アルゴリズム

(c)w∈F2に対し, Γ_τ◦σ−1(w) = (σ⁻¹(cτ)^・c_σ−1)^∗w

= (σ⁻¹(cτ)^・σ⁻¹(c⁻_σ¹))^∗w

= (σ⁻¹(cτc⁻_σ¹))^∗w

= (σ⁻¹(cτc⁻_σ¹))^−1・w^・σ⁻¹(cτc⁻_σ¹)

=σ⁻¹((cτc⁻_σ¹)^−1・σ(w)^・cτc⁻_σ¹)

=σ⁻¹◦(cτ・c⁻_σ¹)^∗◦σ(w)

命題 5.3.8. X^{∗をセル枚数}d^のextended-origami^{が定める曲面とする}. ^{二重被覆面}π : ˜X→X^∗ とF2> H ∼=π1( ˜X)^に対し, [Aff⁺(H) : Aff^Sym_H (H)]≤2d^{が成り立つ}.

証明. ^{商群の包含関係}(⋆) Aff⁺(H)/Aff^Sym_F2 (H)>Aff^Sym_H (H)/Aff^Sym_F2 (H)^{について考える}. ここで対応ψ: Aff⁺(H)/Aff^Sym_F2 (H) → F2 : [σ]7→ cσはwell-defined^であり, ^{これは補題}5.3.7 よりψ([τ][σ]⁻¹) = σ(ψ([τ])ψ([σ])⁻¹) をみたすから単射写像を定める. ^相異なる2d+ 1^個の元 [σ0],[σ1], ...,[σ2d]∈ Aff⁺(H)/Aff^Sym_F2 (H)^{を取ったとき}, ^そのψ^の像cσ0, ..., cσ2d はF2の相異な る2d+ 1個の元であるからこのうち適当なcσj, cσk を選べばH^{を法として一致する}.

このとき補題5.3.7^よりΓ_σk◦σ−1

j =σ_j⁻¹◦(cσk・c⁻_σj¹)^∗◦σjであり,σj ∈Aff⁺(H)^とcσk・c⁻_σj¹∈H によりΓ_σk◦σ−1

j (H) =H^{が成り立つ}. ^とくに(⋆)^{の指数が高々}2dとなるから結果がしたがう.

この結果と注意5.3.6^{により次の系を得る}.

系 5.3.9. Aff⁺_π(H)^はAff⁺(H)の有限指数部分群であって主張5.3.4^{は成り立つ}. ^とくにΓ(X^∗) は PSL2(Z) の有限指数部分群であって, ^一般に extended-origami ^{に対してその} Teichm¨uller curve^がBelyi曲面であるものとして存在する.

c∈K^よりπ(c^∗w₁^′) =π(c^∗w₁^′)^であり,π(c^∗₂σ(w1)) =π(c^∗₂σ(w2))^{が成り立つ}. ^とくにc^∗₁σ^とc^∗₂σ がπを通して降りることは同値である. ^よってc1∼πc2⇐c1c⁻₂¹∈K.

(⇒) ^背理法. c1 ∼π c2 なるc1, c2 ∈ F2 に対しc = c⁻₁¹c2 ̸∈ K であると仮定して矛盾を導く. 仮定よりあるw1, w2 ∈ F2があってπ(w1) = π(w2)かつ π(c^∗w1) ̸= π(c^∗w2) をみたす. いま σ∈Aut⁺(F2)^に対してc^∗₁σ^はπを通して降りるとすると,w^′₁= (c^∗₁σ)⁻¹(w1), w^′₂= (c^∗₁σ)⁻¹(w1) に対してπ(w₁^′) = π(w₂^′) ^である. ^一方 π(c^∗w1) ̸= π(c^∗w2) ^であるが, ^これは π(c^∗₂σ(w^′₁)) ̸= π(c^∗₂σ(w₂^′))^{を意味する}. ^とくにc^∗₂σ^はπを通して降りることができないが,^{これは矛盾}.

補題5.3.3^{により新たな}K < F2の特徴づけとして次を得る.

補題 5.4.2. c∈F2に対し, Γc:= (γJ(c)c⁻¹)^∗とおく. (^注:Γcはc^∗のγJ-^{交換子である}. ) これを用いてK ={c∈F2|c^∗H=H, [c^∗c0] = [c0], Γc(H) =H, Γc = id_F2/H}^とかける. Kの計算アルゴリズムの構成をする. z=x⁻¹, w =y^{−1と表記し}, F2のすべての元の順序付けを 次の図のように行うものとする. ^{このとき補題}5.4.1, 5.4.2, ^注意4.3.4により続く命題が成り立つ.

命題 5.4.3. extended-origami^{が導く二重被覆}π : ˜X →X^∗とF2 > H ∼=π1( ˜X)^に対し,^次の手 順でGen^K,Rep^K ⊂F2を構成する.

(1) Gen^K,Rep^K =∅^とおく. (2) Rep^{K に}1∈F2を加える.

(3) s=x∈F2とする. この工程を行っていない最初のa∈Rep^{K に対し},d∈Rep^{K0 であっ} てasd⁻¹ ∈K であるようなものがあるか判定する. ^{そのような}d^{が存在すれば}asd^−1を Gen^{K に加え},^{存在しなければ}as^をRep^{Kに加える}.

(4) s=y, z, w ∈F2と置き換えて(3)^{の工程を繰り返す}.

