く� - 分布するだ円孔群,介在物群,き裂群をもつ弾性体の応力と変形

y y

o

F; = Pxr (sin βE-sin βs)

Fη =-pyr(∞sβE一∞sβs) ^(5.16)

ここにPx， Pyは仮想、境界に分布させたx方向，Y方向の体積力密度， rはだ円を円に写像したときの写像面上の円の半径， βs， βEはそれぞれ区間の始点と終点を示す角度である(図5.9(b)) .

138

5.3.2 だ円形介在物群の結果と引張剛性の計算式

5.3.2.1 精度の検討と引張剛性

数値計算は平面ひずみ問題として行ない， VI， Vnが結果にあまり関係しないことを考慮、して，便宜上， VI = Vn =0.3とした

数値結果には次の4つのパラメータが関係する.

E一生-^{一一一}_a

�I

^一^p ^一一^{.. -}^一三 ¹^司¹ ^G

- 'V ^a ^' ^μ d ^' ^ハーc

r=号い1 =

vn) (5.17)

これらのパラメータの種々の組合せについて計算を行ない，各場合について介在物の存在による板の弾性係数を求めた. 実際の計算では，遠方応力σx∞= 0， σy∞

=1としているが，中央の介在物が置かれている応力場σxoo ， σy∞はσx∞F σy∞

と異なる応力状態にある. すなわちσx∞=1= axoo， σy∞#σy∞の二軸応力状態にある. また介在物形状の非対称性によりx方向，y方向で弾性係数が異なる. そこで，以下の方法により弾性係数を求めた(7)

平面ひずみ状態におけるあy軸に関するヤング率(E;， E

;

^{〉，ポアソン比}

( V.�， Vy)とすると応力・ひずみ関係は一般に次のようになる.

Ex =σム/E

;

^ー

の

^∞v

;

^/E

;

今=σ

戸

^/E

;

^{ーの∞v;/E}

;

^(5.18)

実際の計算において遠方応力が(σx∞= 1， σy∞= 0)， (σx∞= 0， σy∞= 1) の二つの場合を計算し，それぞれ， (Ux∞， ay∞〉を求めれば， 2組の(σx∞F σ

シ

∞， Ex，り)が得られるのでELE

;

F v;p v;が求まる. ただしσん σy∞は，問題(a)では図5.7(a)に示した辺OD， OK について，問題(b)では図5.7

(b)に示した辺OD， OFについて各辺の応力を積分した合力から求めた. またらp Eyは問題(a)では点D， K，問題(b)では点D， Fの変位から決定した. 以下に述べる結果はすべてy方向引張りと考えたときの値を示す.

139

こうして求めた弾性係数を次の無次元表示で与えた.

ま

^{=引張剛性係数}

E'= 介在物群がある場合の見かけの縦弾性係数 Eo=母材の見かけの縦弾性係数

= E 1 /

(1

- V

t) (平面ひずみ)

(5.19)

このCは介在物が全領域に占める割合(面積率) f に強く依存すると忠われるので，結果の整理にはこのことを考慮、した. ここでfは次のように与えられる.

f=だ円形介在物而積率

一・T(ab _ j(司2.. ^�

2 cd 2'" r '-'

(5.20)

また，実用に便利のため，数値計算結果によくあてはまるべき級数表示を与えたが，第3章3.4節の円形介在物群の場合と同様に次で定義されるβを用いた.

r-1

En -E1

β =

一一一 r

+ 1 ⁼ ^�^Err¹¹+ E1

^--;/

(VI= Vnの場合)

(5.21)

次に本法による結果の精度について検討する. 表5.4は，問題(a)の正方形配置円形介在物群(c / d = 0.5)と問題(b)の千鳥正方形配置円形介在物群(c / d = 1)の E./Eoについて本法による結果と第3章3 .4.2節のLaurent展開法による結果を示したものである. 表注釈のnは中央介在物境界のβ=00 --90。の区間をn等分する分割数であり， NX，NYは図5 .8に示すように中央列からいちばん端の列までのx方向， y方向に並ぶ列数である. そして表5.4に示した解析値は，問題(a)ではn =5， NX = NY =5，問題(b)ではn=5， NX = NY =7として得たものである.

