラー展開

数列 {

a

_n}n=0,1,... に対して，関数列として

n

次単項式

t

ⁿ で和を取ると，母関数

f (t) =

∑∞ n=0

a

_n

t

ⁿ

(2)

を得る．このとき，両辺を

n

階微分して，

t = 0

を代入することにより，

a

_n

= f

⁽ⁿ⁾

(0)

n! (3)

である．

逆に無限階連続微分できる関数

f(t)

に対して，係数を式

(3)

で与え和

(2)

を考 えたとき，条件が良ければ元の関数に戻ることが分かっている（テーラーの定理）．

2.2

三角級数展開

関数列として，{

e

^2πint}n∈Zを考えた場合が三角級数展開に相当する．数列{

a

_n}n∈Z

に対して，和

f (t) =

∑∞ n=−∞

a

_n

e

^2πint

(4)

を考えると母関数になる．f(t) は周期

1

の周期関数になる．区間

[0, 1)

で関数列

{

e

^2πint}n∈Z が正規直交するので，数列

a

_n は，

a

_n

=

∫ ₁

0

f (t) e

^2πint

dt =

∫ ₁

0

f (t) e

^−2πint

dt (5)

で計算できる．三角級数展開は，

Fourier

が

1807

年に熱伝導方程式を解くときに 使った方法である．周期

1

の周期関数

f (t)

に対して，係数を式

(5)

で定め，母関 数

(4)

を考えたときに，元に戻るかは，重要な問題であり，盛んに研究されてい る．

1904

年にルベーグ積分が発表されて，

L

²

([0, 1))

に入る関数なら元に戻るとい うことが分かった．ちなみに，

1845

年のリーマン積分を提案した論文のタイトル も，“ ¨

Uber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe”

（三角級数による関数の表現可能性に関して）であった．

2.3

モーメント母関数

モーメント母関数（積率母関数）については，f

(t)

のラプラス変換 L

[f ](s) =

∫ _∞

0

f (t) e

^−st

dt

の

e

^−st に

0

の周りのテーラー展開

e

^−st

=

∑∞ n=0

1

n! (

−

st)

ⁿ

=

∑∞ n=0

(

−

s)

ⁿ

n! (t)

ⁿ

を代入して，和と積分の順序を変えると，

∫ _∞

0

f (t) e

^−st

dt =

∫ _∞

0

f (t)

[ _∞

∑

n=0

(

−

s)

ⁿ

n! (t)

ⁿ

]

dt =

∑∞ n=0

[∫ _∞

0

f(t) t

ⁿ

dt

]

(

−

s)

ⁿ

n!

になり，

n

次モーメントを

(

−

s)

ⁿ

n!

で足し合わせる母関数である．この母関数を逆 ラプラス変換すれば，f

(t)

が再構成される．

3 ^{スケール変換と} Mellin ^変換

スケール変換

f

α

(t) = f (αt)

の

Mellin

変換は，

M

f

_α

(ω) =

∫ _∞

0

f(αt) t

^ω

dt

=

∫ _∞

0

f(y)

(

y

α

)ω

dy

α

= α

^−(ω+1)M

f (ω)

である．これらの式から

α

を計算するには，

α

^ω+1

=

M

f(ω)

M

f

_α

(ω) =

⇒

α =

(M

f(ω)

M

f

_α

(ω)

)1/(ω+1)

.

図

1

では，一周期分の

sin(t)

と

sin(αt), α = 0.7

．時間幅

0.2

でサンプリングし

て，

Mellin

変換を計算し，

α

を横軸

ω

で描いた推定した．

0 2 4 6 8 t 10

-1 -0.5 0 0.5 1

0 1 2 3 4 5

0.7 0.702 0.704 0.706 0.708 0.71

a = 0.7 a

w

図

1:

青：

sin(t)

一周期，赤：

sin(αt), α = 0.7

一周期．時間幅

0.2

．右：

α

の推定．

原点の位置

t = 0

が非常に重要で，ここがずれると全く歯が立たない．図

2

参照．

0 5 10 15 t 20 -1

-0.5 0 0.5 1

0 2 4 6 8 10

0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76

a = 0.7

w

0 5 10 15 t 20

-1 -0.5 0 0.5 1

0 2 4 6 8 10

0.7 0.705 0.71 0.715 0.72 0.725 0.73

a = 0.7

w a

図

2:

上：

α = 0.7

で原点がずれているとき．下：原点が一致しているとき．

4 フーリエ空間で Mellin 作用素

実空間での平行移動は，フーリエ変換すると，変調に変わる．フーリエ変換の絶 対値を取ると，変調部分は大きさ

1

なので考える必要がなくなる．そこで，フー リエ像の絶対値にたいして，Mellin 変換を考えると，実空間での平行移動の効果 を打ち消せる．

f (t)

と

f

_α

(t) = f(αt)

のフーリエ変換は，それぞれ

f(ξ) =

b

∫

R

f (t) e

^−iξt

dt f

b_α

(ξ) =

∫

R

f (αt) e

^−iξt

dt =

∫

R

f (s) e

^−iξs/α

dt α = 1

α f

b (

ξ

α

)

である．フーリエ像の絶対値の

Mellin

変換を考えよう．ただし，パラメータ

p > 0

を追加するので，Mellin 作用素である．

M b

f (p, ω) =

∫ _∞

0

b

f (ξ)

^p

ξ

^ω

dξ

M b

f

_α

(p, ω) =

∫ _∞

0

1 α f

b

(

ξ α

)^p

ξ

^ω

dξ

= 1 α

^p

∫ _∞

0

b

f (η)

^p

(αη)

^ω

α dη

= α

^ω+1−pM b

f (p, ω)

よって，α を求めると，

α

^ω+1−p

=

M b

f

_α

(p, ω)

M b

f (p, ω)

=

⇒

α =



M b

f

_α

(p, ω)

M b

f (p, ω)





1 ω + 1

−

p

.

4.1 α

の推定例と数値計算上の注意

4.1.1 信号とそのフーリエ変換

・ 信号については，図

3

左の

2

周期分の正弦波を考える．青が元の信号で，区間

[0, 2π]

内に

sin(2πt) 2

周期分を少しずらしてはめ込んで，

∆

₁

= 0.01

間隔でサン プリングした信号である．一方，赤信号は

α = 1.3

とした

sin(2παt) 2

周期分を 少しずらして区間

[0, 3π]

にはめ込んで，

∆

₂

= 0.007

間隔でサンプリングした信号 である．fft を使ってフーリエ変換するときに，奇数長と偶数長で目盛りの扱い が異なるから，奇数長データは最後に

0

の要素を加えて各データ列は偶数長にな るようにする．

・ フーリエ変換を計算するには，データの fft にサンプリング間隔をかければ，

中点則を用いた数値積分になる．ただし，

Matlab

なら fftshiftで直流成分を真 ん中にする必要がある．このとき，青信号の角周波数軸は，

• 最低角周波数：−

π/∆

₁

• 角周波数刻み：

2π/∆

1

/

青信号のデータ長

• 最高角周波数：

π/∆

₁−周波数刻み

• 角周波数軸：最低角周波数から最高角周波数までを角周波数刻みで

0 2 4 6 8 10 -1

-0.5 0 0.5

1 a = 1.3

-100 -50 0 50 100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 abs of fft

[rad]

図

3:

左：青元信号，赤：

α = 1.3

で原点がずれている信号．右：それぞれのフー リエ変換の絶対値（ただし周波数軸を

[

−

100, 100] [rad]

で切った）．

である．それぞれのフーリエ変換の絶対値を描くと図

3

右になる．

フーリエ変換の絶対値を

p

乗し，

α

を推定すると，図

4

および図

5

になる．

p = 3

以上に取ると，α

= 1.3

と推定できる．ただし，ω

= p

−

1

のところで，ゼ ロ割になり計算できない．

-1000 -50 0 50 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 p=1 power of abs of fft

[rad] ^{0 2 4 6}

1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3

a = 1.3 :p=1

w a

-1000 -50 0 50 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 p=2 power of abs of fft

[rad] ^{0 2 4 6}

1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35

a = 1.3 :p=2

w a

図

4:

左：フーリエ変換の絶対値の

p = 1, 2

乗．右：

α = 1.3

の推定（横軸

ω

）．

-1000 -50 0 50 100 0.2

0.4 0.6 0.8 1

1.2 p=3 power of abs of fft

[rad] ^{0 2 4 6}

1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35

a = 1.3 :p=3

w a

-1000 -50 0 50 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 p=4 power of abs of fft

[rad] ^{0 2 4 6}

1.297 1.298 1.299 1.3 1.301 1.302

a = 1.3 :p=4

w a

図

5:

左：フーリエ変換の絶対値の

p = 3, 4

乗．右：

α = 1.3

の推定（横軸

ω

）．

5 2 ^{次元関数に対する} Mellin ^{変換・作用素}

Mellin

変換は，

1

次元の区間

[0,

∞

)

で定義された関数に対する変換であるから，

2

次元の関数・画像に対しては，

(r, θ)

で極座標表示し，各

θ

ごとに動径

r

方向に

Mellin

変換を行う．

ここでは，

Mellin

変換を原点からの距離

t

の

ω

乗に関数値

f (t)

をかけた積分 と考えて，そのまま

2

次元に拡張した

Mellin

作用素も定義する．

5.1

画像の極座標表示を用いた

Mellin

^変換

画像の左上を原点として，図

6

左のように極座標

(r, θ)

を入れる．

θ

の範囲は

0

≤

θ

≤

90

度である．

図

7

左のバーバラさんの一部とそれを

α = 0.73

倍に縮小した中図で

θ

を

0

度 から

90

度まで，

0.5

度刻みで，

ω

を

1

から

10

まで

0.1

刻みで動かして

α

の値を 計算すると図

8

左を得る．縦方向が

θ

で上側が

0

度，下側が

90

度である．横方 向が

ω

で左端が

ω = 1，右端が ω = 10

である．カラーバーから

α

の値は，

0.71

から

0.74

の間であることが分かる．図

8

右には，左図の

α

の値の分布状態をヒ ストグラムとして表示した．

r q

r O

図

6:

左：画像の極座標表示．右：極座標表示された

(r, θ)

の位置 × に一番近い 画素 ◦ の輝度を関数値とする．

図

7:

左：バーバラさんの一部．中：それの

0.73

倍．右：縦方向

0.73

倍，横方向

0.91

倍．

つぎに，図

7

右図のバーバラさんの一部を縦方向に

α

₁

= 0.73

倍，横方向に

α

₂

= 0.91

倍した画像に対して，

α

を計算する．計算結果を図

9

に示す．

5.2 2

次元

Mellin

作用素 その

1

R² で定義された関数

f (x

1

, x

2

)

に対して，

Mellin

作用素を M

∫

2 2 ω/2

a = 0.73

1 w 10

0

45

90

0.72 0.725 0.73 0.735 0.74

q

5

図

8:

バーバラさんの一部とその

0.73

倍を

Mellin

変換する．左：

α

を角度

θ

，

ω

に対して計算した図．右：左図の

α

の分布状態．

a = 0.73, a = 0.91

0.7 0.8 0.9 0 1

45

90 q

1 5 w 10

1 2

図

9:

バーバラさんの一部とその縦

0.73

倍，横

0.91

倍を

Mellin

変換する．左：

α

を角度

θ

，

ω

に対して計算した図．右：左図の

α

の分布状態．縦方向の

α

₁

= 0.73

倍と横方向の

α

₂

= 0.91

倍が現れる．

で定義すると，スケール変換

f

_α

(x

₁

, x

₂

) = f (αx

₁

, αx

₂

)

に対しては，

M

f

_α

(ω) =

∫

R²

f (αx

₁

, αx

₂

) (x

²₁

+ x

²₂

)

^ω/2

dx

₁

dx

₂

=

∫

R²

f (y

₁

, y

₂

)

(

y

₁²

+ y

₂²

α

²

)ω/2

dy

₁

α

dy

₂

α

= α

^−(ω+2)M

f(ω)

の関係が成立する．したがって，

α

を求めると，

α

^ω+2

=

M

f(ω)

