(2k+1)2+(2k+3)2-2=(4k2+4k+1)+(4k2+12k+9)-2 =8k2+16k+8=8(k2+2k+1)
よって，連続する 2 つの奇数の 2 乗の和から 2 を引いた数は，8 の倍数である。
⑵ n は整数とする。n3-n は 3 の倍数であることを証明せよ。
〔証明〕
n3-n=n(n2-1)=n(n-1)(n+1)
n-1，n，n+1 は連続する 3 つの整数であるから，3 の倍数を 1 つ含む。
よって，n3-n は 3 の倍数である。
次の問いに答えよ。 （各14点×2）
⑴ 135 以下の自然数で，135 と互いに素である自然数の個数を求めよ。
135=33・5 135 以下の自然数で，3 の倍数の個数は，135=3・45 より，45
5 の倍数の個数は，135=5・27 より，27 15 の倍数の個数は，135=15・9 より，9 135 と互いに素である自然数は，3 の倍数でも 5 の倍数でもない自然数であるから，
求める個数は，135-(45+27-9)=72 72 個 ⑵ N=1・2・3・……・150 について，N を素因数分解したときの素因数 5 の個数を求めよ。
54>150 より，150 以下の自然数のうち，5，52，53の倍数の個数の和を求める。
5 の倍数の個数は 30，52の倍数の個数は 6，53の倍数の個数は 1 であるから，
N を素因数分解したときの素因数 5 の個数は，30+6+1=37 37 個
1
2
3
19 整数の割り算と商・余り
名 点100
7 を 6 で割った余りは 1 より，7100を 6 で割っ 32=9 を 8 で割った余りは 1 321=(32)10・3=910・3 た余りは，1100=1 を 6 で割った余りに等しい。 910 を 8 で割った余りは 110を 8 で割った余りに等しく，1 よって，余りは 1 3 を 8 で割った余りは 3 よって，
321を 8 で割った余りは，1・3=3
次の 2 つの整数の最大公約数を，互除法を用いて求めよ。 （各10点×4）
⑴ 270，63 ⑵ 380，266
270=63・4+18 380=266・1+114
63=18・3+9 よって，最大公約数は 9 266=114・2+38 よって，最大公約数は 38 18=9・2+0 9 114=38・3+0 38 ⑶ 936，396 ⑷ 477，2226
936=396・2+144 2226=477・4+318 396=144・2+108 477=318・1+159
144=108・1+36 よって，最大公約数は 36 318=159・2+0 よって，最大公約数は 159
108=36・3+0 36 159
次の等式を満たす整数 ≈，¥ の組を 1 つ求めよ。 （各11点×4）
⑴ 17≈+6¥=1 ⑵ 35≈+24¥=1
17=6・2+5 移項して，5=17-6・2 35=24・1+11 移項して，11=35-24・1 6=5・1+1 移項して，1=6-5・1 24=11・2+2 移項して，2=24-11・2 よって，1=6-(17-6・2)・1 11=2・5+1 移項して，1=11-2・5
=17・(-1)+6・3 よって，1=11-(24-11・2)・5=11・11+24・(-5) 17・(-1)+6・3=1 より，≈=-1，¥=3 =(35-24・1)・11+24・(-5)
=35・11+24・(-16)
35・11+24・(-16)=1 より，≈=11，¥=-16
≈=-1，¥=3 ≈=11，¥=-16
⑶ 19≈-13¥=1 ⑷ 32≈-27¥=1
19=13・1+6 移項して，6=19-13・1 32=27・1+5 移項して，5=32-27・1 13=6・2+1 移項して，1=13-6・2 27=5・5+2 移項して，2=27-5・5 よって，1=13-(19-13・1)・2 5=2・2+1 移項して，1=5-2・2
=19・(-2)-13・(-3) よって，1=5-(27-5・5)・2=5・11-27・2
19・(-2)-13・(-3)=1 より， =(32-27・1)・11-27・2=32・11-27・13 ≈=-2，¥=-3 32・11-27・13=1 より，≈=11，¥=13
≈=-2，¥=-3 ≈=11，¥=13
a と b が互いに素な自然数であるとき，3a+7b と a+2b も互いに素であることを，ユークリッドの互除法を用 いて，次のように証明した。 にあてはまるものを記入せよ。 （各4点×4）
〔証明〕
3a+7b=(a+2b)・3+ ⑴ より，3a+7b と a+2b の最大公約数は，a+2b と ⑴ の最大公約数に等しい。
a+2b=b・2+ ⑵ より，a+2b と ⑴ の最大公約数は，b と ⑵ の最大公約数に等しい。
a と b は ⑶ であるから，最大公約数は ⑷
よって，3a+7b と a+2b の最大公約数も ⑷ すなわち，3a+7b と a+2b は ⑶ である。
