アローの定理を用いたギバード・サタースウェイトの定理の証明

32aにおいてもcにおいてもすべての個人がyよりxを好み（xP_i^ay，xP_i^cy），cにおいてyはx以外のどの 選択肢よりも好まれているのでx^，y^以外のz^{について『}yPi^az^ならばyPi^cz^{』が成り立っている。}

33cにおいてxは，すべての個人によって他のどの選択肢よりも好まれている。したがってbにおいてxが選 ばれるならばcにおいても選ばれなければならない。

まず準備として，(8.1)を満たす個人の選好のある組み合わせaをもとにして，選択肢をA⁰ に限定した別の選好γ_xy(R^a_i)を作ってみる。A⁰に属する（以下同様）適当な2つの選択肢x， yをとり両者の関係を保ちながらこの2つを各個人の選好の最上位に移し，それ以外の選択肢 は互いの順序を変えないでx，yより下に移す³⁴。そのようにしてR^a_i から作った各個人の選 好の組み合わせを

Γ_xy(a) ={γ_xy(R^a₁)^，γ_xy(R^a₂)^，· · ·^，γ_xy(R^a_n)}

のように表す。このような選好は架空のものであるが，あらゆる選好の組み合わせを許すと いう前提によって実際の選好となる可能性がある。

こうして作った選好の組み合わせΓ_xy(a)に基づいて社会的選択関数によってx^{が選ばれる}

（x=C(Γ_xy(a))と表す）ときにはxP^ayであり，yが選ばれるとき（y=C(Γ_xy(a))）には yP^axであるというようにして社会的な選好P^aを定義する。選択肢をA⁰の範囲に限定して いるのでパレート原理によってx，yのいずれかが選ばれる。

同様にx，zを各自の選好の最上位に移して新しい選好の組み合わせΓ_xz(a)を作り，x= C(Γ_xz(a))^のときxP^azなどと定義する。同じようにしてすべての選択肢の組み合わせ，例え ばu^，v^についてΓ_uv(a)^を作りv=C(Γ_uv(a))^のときvP^au^{などと定義して}P^{aを構成する。}

また同一の選択肢同士は社会的に無差別，例えばxI^axであるとし，P^aとI^aを合わせてR^a で表す。R^aは各個人の選好R^a_i から以上のような手順によって導かれた社会的選好である。

a以外の選好の組み合わせ，例えばbについても同じようにしてΓ_xy(b)などを作り，社会 的選好R^bを導き出すことができる。

このようにして作った社会的選好（R^aで代表させる）について次の結果を得る。

ステップ 1. R^aはアローの一般可能性定理における条件I（無関係な選択対象からの独立性）

を満たす。

証明. もしそうでないとすると，『A⁰に属するある2つのx，yについて，人々の選好がR_i^a からR^b_i に変わったときxとyに関する選好（各個人がxとyのどちらを好むか）は変わら ないのに社会的にはxP^ayからyP^bxに変わってしまう』ということが起きる可能性がある。

そのように仮定しよう。

社会的選好P^{aの定義から}x=C(Γ_xy(a))^，y =C(Γ_xy(b))である。選好の組み合わせa^，b においてx^，yを最上位に移すことによって作った新しい選好の組み合わせΓ_xy(a)^とΓ_xy(b) について，全員がγ_xy(R^a_i)の選好を持っているような選好の組み合わせをa⁰で表し，個人1 から順に1人づつ選好がγ_xy(R^b_i)に変わって行くものとする。k人の選好がγ_xy(R^b_i)に変わっ たときの選好の組み合わせをa^kで表す。Γ_xy(a)，Γ_xy(b)のいずれにおいてもxとyが各個 人の選好の最上位に位置しているので，パレート原理からすべてのa^kについて社会的選択関 数によって選ばれる選択肢（これをC(a^k)^{で表す）は}x^かy^{のいずれかである。}xP^ay^およ びyP^bx^{であることから}C(a⁰) = x^，C(aⁿ) = y^なのでC(a^k) = y^{となる最小の}k^があり，

それをk^∗とする。そのときC(a^k∗−1) =x，C(a^k∗) =yである。a^k∗−1とa^k∗とでは個人k^∗ の選好が異なるだけであり，その個人k^∗の選好R_k^a∗とR^b_k∗においてxとyに関する選好は 同じであるから，x，yを最上位に移して作ったγ_xy(R^a_k∗)とγ_xy(R^a_k∗)においてもxとyに関 する選好は同じである。よって単調性によってC(a^k∗−1) =xならばC(a^k∗) =xでなければ ならない。したがって最初の仮定が間違っていたことになり条件I^{が満たされる。}