(5) (3)(4)^を続くa∈Rep^{K に対して行い},^すべてのRep^Kの元をわたるまで繰り返す. ここで(5)の繰り返しは有限回の工程で終了する. ^{また最終的に}Rep^{K は}F2/K^{のディスジョイ} ントで完全な代表元のリストを与え,Gen^{Kが生成する群は}K^{に一致する}.

命題5.4.3から次頁のアルゴリズム5.4.4^を得る. ^ここではRep^{K の}n^{番目の元を}Rep^K(n), u∈F2のモノドロミーをu_∗:=m(u)∈Σdと表記するものとする. また,入力は次のようにする. セル枚数d^のextended-origami (C,(φC)_C∈C˜,∼)^に対し,^命題5.2.5^{で構成した二重被覆}π : ˜X→ X^{∗を与える}origami ( ˜C,(φC^±)_C±∈C˜,∼^′)^をとる. X^{∗の基点を固定し},^そのπ^{の逆像が属するセ} ルを[1],[c0]∈F2/H, [c0]^{のセル番号を}j0とする.

アルゴリズム 5.4.4 (^付録D).

開始 入力

















G=⟨σx, σy⟩<Sym ˜C= Σ2d

π1( ˜X)∼=H < F2

Gen^H,Rep^H c0=Rep^H(j0)

? Rep^K,Gen^K :=∅

? Add 1 toRep^K

? n:= 0

?

while n <|Rep^K| @@

? a:=Rep^K(n+ 1)

?

fors:=x, y, z, w @@

? help :=False

?

ford∈Rep^K @@

? (♣) asd⁻¹∈K ?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T F

6

-6

?

?

Add asd⁻¹ toGen help :=True

? next d

@

@

-? help =True ?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T

F ?

? Add as toRep^K

?

next s

@

@

-? n:=n+ 1

? while n <|Rep^K|

@

@

-?

終了 -Gen^K,Rep^K 出力

(♣) asd⁻¹=:c∈F2

? j1=c_∗(1) j2= (γJ(c)c⁻¹)_∗(1)

? c_∗(j0) =c0∗(j1) ?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T F

?

? forλ∈Gen^H @@

? λ_∗(j1) =j1?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T F

?

λ_∗(j2) =j2?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T F

?

next λ

@

@ ?

for u=Rep^H(j)∈Rep^H@@

?

(γJ(c)c⁻¹)_∗(j) =u_∗(j2) ?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T F

?

nextu

@

@ ?

result :=False result :=True

? ?

result

K < F2が得られれば系4.3.3にあたる判定をすることができる. ^各A∈SL2(Z)^がΓπ( ˜X)^に属す るか判定するためにはβˆ^{の引き戻し}γA∈Aut⁺(F2)を作った上で平行移動項の範囲をRep^{K に}, 判定条件は補題5.3.3に基づくものに置き換えて考えればよい.

系 5.4.5. extended-origami^{の導く二重被覆}π : ˜X → X^∗, F2 > H ∼=π1( ˜X), F2 > K ^および [c0]∈F2/H^に対し,^集合Gen^H,Rep^H,Rep^{K を固定する}.

このときA ∈SL2(Z)^がΓπ( ˜X)^{に属するためには}, ^あるc∈Rep^{K があって任意の}λ∈ Gen^H, u∈Rep^{H に対し}σ =c^∗γAとそのγJ-^交換子Γσが次をみたすことが必要かつ十分である.

[σ(c0)] = [c0], σ(λ)∈H, Γσ(λ)∈H, [Γσ(u)] = [u]

以上をもってΓπ(X^∗)を計算するアルゴリズムを構成する. ^{アルゴリズム}4.3.5^{の判定機構}(♠)^を

系5.4.5に基づくものに置き換えることにより,^{次頁のアルゴリズム}5.4.6^を得る.

アルゴリズム 5.4.6 (^付録E).

開始 入力

















G=⟨σx, σy⟩<Sym ˜C= Σ2d

π1( ˜X)∼=H < F2,K < F2

Gen^H,Rep^H,Rep^K c0=Rep^H(j0)

? Rep,Gen:=∅

? add I toRep

? n:= 0

?

while n <|Rep| @@

? A:=Rep(n+ 1)

?

forB :=AT,AS @@

? help :=False

? forD∈Rep and C:=±BD⁻¹

@

@

? (♡)C ∈Γπ( ˜X) ?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T F

6

-6

?

? add C toGen

help :=True

? next C,D

@

@

-? help =True ?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T

F ?

? add B toRep

?

next B

@

@

-? n:=n+ 1

? while n <|Rep|

@

@

-?

終了 -Gen,Rep 出力

(♡)

C=C(T, S)∈SL2(Z)

? γC :=C(γT, γS)

result :=False

?

forρ∈Rep^K @@

?

ρ^∗γC(c0)_∗(1) =j0 ?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T F

?

? forλ∈Gen^H @@

? ρ^∗γC(λ)_∗(1) = 1 ?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T F

?

Γρ^∗γC(λ)_∗(1) = 1 ?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T F

?

next λ

@

@ ?

for u=Rep^H(j)∈Rep^H@@

?

Γρ^∗γC(u)_∗(1) =j ?

XXXXXXXXX XX

XX XX XX X

T F

?

next u

@

@ ?

?

result :=True

? next ρ

@

@ ?

result

ドキュメント内 origami の拡張における Veech 群とその計算方法 (ページ 41-46)