本法による結果はfの全範囲でLaurent展開法による結果と有効数字3桁までほぼ一致しており，外挿なしにこれらの分割数，列数による結果をそのまま採用しでも実用上十分な精度を有していることがわかる.

5.3.2.2

引張剛性係数とその計算式

本法によれば，図5.7{ a)， (b)に示す穴の横方向および縦方向間隔c， dを自由に 140

表5.4計算精度の検討例(正方形配置円形介在物群(μ=0.5 ) と千鳥正方形配置円形介在物群(μ=1)のE. / Eoの値〉

En/ E1 正方形配置(問題(a)) 千鳥正方形配置(問題(b) )

本法・1 Laurent展開法d 本法・3

0.2 0.9143 0.9139 0.8224

10-5 0.4 0.7230 0.7224 0.4142

�O 0.6 0.5125 0.5117 0.0756

(hole) 0.8 0.3010 0.3000

0.2 0.9771 0.9770 0.9535

0.5 0.4 0.9141 0.9140 0.8240

0.6 0.8230 0.8228 0.6526

0.8 0.7119 0.7119

0.2 1.0191 1.0193 1.0381

2.0 0.4 1.0813 1.0819 1.1602

0.6 1.2022 1.2025 1.4169

0.8 1.4049 1.4045

0.2 1.0496 1.0500 1.0973

105 0.4 1.2351 1.2362 1.4417

士三C幻 0.6 1.7226 1.7220 2.6417

(rigid inc.) 0.8 3.1935 3.1890

*1 : n=5， NX=NY=5， VI =νII = 0.3，平面ひずみ.

勺:第3章3.4.2節?図3.20(a)の解析値( VI =νII = 0.3う平面ひずみ)^•

*3 : n=5， NX=NY=7，ν1 = Vn = 0.3，平面ひずみ.

*4 :第3章3.4.2節ヲ図3.20(b)の解析値( VI =レII = 0.3，平面ひずみ)^•

141

Laurent展開法叫 0.8225 0.4143 0.0724

0.9536 0.8244 0.6535

1.0382 1.1603 1.4169

1.0974 1.4434 2.6532

とることができるが，以下では問題(a)についてμ( = c / d ) = 0.5の正方形配置おそして前述よび問題(b)についてμ( =c/d) = 1の千鳥正方形配置を解析する.

問題(a)ではn=5，NX= NY=5，問題(b)ではn の理由により以下の数値結果は，

数値計算は，問題(a)ではr=10-5，0.05， 0.1，0.5，0.75，1.5，2，5， 20， 10\ 105 ; ε (=

�

)=0.25，0.5， 1/12 ， 1，12， 2と0.1間隔のλ の 504の組合せにつ

問題(b)ではr=10・5，0.05， 0.1， 0.5， 0.75， 1.5， 2， 5， 20， 10\ 105 ; E =0.25，

0.5， 1/12 ， 1， 12， 2 と0.1間隔のλの 456の組合せについて行なった.

=5， NX = NY =7として得た値をそのまま用いた.

いて，

図5.10(a)，(b) は，種々の FについてEをノミラメータとしJを横軸に取って引張剛性係数 C(=E'/Eo)を示したものである. 各図番に付したい) ， (b)はそれぞれ正方形配置だ円形介在物群，千鳥正方形配置だ円形介在物群を示す.

問題(a)，問題(b)ともにC-À曲線はεによってかなり変動する.

代わりに (5.19)で定義される介在物面積率fを横軸に取ってCを示せば図5.11(a)，

しかし， λの

F の増加とと (b) を得る. 明らかにr=lのときξfに関係なくC= 1であり，

Cは単調に増大する. またF がOに近い場合を除いてc-f曲線の εによるもに，

そしてr孟0.2ではだ円変動は小さく， 0.5s:r孟2の範囲では特にそうである.