⑴ b ⑵ a ⑶ 互いに素 ⑷ 1
1
2
3
20 ユークリッドの互除法
名 点100
次の方程式の整数解をすべて求めよ。 （各14点×4）
⑴ 2≈+9¥=0 …① ⑵ 4≈-7¥=1 …①
≈=-9k，¥=2k(k は整数) ≈=7k+2，¥=4k+1(k は整数) ⑶ 5≈-3¥=2 …① ⑷ 27≈+13¥=-3 …①
≈=3k+4，¥=5k+6(k は整数) ≈=-13k-3，¥=27k+6(k は整数)
次の方程式の整数解をすべて求めよ。 （各14点×2）
⑴ 12≈+17¥=1 …① 12 と 17 に互除法の計算を行う。
≈=-7，¥=5 は①の整数解の 1 つだから，12・(-7)+17・5=1 …② ①-② から，12(≈+7)+17(¥-5)=0 …③
12 と 17 は互いに素であるから，③すなわち①のすべての整数解は，
≈+7=-17k，¥-5=12k(k は整数)
≈=-17k-7，¥=12k+5(k は整数) ⑵ 63≈-19¥=2 …① 63 と 19 に互除法の計算を行う。
≈=-3，¥=-10 は 63≈-19¥=1 の整数解の 1 つだから，
63・(-3)-19・(-10)=1
両辺に 2 を掛けると，63・(-6)-19・(-20)=2 …② ①-② から，63(≈+6)-19(¥+20)=0 …③
63 と 19 は互いに素であるから，③すなわち①のすべての整数解は，
≈+6=19k，¥+20=63k(k は整数) ≈=19k-6，¥=63k-20(k は整数)
5 で割ると 2 余り，7 で割ると 3 余るような自然数 n のうち，3 桁で最小のものを求めよ。 （16点）
n=5≈+2，n=7¥+3(≈，¥ は整数)と表される。よって，5≈+2=7¥+3 より，5≈-7¥=1 …① ≈=3，¥=2 は①の整数解の 1 つであるから，5・3-7・2=1 …②
①-② から，5(≈-3)-7(¥-2)=0 5 と 7 は互いに素であるから，≈-3=7k(k は整数)
すなわち，≈=7k+3 ゆえに，n=5(7k+3)+2=35k+17 35k+17 が 3 桁で最小になるのは，k=3 のときで，
このとき，n=35・3+17=122 122
1
2
3
17=12・1+5 → 5=17-12・1 12=5・2+2 → 2=12-5・2 5=2・2+1 → 1=5-2・2 1=5-(12-5・2)・2 =5・5+12・(-2)
=(17-12・1)・5+12・(-2) =12・(-7)+17・5
63=19・3+6 → 6=63-19・3 19=6・3+1 → 1=19-6・3 1=19-(63-19・3)・3 =63・(-3)-19(-10)
21 ２元１次不定方程式
名 点100
①から，2≈=-9¥
2 と 9 は互いに素であるから，
①のすべての整数解は
≈=-9k，¥=2k(k は整数)
≈=2，¥=1 は①の整数解の 1 つである。
よって，4・2-7・1=1 …②
①-②から，4(≈-2)-7(¥-1)=0 …③
4 と 7 は互いに素であるから，③すなわち①のすべて の整数解は，≈-2=7k，¥-1=4k(k は整数)と表さ れる。
≈=2，¥=3 は 5≈-3¥=1 の整数解の 1 つである。
よって，5・2-3・3=1
両辺に 2 を掛けると，5・4-3・6=2 …②
①-② から，5(≈-4)-3(¥-6)=0 …③ 5 と 3 は互いに素であるから，③すなわち①のす べての整数解は，≈-4=3k，¥-6=5k(k は整数) と表される。
≈=1，¥=-2 は 27≈+13¥=1 の整数解の 1 つである。
よって，27・1+13・(-2)=1
両辺に -3 を掛けると，27・(-3)+13・6=-3 …②
①-② から，27(≈+3)+13(¥-6)=0 …③
27 と 13 は互いに素であるから，③すなわち①のすべ ての整数解は，≈+3=-13k，¥-6=27k(k は整数) と表される。
次の分数を小数で表せ。循環小数は 0.34のような表し方で書け。 （各10点×4）
⑴ 5
8 ⑵ 32
27 5
8 =0.625 32
27 =1.185185……=1.14854
0.625 1.14854
⑶ 5
12 ⑷ 11
25 5
12 =0.41666……=0.4164 11
25 =0.44
0.4164 0.44
次の分数を小数で表したとき，[ ]内の位の数字を求めよ。 （各12点×3）
⑴ 9
37 [小数第 20 位] ⑵ 13
101 [小数第 60 位] ⑶ 5
13 [小数第 100 位]
37 =0.29
4434
小数点以下 3 個の数字が循環す る。20=3・6+2 よ り，小 数 第 20 位の数字は 243 の 2 番目で 4
101 =0.113
42874
小数点以下 4 個の数字が循環す る。60=4・15 よ り，小 数 第 60 位の数字は 1287 の 4 番目で 7
13 =0.35
4846154