ሶ14285 ሶ7 を分数に変換

•

数

𝑎

を

0. ሶ14285 ሶ7

と置く

𝑎 = 0. ሶ14285 ሶ7 = 0.142857142857142 ⋯

• 10

⁶掛けて小数点をずらしたものから引くことで循環節 を取り除くことができる

1000000𝑎 = 142857.142857142857142 ⋯ 𝑎 = 0.142857142857142 ⋯

•

両辺引く

999999𝑎 = 142857

•

両辺

999999

で割って

𝑎

を求める

𝑎 = 142857

999999 = 3

³

∙ 11 ∙ 13 ∙ 17

3

³

∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 17 = 1 7

素因数分解して約分した

分数が有限小数になる条件

•

既約分数（それ以上約分できない分数）の分母が素 因数分解で

2

^𝑖

5

^𝑗

, (𝑖, 𝑗 = 0,1,2, ⋯ )

の形になれば，その 分数は有限小数になる

例）

7

250 = 7

2

¹

5

³

= 7 ∙ 2

²

2

³

5

³

= 7 ∙ 2

²

2 ∙ 5

³

= 28

10

³

= 0.028

•

既約分数の分母に

2,5

以外の素因数が

1

つでも入って いると有限小数にはならない

例）

7

150 = 7

2

¹

3

¹

5

²

= 7 ∙ 2

¹

2

²

3

¹

5

²

= 14

3 ∙ 2 ∙ 5

²

= 14 3 ∙ 10

²

足りない2や5を 補って分母を10^𝑛 の形にできる

3が邪魔で2や5を 補っても分母を10^𝑛 の形にできない

10進法の分母にしたい10^𝑛の素因数が2と5のみで構成されてることがポイントで、分子の値は何でも話は同じ

10 進法の小数のまとめ

• 10 を素因数分解すると 10 = 2 × 5

• 既約分数 𝑎/𝑏 について

◦ 𝑏

の素因数が

2,5

のみの時

𝑏 = 2 ^𝑖 5 ^𝑗

，（

𝑖, 𝑗

は

𝑖 ≥ 0, 𝑗 ≥ 0

の整数で

𝑖 + 𝑗 ≥ 1

） 分数

𝑎/𝑏

は有限小数

◦ 𝑏

の素因数に

2,5

以外の素因数も含まれるとき

𝑏 = 2 ^𝑖 5 ^𝑗 𝐵

， （

𝑖, 𝑗

は

𝑖 ≥ 0, 𝑗 ≥ 0

の整数）

（

𝐵

は

2,5

以外の素数の積）

分数

𝑎/𝑏

は循環小数

分母

𝑏

の素因数に

2,5

以外の素数が

1

つでも混じってると循環小数になる

無限小数の注意点

丸め誤差について

•

無限小数を扱うときはどうしても有限の桁で四捨五入 するなどの操作で近似を行う必要がある。そのためど うしても打切り誤差（丸め誤差）というものがある。

0.333333333 ⋯ ⟹ 0.33333

•

電卓での計算には丸め誤差があり、例えば

3 × 1

3 = 1

3 × 3 = 1

のような順番を変えた計算が成り立たないことがある 次の

2

通りの電卓のボタン操作を比較してみよう

3 × 1 ÷ 3 = 1 ÷ 3 × 3 =

表示精度よりも高い内部精度を持つ電卓だと，どちらも同じ結果に表示される．

高級な電卓の中には分数で値を保持してるものもある．

どの桁で打ち切るかで 精度が変わる

2 進法の注意

•

電卓やコンピュータでは内部の数値表現に

2

進法を用い ている（別スライド「小数に関する更なる補足」参照）。そ のため

10

進法での画面の表示以外にも誤差の原因が ある。

•

例えば

10

進法で

0.1

を入力すると、コンピュータの内部で は

2

進法に変換した次の循環小数

0.0 ሶ001 ሶ1 = 0.00011001100110011 ⋯

を途中で打ち切って内部メモリに数値を保持してる。

•

精度が悪い計算方法だと

◦ 10

進法の

0.1