形介在物群の引張剛性係数と面積率f は比較的良い相関が認められた.

だた

次にこれらの引張剛性係数に良く適合するべき級数を最小二乗法で・求めた.

F→∞に対する値を考慮、し易いように，剛性比fの代りに (5.21)で f→0，

し，

定義されるパラメータβを用いた. なお計算式をÀ，E，ßのべき級数とした場合にはF豆1とF注1の二つに分けて異なる式で表わした.

上の方針に基づいて問題(a)， (b)について共通の型の計算式 (5.22)， (5.23)を得

(5.22)

+ Ry

cb ウu +

A

2すβ 22M 唱EA

3エ同

f一h

た.

(5.23) c=

ι

^{= 1+}

主主主

Bhm fl+1mF1

Fて I"，Om"，0"..0

L.l o ^'=v

問題(a)，(b)における(5.22)， (5.23)の係数値を表5.5に示す.

142

2.0

1.0 r=10-5

ψar

r」一C」

r=Eu/EI'

=而疋

Analysis (ν1 = 1ノu =

^0.3，

Plane strain)

一一 ^E

q

ⁿ_.

( 5

22) (r豆1)

Eqn.(5.22) (rミ1)

。。 0.2 0.4 0.6

').

=立0.8

C 図5.10(a)種々のr， ê に対するE./ Eoとλの関係

(正方形配置だ円形介在物群;μ=0.5 )

1.0

NHt

，，，，，，，

2.0

本 O C」一戸」

f=1

r=En/E1 ε= 而7F

Analysis _、J

(ν1=νn=O.3，Plane strain) '"

Eqn.(5.22) (r豆1) Eqn.(5.22) (r注1)

。。 0.2 0.4 0.6 、_Q 0.8

^ _

--一 C

図5.10(b)種々のr，Eに対するE.

Eoと入の関係

(千鳥正方形配置だ円形介在物群;μ=1 )

144

2.0

1.0 ta

本 O

FこF」

r=1

r= En/EI' ε= 而7J

Analysis (Lノ1= _1ノII=

_0.3，

Plane strain)

一一 E

qⁿ

. ⁽ ⁵ .

²³

⁾

0 0 0.1 0.2 。3 0.4 f 0.5

図5.11(a)種々のr，Eに対するE* _/Eoとfの関係 (正方形配置だ円形介在物群;μ=0.5 )

145

1.0

ツグ J'u ，o

2.0

守晶γ ハU

E」一戸ヒ

Analysis

(ν1

= 1ノn =

0.3， Plane strain) 一一Eqn.(5.23)

r=1

r=En/Eb ε=

而7工

。。 0.1 0.2 0.3 0.4 f 0.5

図5.11(b)種々のr，E に対するE. / Eoとfの関係

(千鳥正方形配置だ円形介在物群;μ=1 )

146

表5.5 (5.22)と(5.23)の係数値

正方形配置(問題(a)) 千鳥正方形配置(問題(b))

1 ^{m n} A1mn A1mn

rく1 f> 1 B1mn _rく1 _f>l B1mn

0 0 0 0.0164 -0.1507 1.9860 0.6279 0.3470 2.0293 0 0 1 2.2524 ー0.2875 -2.6105 5.4399 -1.0820 -2.8080 0 0 2 3.6225 0.4806 2.1961 7.8658 0.8762 2.3689 0 1 0 1.6573 1.8130 0.0062 2.0512 2.4844 ー0.0555

