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4. 2. 2 グリーン公式とポテンシャル関数
一般に ，f(x，
ρ
， g(x， y)が，境界線Tで屈まれた閉領域Dにおいて 2階微分可能な関数 であれば，グリーンの定理7)より次式が成り立つ，J f j ) L ifV2g‑gV2fMy=f{f‑Lg !h ー M ム 怜 ド
.... ‑ J Jr I ‑dγ O γ i ここでνは，境界線に対する外向き法線方向である.
(4. 2. 7)
f(x， y)， g(x，'yうがともにヘルムホルツの方程式を満足すると上式の左辺は 0となる.
ここで f(x，.yうを式(4.2. 5)， (4. 2. 6)のポテンシャルの水平分布関数
φ
n'φL
また g(x，.うy をφn'φLが満足するヘルムホルツの方程式の特解である場合を考えると，各領域において 以下のグリーン公式を得る.<領域 1の任意点 iのポテンシャル成分
φ (
j)と境界線T上の点jのφ
n(j)>r
r ← ハ 。 ι ( j) 1
ゆ
n(i) 口 L~<Þn (j)主ァー - G
n( r )
ー ァj)~ds
.11 I d V ぴV
ここに (4. 2. 8)
Go(r) 口土H~l)(.か) α
ω ) す
Ko仇
r) 日0 )
く領域 2 の任意点 i のポテンシャル成分 φ~( j) と境界線「上の点 j の φ ~ (j)>
. .，.. ..，..，苧
」ー仏‑ y，‑
r
r J.， f~\ðGよか)
rr' f̲̲\ð <þ~ ( j ) い
よ ( i ) = J r i ゅよ (j )U~mVV }-G~(r)コァド
G~(r)= _.!...H~l)(k'r) α
引 か )‑jkoM M )
( 4 . 2 . 9 )
式(4.2. 8)および(4.2. 9)のrは ij間の距離， H(t)。は O次の第 l種ハンケル関数，
K 。
は第 2種変形ベッセル関数である.またαおよびβは，点 iが境界線を除く領域内の点で ある場合には α=4， β=2π ，点 iが境界上の点である場合には α=2， β=π となる.
4. 2. 3 半円筒透過壁へのグリーン公式の適用と境界面での連続条件
ここでは，半円筒スリットケーソンの理論解析に適用する，グリーン公式を用いた解析 法を説明する.まず，図‑4.2.2 (左)に示すスリット付き単円筒を対象とした解析を行い，
次に，円簡を波の進行方向と直角方向に複数個並べた場合の屈折波を重ね合わせて，並列 円筒の影響を考慮した.さらに，半円筒背面のケーソン直立壁による反射は，逆方向の進 行波を重ね合わせることで実現した.速度ポテンシャルの線型性を利用した，重ね合わせ による多連円筒の3次元解析は，厳密には隣接円筒により個々の円筒境界ポテンシャルが 変化するが，このようにしても流れの場を把握するうえで支障はないとされており 8) ここ でも3連円筒と単円筒3個の重ね合わせで妥当性を確認した.
このように，今回の理論解析においては，図‑4.2. 2 (左)のスリット付き単円筒をグリー ン公式に基づいて解析した.以下に，単円筒境界面外側の領域 1と内側(遊水室)領域 2 における，速度ポテンシャルの連続条件を説明する.
まず，連続の方程式より，波が微小振幅でかつ境界である透過壁厚が波長に比べ非常に 小さいと仮定すれば，スリット透過部における各領域の境界における法線方向流速は等し
く，不透過部においては領域lの法線方向流速が0となり，次式が得られる.
く
m a s s f l u x
による連続条件〉‑qh <z <
0
‑h <z < ‑qh
地
' J x
，y，z ; t ) θ φ z ( ι
y，z ; t )
θγ
地 1
( X ，
y， z ; t) 。 一
θγ
θv
(4.2. 10)
(4. 2. 11) 次に，運動方程式に関しては，スリット透過壁前後での圧力をそれぞれPJ' P2とすれば，
図‑4.2.3に示す単一のスリットを対象とした恥iらのの方法により次式が導かれる
JO)， J])， J 2)
Pl叫
=p 与州 2
v，
v， + p
L'也
dt(4.2.12) ここで，Usは図‑4.2.3においてスリット関口部を通過する流速 C*は損失係数，
L
咋ま有 効慣性長あるいは見掛けオリフィス長さと呼ばれるものである.水路面積に対するスリット関口部の面積比を関口比Eとすれば，UsはXJ，X2における流速 U(U=UJ=U2)により ，us=u/ Eと表され式(4.2.12)は次式となる.
6 2
h
t
・
t・
t・
pスリット単円簡
争 盟 盟
4F
.•
‑
f'
︑
f'
︑ ︐
︐ ︐
︑ ・
‑
︐
ttK I‑
‑f t‑ a1 11 υt t
恥H
It
‑‑
ト
戸﹄閉醐
t h v v
明 岨
VV
A
門 閉 四 回
A門
川W
山門
W 争~
払
2nd
・
t・
p 3rd .t・
p多達スリット円簡 直立壁と半丹筒スリット
図