M

f

α

(ω) =

⇒

α =

( M

f (ω)

M

f

α

(ω)

)

1 ω + 2

である．この方法で，図

7

左と中のバーバラさんの一部とその

0.73

倍に対して，

α

を推定すると，図

10

であり，

1

から

15

までの

ω

に対して，

α = 0.73

で一定な ことが分かる．

0 5 10 15

0.73014 0.73016 0.73018 0.7302 0.73022 0.73024

a = 0.73

w

図

10:

バーバラさんの一部とその

0.73

倍を

Mellin

作用素を用いて

α

を計算する．

横軸

ω

に対して，ほぼ

α = 0.73

で一定であることが分かる．

5.3 2

^次元

Mellin

^{作用素 その}

2

R² で定義された関数

f (x

₁

, x

₂

)

に対して，

Mellin

作用素を M2

f (ω

₁

, ω

₂

) =

∫

R²

f(x

₁

, x

₂

)

|

x

₁|^ω1|

x

₂|^ω2

dx

₁

dx

₂

で定義する

.

スケール

α = (α

₁

, α

₂

)

∈ R+ をとり，スケール変換

f

_α

(x

₁

, x

₂

) = f (α

₁

x

₁

, α

₂

x

₂

)

に対しては，

M2

f

_α

(ω

₁

, ω

₂

) =

∫

R²

f(α

₁

x

₁

, α

₂

x

₂

)

|

x

₁|^ω1|

x

₂|^ω2

dx

₁

dx

₂

=

∫

R²

f(y

₁

, y

₂

) y

₁

α

₁ ^ω1

y

₂

α

₂

^ω2

dy

₁

α

₁

dy

₂

α

₂

= α

^−(ω₁ ¹⁺¹⁾

α

₂^−(ω2+1)M2

f (ω

1

, ω

2

)

の関係が成立する．したがって，比を

R

(ω , ω ) =

M2

f (ω

₁

, ω

₂

)

= α

^(ω1+1)

α

^(ω2+1)

とする．両辺の対数を取ると

log (

Rα

(ω

₁

, ω

₂

)) = (ω

₁

+ 1) log(α

₁

) + (ω

₂

+ 1) log(α

₂

) (6)

と

ω

₁

, ω

₂ の平面の方程式である．図

7

右のバーバラさんの一部を縦方向

0.73

倍，横 方向

0.91

倍した画像なので，

α

1

= 1/0.73 = 1.37, log(α

1

) = 0.315, α

2

= 1/0.91 = 1.10, log(α

₂

) = 0.0943

である．このとき，

log (

Rα

(ω

₁

, ω

₂

))

を描くと，図

11

であ り，平面になることがわかる．

log(R)

5 10 15

2 2

4 6 8 10 12 14

1

1 2 3 4 5 6

図

11: log (

Rα

(ω

₁

, ω

₂

))

の

3D

プロットと等高線．どちらも平面であることを示し ている．

さて，式

(6)

のパラメータ

β

₁

= log(α

₁

), β

₂

= log(α

₂

)

を最小二乗法で推定しよ う．

n

番目のデータ

ω

ⁿ

= (ω

₁ⁿ

, ω

ⁿ₂

)

に対して，二乗誤差の総和

E(β

₁

, β

₂

) =

∑

n

[β

₁

(ω

₁ⁿ

+ 1) + β

₂

(ω

ⁿ₂

+ 1)

−

log (

Rα

(ω

₁ⁿ

, ω

₂ⁿ

))]

²

(7)

に対して，停留点（

β

₁ 偏微分と

β

₂ 偏微分が同時に

0

になる点）を求める．すな わち，













∂E

∂β

1

= 2

∑

n

(ω

ⁿ₁

+ 1) [β

₁

(ω

ⁿ₁

+ 1) + β

₂

(ω

₂ⁿ

+ 1)

−

log (

Rα

(ω

₁ⁿ

, ω

₂ⁿ

))] = 0,

∂E

∂β

₂

= 2

∑

n

(ω

ⁿ₂

+ 1) [β

₁

(ω

ⁿ₁

+ 1) + β

₂

(ω

₂ⁿ

+ 1)

