さて，世の中の収束する数列の中には，単調列でないものもたくさんある．そのようなものが本当に収束するか を判断するには，前節の単調列の定理だけでは足りない．そもそも，ある数列が収束する事の必要十分条件は何な のだろう？この答えは以下の「コーシー列」で与えられる（コーシー偉い！）
定義 3.4.1 (コーシー列) 数列an が以下の性質を満たすとき，これを コーシー列（Cauchy sequence）という．
任意の（小さい）² >0に対し，（十分大きな）整数N(²)がとれて，
すべてのm, n≥N(²)に対して ¯¯am−an¯¯< ² とできる． (3.4.1)
（注）この定義そのものがなかなか理解しにくいようだ．「次の数列がコーシー列かどうか判定せよ」というような，
定義そのものを訊く問題でさえ，テストになると珍解答が続出するので要注意である．
n ε2
ε1
N(ε1) N(ε2)
すぐには呑み込めないかもしれないが，この定義と次の定理の意味を各自で良く理解してほしい．収束先がわか らないような数列を考えるのだから，収束先とanの差を計算する事はできない．それでも，anとamの差（のm, n が無限大になった極限）を見れば収束するかどうかが判定できる，というのである．これは実用上，非常に重要だ．
定理 3.4.2 (コーシーの収束条件；教科書の定理11，非常に大事) 数列anが（何かの値に）収束することと，
anがコーシー列であることは同値である．つまり，数列が収束することの必要十分条件は，その数列がコー シー列であることだ．
コーシー列の応用（重要性）
今までにも強調した通り，ある数列が「収束する」ことと「コーシー列である」ことは同値だ．だから，「コーシー 列」であるかどうかは，収束するかどうかの 最強の判定条件 といえる．実際，ある数列が収束するかどうかの判定 のほとんどはコーシー列かどうかで行うと言ってもよい．（有界単調列かどうかの判定の方が簡単だが，世の中それ ほど甘くはなく，問題の数列が単調である事はそんなにない．前節でやったlim supとlim infが役に立つ事はかな りある．）
29教科書の2.4節に相当．ぼんやり聞いているとコーシー列の概念はなかなかわからないだろう．²-δに次ぐこの科目の鬼門だから，心する ように．教科書もちゃんと読むこと
問 3.4.3 「コーシー列」の定義を理解する問題．以下の数列はすべて収束する数列であるから定理3.4.2によれば、
コーシー列のはずである．そこで，コーシー列の定義に従って，以下の数列のそれぞれがコーシー列であることを 示せ．特に，N(²)をどのようにとれば十分か，できるだけギリギリの評価を与えよ．
an:= 1
n bn:= 1
n2 cn:= (−1)n
n dn:= (−1)n
√n
問 3.4.4 「コーシー列」または「有界単調列」の考えを用いて，次の数列{an},{bn},{cn}が収束する事を証明せ よ（αは正の定数）．また，cnの極限値を求めよ．
an:=−logn+
∑n k=1
1
k bn:=
∑n k=1
(−1)k−1 k c1:= 1, n≥1 では cn+1:= 1
2 (
cn+ α cn
)
正直，cnはそこそこ難しいと思うが，ともかくan, bnはできるようになろう．
問 3.4.5 以下の（例）のそれぞれが収束する事を実際に証明せよ．(3.2.4)の例にも挑戦してみよう．コツがわかれ
ば，そんなに難しいものではないですよ．
（例）コーシー列の考えを使うと収束が証明できるものの典型例（コーシー列を使わなければ証明できないとい う訳ではないが）を挙げておこう．
• 既に言ったけど，exのテイラー展開ex=
∑∞ n=0
xn
n! は30すべての実数xで収束する．x >0なら有界単調列の 性質を用いても証明できるが，コーシー列になっていることを確かめた方がすべてのxができて簡単だ．と はいえ，実際にコーシー列になっていることを示すには，ある程度の計算力が必要だ．腕に覚えのある人は挑 戦してみるとよい．
• sinx=x−x3!3 +x5!5 −x7!7 +· · · もすべての実数xで収束する．この場合もコーシー列になっていることを確 かめるのが簡単だろう．
• 0< r <1を定数とする．数列{an}が，|an+2−an+1| ≤r|an+1−an|（n= 1,2,3, ...）を満たすとき，この 数列はコーシー列であって，従って収束する．（この例をより一般の空間に拡張したものは「縮小写像の原理」
とよばれ，関数解析の強力な手法の一つになっている．）
収束列ならコーシー列，の証明
これは簡単だ．数列an の収束先をαと書くと，収束の定義から，勝手な（小さな）² >0に対してN(²)をとっ て，全てのn > N(²)では|an−α|< ²/2 とできる．つまり，m, n > N(²/2)では