34例えばある個人の選好において(w，x，z，y)の順であれば(x，y，w，z)と変え，(z，y，x，w)の順であれ ば(y^，x^，z^，w)と変えることを意味する。

次に

ステップ 2. R^aはアローの一般可能性定理における条件P（パレート原理）を満たす。

証明. A^{0に属する}2^{つの選択肢}x^，yに関して，すべての個人についてxP_i^ay^{であるのに}yR^ax であるとすると，x^とy^{は異なるので}yP^ax^すなわちy=C(Γ_xy(a))であることになる。しか しこのことは，xがA⁰に属しx以外のあらゆる選択肢yについてすべての人にとってxP_i^ay ならばxが選ばれるというパレート原理に反する。したがって条件Pが満たされる。

さらに

ステップ 3. R^aは完全合理性（完備性，反射性，推移性）を満たす。

証明. 社会的選択関数が常に1つの選択肢だけを選び出す限りR^aはあらゆるx，yについて 比較可能であるから完備性が成り立つ。また反射性はxI^axによって満たされている。そこで 推移性を示す。

A^{0に属する互いに異なる}3^{つの選択肢}x^，y^，z^をとりxP^ay^，yP^az^であるがxP^az^ではな い，すなわちzP^axであると仮定してみよう。そのときP^aの定義によってx=C(Γ_xy(a))， y =C(Γ_yz(a))，z=C(Γ_xz(a))である。ここで人々のもとの選好R^a_i においてx，y，zの3つを 相互間の関係を保ったまま最上位に移して別の選好を作る。各個人の新しい選好をγ_xyz(R^a_i)， 新しい選好の組み合わせをΓ_xyz(a)と表す。パレート原理によってC(Γ_xyz(a))はx，y，zの いずれかであるがx=C(Γ_xyz(a))であるとしてみよう。こうして作った各自の選好γ_xyz(R^a_i) においてx^，z^{の位置関係を変えず，}y^を3番目に持って行ってさらに新たな選好を作りそれ をR^b_iで表す。z=C(Γ_xz(a))であり，上で作った社会的選好R^aは条件Iを満たすことから xとzの社会的選好関係にyの存在は関係しないのでz=C(b)でなければならない（bは全 員の選好がR^b_i であるような選好の組み合わせである）。すなわち最後に作った選好R_i^bをも とにした社会的選択関数はzを選ぶ。

全員の選好がγ_xyz(R^a_i)である状態（選好の組み合わせ）から始めて，個人1^{から順にその} 選好がR^b_iに変わって行くものと考え，k^{人の選好が}R^b_i^{に変わった状態を}a^{kと表す。}a^0は全 員の選好がγ_xyz(R^a_i)である状態を，aⁿは全員の選好がR^b_i になった状態を表す。C(a⁰) =x， C(aⁿ) = zであるが，C(a⁰) 6= xとなる最小のkをk^∗とすると，C(a^k∗)はyかzのいず れかである。C(a^k∗) = zであるとすると，個人k^∗のΓ_xyz(a)における選好γ_xyz(R^a_k∗)とb における選好R^b_k∗とはxとzについて一致するのにC(a^k∗−1) = x 6=z=C(a^k∗)となり単 調性に反する³⁵。一方，C(a^k∗) =y^{であれば，}k=k^{∗のとき個人}k^∗がy =C(a^k∗)^よりも x = C(a^k∗−1)^{を好むことになり（}C(a^k∗−1)R^b_k∗C(a^k∗)^{）36，本当の選好が}R^b_k∗であるとき にγ_xyz(R^a_k∗)に基づいて意志表明した方が有利となるから戦略的に操作可能となってしまう。

したがってzP^axではなくxP^azとなり推移性が成り立つ。

以上によってR^aはアローの一般可能性定理の条件をすべて満たすことがわかるので独裁者 が存在する。個人iがR^aの独裁者であるとすると

A⁰に属するすべてのx, yについて xP_i^ay であれば xP^ay である (8.2) が成り立つ。つまりA⁰に属する選択肢について個人iの選好がそのまま社会的選好となる。

次に

35k=k^∗−1^{のときの個人}k^{∗の選好は}γxyz(R^ak^∗)^であり，k=k^{∗のときの選好は}R^bk^∗である。

36R^bk^∗においてy^はx^，z^に次いで3^{番目に置かれている。}

ステップ 4. R^aの独裁者は社会的選択関数の独裁者である。

証明. 個人iが独裁者であるということは

人々の選好の組み合わせがa^{であるとき，}A^{0に属するすべての}x^{について，}

そのxが社会的選択関数によって選ばれる選択肢ではない（x6=C(a)）

ならばC(a)P_i^ax である (8.3)