o ^{1 1} ^-4.6449 ^ー0.0135 ^2.5815 ^-11.643 ^ー0.1520 ^2.9047

0 1 2 -5.2583 ー1.1164 -3.0492 -12.251 -1.5689 ー3.3335 0 2 0 ー0.0796 ー0.0525 ー0.0036 0.3560 0.2626 0.0210 0 2 1 1.8166 ー0.2235 ー0.6495 4.5665 ー0.0798 -0.7640 0 2 2 1.8337 0.9322 0.9940 4.2047 1.8232 1.1047 1 0 0 2.4536 1.5597 0.9504 0.8279 -2.8828 ー0.1521 1 0 1 ー0.5901 3.4005 9.6099 -4.2925 8.4944 8.7343 1 0 2 -2.6890 -4.7291 -7.5766 -5.2209 ー6.8993 -9.4459 110 -4.2009 ^-3.3044 ^-1.3937 ^0.7268 4.1498 ^0.5723 1 1 1 5.9345 -8.4834 ー7.3107 23.961 -9.1809 ー11.838 1 1 2 9.4862 12.787 7.1137 25.872 19.238 14.273 1 2 0 1.7414 0.7393 0.4505 ー0.1547 ー2.0562 -0.2636 1 2 1 ー3.4112 7.4919 2.3991 ー11.760 10.949 4.0005 1 2 2 -5.3100 -12.166 ー1.2862 -11.369 -28.711 -4.8756 2 0 0 ー6.7199 -4.9073 -6.2049 -5.4278 3.4889 0.8916 2 0 1 -5.6598 -4.3483 -5.1207 ー10.908 -1.4522 -2.7239 2 0 2 ー1.2297 11.427 -5.9823 -12.783 11.624 7.5679 2 1 0 11.095 11.875 9.3627 3.1319 ー0.2172 -2.7987 2 1 1 -6.5946 5.9217 ー1.0281 ー36.121 ー28.590 6.5369 2 1 2 -19.749 -32.373 26.577 -43.520 -56.467 -17.948 2 2 0 -4.5491 -2.6865 -2.6510 -2.0372 3.6321 1.3145 2 2 1 9.0278 -13.528 0.9379 22.686 ー25.908 ー1.8299

2 2 2 13.815 38.185 ー15.502 19.705 115.68 6.9631

3 0 0 4.8338 3.7093 8.1227 4.8039 ー0.8562 ー1.5613 3 0 1 5.4040 2.5375 ー9.2675 12.518 -6.2983 -2.1168 3 0 2 1.8930 ー8.1570 54.483 13.520 ー9.8144 9.1163 3 1 0 -8.1384 ー9.2848 -10.100 -4.9723 -2.9551 4.1296

3 1 1 1.8675 -1.4943 14.411 15.646 28.210 4.6330

3 1 2 12.101 21.410 -120.65 19.282 67.891 -4.2770 3 2 0 3.4801 1.8912 0.5025 4.1493 -4.6537 ー1.9947 3 2 1 -3.6054 11.490 2.3557 2.4018 50.103 -1. 7025 3 2 2 -7.1214 -25.986 69.851 4.8350 -131.47 2.1044

平均誤差[%] ^0.3 ^0.8 ^0.3 ^0.6 ^0.9 ^0.4

147

(5.22)はrの全範囲で十分正確な値を与える. (5.23)はf注0.1 (1注β注- _O.

82)の範囲でf �0.5 について十分正確な値を与える. なおこれらの式による値と解析値の差の平均値を表5.5の最下行に与えておいた.

図5.10(a) '""5.11(b)に(5.22)， (5.23)による値を破線および点線(図5.10(a)，

(b)のみ)で示し，解析値と比較しである. いずれの式も解析値と極めて近い値を与えている.

148

『咽町

5.4 結論

本章では長方形配置(問題(a) )および千鳥配置(問題(b) )のだ円孔群やだ円形介在物群をも_っ

無

^限

体

^の引^張

り

^{を解}

析

^した^.

