より，rankUc= 4である．(10.5)の次元4と一致したので，制御モデル(10.5)は 可制御である．
10.3 ゲイン調整
10.3.1 固有値設定によるゲイン調整
可制御なので，状態フィードバックによって固有値が設定可能である．
実習10.2 Code 17を実行せよ．固有値s=−1,−2,−1±2iを実現するゲインK が求まり，そのときの制御モデルの挙動が求まる．最後にゲインの値が保存される．
実習10.3 Code 16のKK=[0,0,0,0];の行を，
load invpGain.dat; KK=KKp;
に修正して実行せよ(先にCode 17を実行しておかないとエラーとなる)．実習10.2 で求めたゲインで倒立振子(10.2)p75が動作する．
実習10.4 Code 16のforからendforまでの内容を，
plot(tt,xx,[";x1(t);";";x2(t);";";x3(t);";";x4(t);"]);
xlabel("Time");drawnow;
に書き換えて実行せよ．倒立振子(10.2)p75の時間応答が，次のように求まる．
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Time x1(t) x2(t) x3(t) x4(t)
10.3.2 最適レギュレータによるゲイン調整
倒立振子(10.2)p75を線形化した制御モデル(10.5)p76を使うと，最適レギュレー タも計算できる．
実習10.5 Code 18を実行せよ．重みQ= diag{10,3,7,3},R= 2に対するLQR ゲインKが求まり，そのときの制御モデルの挙動が求まる．最後にゲインの値が保存 される．
78 10 棒立て制御への応用
実習10.6 Code 16のKK=[0,0,0,0];の行を，
load invpLQR.dat; KK=KKopt;
に修正して実行せよ(先にCode 18を実行しておかないとエラーとなる)．実習10.5 で求めたゲインで倒立振子(10.2)p75が動作する．
実習10.7 Code 16のforからendforまでの内容を，
plot(tt,xx,[";x1(t);";";x2(t);";";x3(t);";";x4(t);"]);
xlabel("Time");drawnow;
に書き換えて実行せよ．倒立振子(10.2)p75の時間応答が，次のように求まる．
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 1 2 3 4 5 6 7
Time x1(t) x2(t) x3(t) x4(t)
10.3. ゲイン調整 79
♣ 10 章の補足
A10 (10.1)
p74の導出ラグランジュ形式の解析力学による導出方法を概要だけ示す．詳細は，例えば拙著 [8]の12章を見よ．
機構の位置と姿勢を表すのに最小限必要な変数を一般化座標という．この倒立振子
では(x, θ)とする．一般化座標(x, θ)で，倒立振子の全運動エネルギーT と，全ポ
テンシャルエネルギーU を書き下すと，それぞれ，
8>
><
>>
:
T =M+m
2 x˙2+mlx˙θ˙cosθ+ml2 2
θ˙2
U =M g G+mg(lcosθ+S) (G, Sは台車の重心と支点の高さ)
(10.6)
となる．その差L=T−U を，次の公式(オイラー・ラグランジュ方程式)，
d dt
„∂ L
∂q˙
«
−∂ L
∂q =Fq (q=x, θ) (10.7)
に代入すると，(10.1) p74が導出される．Fxはx方向の外力，Fθはθ 方向の外力
(トルク)を表す．
必要な偏微分を計算していくと，
∂ L
∂x˙ = (M+m) ˙x+mlθ˙cosθ, d dt
∂ L
∂x˙ = (M+m)¨x+mlθ¨cosθ−mlθ˙2sinθ,
∂ L
∂x = 0, ∂ L
∂θ˙ =mlx˙cosθ+ml2θ,˙ d dt
∂ L
∂θ˙ =ml2θ¨+ml¨xcosθ−mlx˙θ˙sinθ,
∂ L
∂θ =−mlx˙θ˙sinθ+mglsinθ となる．これらを(10.7)に代入して下線部の相殺を整理すると，
8>
>>
>>
><
>>
>>
>>
:
x方向：(M+m)¨x+ (mlcosθ)¨θ−mlθ˙2sinθ=F ※x方向の外力 θ 方向：(mlcosθ)¨x+ (ml2)¨θ−mlgsinθ= 0 ※θ方向の外力=0
=⇒ cosθx¨+lθ¨−gsinθ= 0
(10.8)
となる．これをベクトルで表したのが(10.1)p74である．
11
演習 1 — Octave 入門 (60 分 )
制御工学の研究者がよく用いる科学技術ソフトを使ってみよう．高機能版の関数電 卓と思えば大したことはない．気楽に楽しんでほしい．
なお，本章を終えた人はすぐに次章に進むこと．次章は分量が多い！
11.1 演習の進め方 ( グループワーク )
決して単独で進めないこと．2名以上のグループで取り組み，分からないことがあれ ば，まずグループで解決せよ．それでも分からなければ，周辺のグループと共同で解決 せよ．分かる学生がクラスに1人も居なければ，代表者を立てて教員に相談せよ．