言い換えれば，社会的選択関数によって選ばれる選択肢C(a)は個人iにとってA⁰に属する 選択肢の中で最良のものである。

さて，R^{aの独裁者である個人}iが社会的選択関数の独裁者ではないとしてみよう。という ことは(8.3)によって

A^{0に属するある}x^{について，}x6=C(a)^{であって，}

かつxP_i^aC(a)である (8.4)

ようなものがあるということを意味する。そのように仮定してみる。C(a)^をy^{で表せば，個} 人iはR^aの独裁者であるから，(8.2)よりx = C(Γ_xy(a))である³⁷。ここで全員の選好が γ_xy(R^a_i)である状態から始めて，個人1から順にもとの選好R^a_i に変わって行くものと考え る。a^kでk人の選好がR^a_i に変わった状態を表すとすると，C(a⁰) =x，C(aⁿ) =yである。

C(a^k)6=xとなる最小のkをk^∗で表すと，個人k^∗のaにおける選好R^a_k∗とΓ_xy(a)におけ る選好γ_xy(R^a_k∗)^とはx^とy^{について一致するのに}C(a^k∗−1) =x6=y=C(a^k∗)^{となり単調} 性に反する。したがって(8.4)が表すようなことはありえずR^aの独裁者は社会的選択関数の 独裁者である。

以上で選択肢に関する人々の選好において無差別関係がない場合に定理が成り立つことが 示された。最後にそのような選好に限られた場合の独裁者が無差別関係を含む一般的な選好 についても独裁者であることを示す。

ステップ 5. 無差別関係がない選好に限られた場合の独裁者は無差別関係を含む一般的な選 好についても独裁者である。

証明. 無差別関係を許すような一般的な選好の組み合わせをaとする，また無差別関係を含 まない選好の組み合わせを1つとりそれをbとする。無差別関係がない場合の独裁者を個人i としてa^をもとにbを次のように構成する。選好の組み合わせa^{において，個人}i^にとって A^{0の中で最良の選択肢を}yとし（複数あればその各々について）³⁸，それ以外の選択肢（A⁰ に属するものもそうでないものも）をzとしたとき，

個人i^はz^よりy^を好み（yP_i^bz^），i^{以外の人々（}j^{で代表させる）は}

yよりzを好む（zP_j^by） (8.5)

37Γxy(a)は各個人の選好R^a_i においてx，y(=C(a))が互いの順序を変えずに最上位になるようにして作った 選好γxy(R^ai)^{の組み合わせであり}x=C(Γxy(a))^ならばxP^ay^{と定義した。}

38個人iにとってyが最良であるとは他のすべての（A⁰の中の）選択肢wに対してyR^aiwであることである。

yPi^awとまでは求めない。したがって複数あるかもしれない。

を満たすような形で無差別関係を含まない選好の組み合わせb^{を構成する39。今}b^{において社} 会的選択関数によって選ばれるC(b)はaにおいて個人iにとって最良のものではないと仮定 してみる。(8.5)によってbにおいて個人iは上で定義したyをC(b)より好む（yP_i^bC(b)）。

個人iはbにおいて独裁者であるから，C(b)でないすべての選択肢xについてC(b)P_i^bxが成 り立つ。しかしこれはyP_i^bC(b)と矛盾する。したがって，C(b)はaにおいて個人iにとって 最良のもの，すなわちy^の1つでなければならない。

ここで全員の選好がR^a_i である状態から始めて，個人1^{から順に選好が}R^b_i ^{に変わって行く} と考え，k人の選好がR_i^bに変わった状態をa^kで表す。C(a⁰) =C(a)，C(aⁿ) =C(b)であ る。もし個人iが一般的な選好について独裁者でないとするとC(a)が個人iにとって最良で ないということがあり得る。そう仮定してみよう。すると，上で見たようにC(b)はaにおい て個人iにとって最良のものであるから，C(a^k)がaにおいて個人iにとって最良のものとな るような最小のk^{がある。それを}k^{∗とする。}C(a^k∗−1)^はa^{において個人}i^{にとって最良では} なく，C(a^k∗)^{は最良である。}k^∗がi^であればC(a^k∗)P_i^aC(a^k∗−1)^{となり，個人}i^{は本当の選} 好がR_i^aであるときにR^b_iに基づいて意志表明した方がよりよい結果を得られることになって しまう⁴⁰。k^∗がiでなければ，(8.5)によって個人k^∗は選好の組み合わせbにおいてC(a^k∗) よりC(a^k∗−1)を好む⁴¹。そうすると個人k^∗はk=k^∗のときに本当の選好R^b_k∗を偽ってR^a_k∗

に基づいて意志表明した方がよりよい結果を得られることになってしまう。いずれにしても 戦略的に操作可能となるので個人iは一般的な選好においても独裁者である。

以上でギバード・サタースウェイトの定理の証明が終わった。