(1)だ円孔群の場合には，だ円孔縁自由条件を満たすLaurent展開法と合力と変位に基づく境界分割法を組合せて精度良く解析した. 問題(a)のσmax'ま引張方向に直

角な主軸端A

(θ= 00 ) に生ずる. 問題(b)のamax は引暖方向に直角な主車111端A (8=00 )に生ずことが多いが，斜め方向の穴との干渉が大きい場合にはσmaxはその穴に近い点B(8*00)に移動する. そして問題(a)，問題(b)について無次元最大応力 Smax (き裂の場合は無次元応力拡大係数〉を求めた. 穴の存在は弾性体の引張剛性を低下させる. 引張剛性係数Cを一義的に定めるパラメータとしてだ円孔面積率とその周辺のデッドゾーン面積率の和で与えられる有効面積率んを提案し，その有効性を確かめた. さらに， Smax とCの解析値に良く適合する計算式をべき級数の形で与えた. これらによってパラメータの任意の組合せに対する結果が精度良く

求められる. 以上のだ円孔群の場合の結果は平而応力と平而ひずみに関係なく， E，

vなどの神性定数にも無関係である.

(2)だ円形介在物群の場合には，体積力法を用いて精度良く解析した. 種々の形状をもつだ円形介在物の存在が弾性休の引張剛性に及ぼす影響を検討し引張剛性係数 Cが介在物の剛性と介在物の面積率によってほぼ定まることを示した. さらに，引

張剛性係数Cの解析値に良く適合する計算式をべき級数表示の形で与えた. これらによってパラメータの任意の組合せに対する結果が精度良く求められる.

(

)

本章の解析は円孔群，円形介在物群，き裂群についても有効で，それらの結果は第3， 4章の結果に一致する.

149

参考文献

(1)石田誠，日本機械学会論文集，

21

(1955)， 502.

(2)

Isida， M.， Mechanics of Fracture 1， Sih， G. C.( edよNoordhoff

(1973)， 56.

(3)

Isida， M.， Int.

_J.

Frac. Mech.，

₇(1971)， 301.

(4)石田・野口，日本機械学会論文集， 48A (1972)， 888.

(5)石田，日本機械学会論文集， 48A (1972)， 1239.

(6)八回・村上・石田，日本機械学会論文集， 51A (1985)， 1057.

(7)内山・八回・村上，日本複合材料学会誌， 11-6 (1985)， 275.

150

ー・.

ドキュメント内分布するだ円孔群,介在物群,き裂群をもつ弾性体の応力と変形 (ページ 39-53)

く�

o

o

�I

r=号い1 =

;

;

の

;

;

戸

;

;

シ

;

ま

(1

t) (平面ひずみ)

r-1

一一一 r

--;/

引張剛性係数とその計算式

�

+ Ry

cb ウu +

A

2すβ 22M 唱EA

3エ同

f一h

ι

主主主

2.0

1.0

r=10-5

r=Eu/EI'

=而疋

Analysis (ν1 = 1ノu =

Plane strain)

q

( 5

22) (r豆1)

Eqn.(5.22) (rミ1)

。 。 0.2 0.4 0.6

=立0.8

1.0

2.0

f=1

r=En/E1 ε= 而7F

Analysis 、J

(ν1=νn=O.3，Plane strain) '"

Eqn.(5.22) (r豆1) Eqn.(5.22) (r注1)

。 。 0.2 0.4 0.6 、_Q 0.8

図5.10(b)種々のr，Eに対するE.

Eoと入の関係

2.0

1.0

ta

本 O

FこF」

r=1

r= En/EI' ε= 而7J

Analysis (Lノ1= 1ノII=

Plane strain)

一一 E

. ( 5 .

)

0 0 0.1 0.2 。3 0.4 f 0.5

ツ グ J'u ，o

守晶γ ハU

E」一戸ヒ

Analysis

(ν1

0.3， Plane strain) 一一Eqn.(5.23)

而7工

『咽町

5.4 結 論

無

体

り

析

^--;/

。。 0.2 0.4 0.6

Analysis _、J

。。 0.2 0.4 0.6 、_Q 0.8

Analysis (Lノ1= _1ノII=

. ⁽ ⁵ .

⁾

ツグ J'u ，o

5.4 結論