−

log (

Rα

(ω

₁ⁿ

, ω

₂ⁿ

))] = 0

という，

β

1

, β

2 変数の連立一次方程式を解けば良い．整頓すると，















 [∑

n

(ω

₁ⁿ

+ 1)

² ]

β

₁

+

[∑

n

(ω

ⁿ₁

+ 1)(ω

ⁿ₂

+ 1)

]

β

₂

=

∑

n

(ω

ⁿ₁

+ 1) log (

Rα

(ω

₁ⁿ

, ω

₂ⁿ

)) ,

[∑

(ω

ⁿ

+ 1)(ω

ⁿ

+ 1)

]

β +

[∑

(ω

ⁿ

+ 1)

² ]

β =

∑

(ω

ⁿ

+ 1) log (

R

(ω

ⁿ

, ω

ⁿ

)) .

これを解くと，

β =

(

0.3041 0.1027

)

⇒

α = e

^β

=

(

1.36 1.11

)

⇒

1./α =

(

0.738 0.902

)

と実際の拡大・縮小比に近い値が出る．

6 2 次元フーリエスペクトルの Mellin ^作用素

2

変数関数

f (x

₁

, x

₂

)

のフーリエ変換を

f(ξ

b ₁

, ξ

₂

) =

∫

R²

f(x

₁

, x

₂

) e

^{−i(x1ξ1+x2ξ2)}

dx

₁

dx

₂

で定義すると，スケール変換

f

_α

(x

₁

, x

₂

) = f (αx

₁

, αx

₂

)

のフーリエ変換は，

y

₁

= αx

₁

, y

₂

= αx

₁ と変数変換すると，

dy

₁

dy

₂

= α

²

dx

₁

dx

₂ なので，

f

b_α

(ξ

₁

, ξ

₂

) =

∫

R²

f(αx

₁

, αx

₂

) e

^{−i(x1ξ1+x2ξ2)}

dx

₁

dx

₂

=

∫

R²

f(y

1

, y

2

) e

^{−i(y1ξ1+y2ξ2)/α}

dy

₁

dy

₂

α

²

= 1 α

²

f

b

(

ξ

1

α , ξ

2

α

)

である．絶対値を取って， b

f (ξ

₁

, ξ

₂

)

と b

f (ξ

₁

, ξ

₂

)

の

p > 0

乗の

Mellin

作用素を 考えると，

M |

f

b|

(p, ω) =

∫

R²

b

f (ξ

₁

, ξ

₂

)

^p

(ξ

₁²

+ ξ

₂²

)

^ω/2

dξ

₁

dξ

₂ M |

f

bα|

(p, ω) =

∫

R²

b

f

α

(ξ

1

, ξ

2

)

^p

(ξ

₁²

+ ξ

₂²

)

^ω/2

dξ

1

dξ

2

=

∫

R²

1 α

²

f

b

(

ξ

₁

α , ξ

₂

α

)^p

(ξ

²₁

+ ξ

₂²

)

^ω/2

dξ

₁

dξ

₂

=

∫

R²

1 α

^2p

b

f (η

1

, η

2

)

^p (

α

²

η

²₁

+ α

²

η

₁²)ω/2

α

²

dη

1

dη

2

= α

^ω+2−2pM |

f

b|

(p, ω)

ただし，η₁

= ξ

₁

/α, η

₂

= ξ

₂

/α, dη

₁

dη

₂

= dξ

₁

dξ

₂

/α

² とおき変えた．従って，α を 求めるためには，M |

f

b|

(p, ω)

とM |

f

b_α|

(p, ω)

の商を取って，

α

^ω+2−2p

=

M |

f

b_α|

(p, ω)

M |

f

b|

(p, ω) =

⇒

α =

(M |

f

b_α|

(p, ω)

M |

f

b|

(p, ω)

)

1

ω + 2

−

2p

ドキュメント内 u—ߘa1”N ƒEƒF[ƒuƒŒƒbƒg—˜_‚ƍHŠw‚ւ̉ž—pv”­•\Œ´eƒV[ƒg‚Ȃǁi2020/2/7”Łj (ページ 66-78)