を

2

進法に変換（丸め誤差が生じる）

◦ 10

回足す（丸め誤差が

10

回分たまる）

◦ 10

進法に戻して表示

丸め誤差がたまり

1

になるべき答えが

1.0000000149

・・・になってし まうことがある。 _{倍精度実数の}

doubleではなく

単精度実数のfloatでプログラミング

電卓やコンピュータの注意

• 割り算や小数を扱ったら必ず丸め誤差があると 考え、下の方の桁の数値は信用しないこと。

• 割り算や小数の計算を上手く避けるか、割り算 や小数を使う計算順序をなるべく後にすること。

• 問題の答えを「どれくらいの精度で答えるか」と いう「有効桁」を設定すること。

途中の計算では有効桁より 2,3 桁以上多く打込

み計算する。答えを出す際には有効桁以下を

四捨五入した数値のみを採用する。

小数まとめ

•

小数は小学校の早い段階で叩き込まれるので簡単そうに 思えるが、歴史的には比較的新しい概念。無限が絡んでく ると難しくなる。

•

分数では正確に扱えた値でも、小数で表現すると、無限循 環小数になってしまう場合がある。どの分母の分数が無限 循環小数になるかは何進法を使うかで変わる。

• 10

進小数の良い所は数字の大きさが感覚的にすぐに分か る所（小学校の早い段階で習って慣れている為）

•

数値の精度にさえ気を付ければ小数は非常に有用

•

正確な扱いが難しい無理数（分数では表せない数）に関し ても小数を使えば設定内の精度で扱うことができる。

（無理数に関しては や𝜋などを後期にやる予定）

•

小数の発明が今の科学の基礎を築いたと考えられ、

人類の文明のレベルを大きく引き上げたと思われる。

練習問題

79

37 を小数に変換

79

37 = 2 × 37 + 5

37 = 2 + 5 37

5

37 = 50

37 × 1

10 = 1 × 37 + 13

37 × 1

10 = 1

10 + 13

37 × 1 10 13

37 = 130

37 × 1

10 = 3 × 37 + 19

37 × 1

10 = 3

10 + 19

37 × 1 10 19

37 = 190

37 × 1

10 = 5 × 37 + 5

37 × 1

10 = 5

10 + 5

37 × 1 10 2.13513 ⋯

37 79

− 74 50

− 37 130

− 111 190

− 185 50

− 37 130

− 111 19

同じパターンの繰り返し

同じ パターン の繰り返し

同じ パターン の繰り返し

前ページの式を下から順に見ていく 19

37 = 5

10 + 5

37 × 1 10 13

37 = 3

10 + 19

37 × 1

10 = 3

10 + 5

10 + 5

37 × 1

10 × 1

10 = 3

10 + 5

10² + 5

37 × 1 10² 5

37 = 1

10 + 13

37 × 1

10 = 1

10 + 3

10 + 5

10² + 5

37 × 1

10² × 1

10 = 1

10 + 3

10² + 5

10³ + 5

37 × 1 10³

= 0.135 + 5

37 × 1 10³

5

37は循環節

3

の循環小数

5

37 = 0.135 + 5

37 × 1 10

³

= 0.135 + 0.135 + 5

37 × 1

10

³

× 1 10

³

= 0.135 + 0.000135 + 5

37 × 1 10

⁶

= 0.135135 + 0.135 + 5

37 × 1

10

³

× 1 10

⁶

= 0.135135135 + 5

37 × 1 10

⁹

79

37 = 2 + 5 37

= 2 + 0. ሶ13 ሶ5

= 2. ሶ13 ሶ5

5/37自身を次々と 代入していく

ドキュメント内 割り算と小数 (ページ 40-51)