|am−α|< ²
2, |an−α|< ²
2 (3.4.2)
となっている訳だ．でも三角不等式から，このようなm, nでは
|am−an|=¯¯(am−α) + (α−an)¯¯≤ |am−α|+|α−an|< ² 2+ ²
2 =² (3.4.3)
が成り立つ．これはコーシー列の条件(3.4.1)が成り立っていることを意味する．
30この段階では，これがなぜexかは理解していないことになっている．だから，左辺のexは単なる記号だと思ってください
コーシー列なら収束列，の証明
こちらの証明が大変だ．実数の連続性，上極限・下極限を延々とやってきたのは，この証明をやりたかったから である．証明の概略を述べるが，上極限，下極限がうまく使われているところを噛み締めて欲しい．
１．まず，コーシー列は有界な数列である．これは簡単だから，各自で証明すべし．
２．有界な数列は有限の上極限，下極限をもつ（定理3.3.2）から，これを β:= lim inf
n→∞ an, γ:= lim sup
n→∞ an (3.4.4)
と書こう．もちろん，β ≤γである．以下では記号を簡単にするため，(3.3.2)で定義された数列も考える，つまり，
bN := inf
m≥Nam,cN := sup
n≥N
an．
３．定理3.3.2によれば，β =γ を言えば十分であるから，これを目指そう．そのために{an}がコーシー列であ
るとの条件を使う．コーシー列だから，
∀² >0, ∃N (
`, m≥N =⇒ |a`−am|< ² )
(3.4.5) が成り立っているが，最後の絶対値を外した
∀² >0, ∃N (
`, m≥N =⇒ a`−am< ² )
(3.4.6) も当然なりたつ．
４．最後の不等式の両辺でN, mを固定したまま`≥N に関するsupをとると，sup
`≥N
a`=cN であるから，
∀² >0, ∃N (
m≥N =⇒ cN−am≤² )
(3.4.7) が得られる．
４0．今度はここでm≥Nに関するinfをとってみると inf
m≥Na`=bN であるから，
∀² >0, ∃N cN −bN ≤² (3.4.8)
が得られる．
５．さて，常にcn ≥bnであることは何回も注意した．また，{bn}は広義の単調増加，{cn}は広義の単調減少 であるから，{cn−bn}は広義の単調減少である．従ってあるNにてcN −bN ≤²であれば，すべてのn≥N で もcn−bn≤²である．つまり，(3.4.8)から
∀² >0, ∃N (
n≥N =⇒ |cn−bn| ≤² )
(3.4.9) が結論できる．これは lim
n→∞(cn−bn) = 0 を²-Nで書いたものに他ならず，β=γが結論できる．
最後に，これまでの数列の収束（n→ ∞）に関する収束条件を，関数の収束x→aに書き直した定理を挙げて おこう．
定理 3.4.6 (コーシーの収束条件；教科書の定理11，非常に大事) lim
x→af(x)が存在するための必要充分条件は，
f(x)が以下のコーシーの条件を満たす事である：
(C) 任意の² >0に対してδ(²)>0がとれて，0<|x−a|< δ(²)かつ0<|y−a|< δ(²)なる 任意のx, yに対して|f(x)−f(y)|< ² が成り立つ
証明：
xlim→af(x)が存在するならばコーシーの条件が成り立つのは，数列の場合の定理3.4.2の証明と同様にできるから，
略（各人でちゃんと確かめる事！）．
コーシーの条件(C)が成り立っておれば lim
x→af(x)が存在することの証明をこれから行おう．そのために，以前に 簡単に触れた定理2.3.1を用いる．定理2.3.1によると，lim
x→af(x) =bということは，
an6=aかつ lim
n→∞an =aであるすべての数列{an}について lim
n→∞f(an) =bである と同値であった．そこで，上が成り立っている事を証明しよう．
さて，コーシーの条件(C)は，an6=aかつ lim
n→∞an=aである数列{an}をもってくると，数列{f(an)}がコー シー列になっている事を保証する．よって，lim
n→∞f(an)は存在する．
ところがこれで終わりではない．上では数列{an}を決める毎に lim
n→∞f(an)が存在することが保証されたけども，
この極限が{an}の取り方に依らないことも証明しなければ，定理 2.3.1をつかうわけに行かないからだ．しかし，
極限が{an}の取り方に依らないことは，またもやコーシーの条件(C)から簡単に証明できる．（例えば，極限が２ つ以上あったとして，これが(C) に矛盾する事を示せば良い．）
4 連続関数
さて，実数の連続性やコーシー列をやったので，連続関数をちゃんと扱えるようになった．まずは高校でもやっ たはずの定義を思い出そう．