局所アンサンブル変換カルマンフィルタ

実際には計算機資源に限界があるためアンサンブルメンバー数にも限りがある.

そのため,数少ないアンサンブルメンバーで誤差共分散行列を精度よく再現するこ とが重要である.アンサンブルメンバーが少ないとサンプリングエラーが大きくな るため,離れた点同士の相関では共分散が大きくなり,また,同じ点同士の相関では 分散が必要以上に小さく見積もられてしまい,誤差共分散行列を精度よく再現する ことができないことが知られている(Houtekamer and Mitchell 1998, Hamill and Snyder 2000).

により考案された. LETKFはLEKFと根本的には同じ原理であるが, 主成分解析 を行わないためさらに効率が良くなっている. Harlim and Hunt (2005)によると,

LETKFとLEKFをいくつかのモデルに適応して比較実験を行ったところ, データ

同化性能にほとんど違いがないことが確かめられている.

LETKFではP^f の主成分解析を行わず, アンサンブル摂動E[N ×m]を直接用

いて, m個のアンサンブルメンバーが張るm次元空間内で解析を行う.

まず,状態の時間発展は初期アンサンブルメンバーx^a(1)_i−1,· · ·,x^a(m)_i−1 と非線形モデ ルM を用いて,

x^f_i = M^³x^a(1)_i−1,· · ·,x^a(m)_i−1 ^´

= Mx^a_i−1 (114)

で与えられる. ここで, x^f_i,x^a_i−1はN ×mの行列である.

物理空間での予報誤差共分散行列P^f[N ×N]は, P^f = E^f³E^f´>

= E^fI^³E^f´> (115)

で与えられる. また, m次元空間内での予報誤差共分散行列P˜^f[m×m]を,

P˜^f =I (116)

とすれば, 式(115)は, P˜^f を用いて,

P^f = E^fP˜^f³E^f´> (117) と書き表せる. 同様にして, 物理空間での解析誤差共分散行列P^a[N ×N]は,

P^a =E^fP˜^a³E^f´> (118) と表せる. ここで, 式(102)に式(111)を代入すると, ,

P^a = (I−KH)P^f

=

Ã

I−E^f

·

I+^³HE^f´>R⁻¹HE^f

¸₋₁³

HE^f´>R⁻¹H

!

E^f³E^f´>

= E^{f ³}E^f´>−E^f

·

I+^³HE^f´>R⁻¹HE^f

¸₋₁³

HE^f´>R⁻¹HE^f³E^f´>

= E^{f ³}E^f´>−E^f

·

I+^³HE^f´>R⁻¹HE^f

¸₋₁µ·

I+^³HE^f´>R⁻¹HE^f

¸

−I^{¶ ³}E^f´

= E^f

·

I+^³HE^f´>R⁻¹HE^f

¸₋₁³

E^f´> (119)

m次元空間内での解析誤差共分散行列P˜^a[m×m]は, P˜^a =

·

I+^³HE^f´>R⁻¹HE^f

¸₋₁

(120) と求められる.

解析値x¯^a_i [N ×m]を求めるプロセスは,

x¯^a_i = ¯x^f_i +K_i^³y⁰−Hx¯^f_i^´ (121) である.ここでは,線形観測演算子Hのかわりにもともとの非線形の観測演算子H を使うことができる.さらに, この式に(111)を代入して,

x¯^a_i = ¯x^f_i +E^f

·

I+^³HE^f´>R⁻¹HE^f

¸₋₁³

HE^f´>R^−1³y⁰−Hx¯^f_i^´

= ¯x^f_i +E^fP˜^a³HE^f´>R^−1³y⁰−Hx¯^f_i^´ (122) このように変形することで, カルマンゲイン行列を直接求めずとも解析値を求める ができる.

次の初期摂動を作り出すアンサンブルアップデートは, P^a_i = E^a_i (E^a)^>

= E^f_iP˜^a_i ^³E^f´>

E^a = E^f_iP˜^a_i¹² (123)

となり, 新しい初期摂動はP˜^a_i の平方根で与えられる.P˜^a_i の平方根は一意ではない が, P˜^a_i¹² が対称になるように選ぶ. ここではP˜^a−1を固有値分解することによって P˜^a_i

1

2 が対称行列になるようにする.

P˜^a−1 = I+^³HE^f´>R⁻¹HE^f

= VΛV^> (124)

P˜^a = VΛ⁻¹V^> (125)

(P˜^a)¹² = VΛ⁻¹²V^> (126) このように固有値分解を行うことで, アンサンブルアップデートのプロセスは,

E^a = E^f_iP˜^a_i¹²

= E^f_iVΛ⁻¹²V^> (127)

で与えられる.

以上より,解析値および初期摂動が求まったので, これをもとに次のアンサンブ ルメンバーx^a_i [N ×m]は,

x^a_i = ¯x^a_i +√

m−1E^a (128)

で与えられ,これを初期値として新たな予報を行う.

アンサンブルアップデートで与えられた初期摂動はm−1次元の空間を張るこ とができる. 一方で, breeding法やSV法で与えられる初期摂動は 1

2(m−1)の次 元しか張ることができず, アンサンブルアップデートで与えられた初期摂動の方が 優位であると言える.