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[1] ࡾӜݑ࢘ɼ෱෋༸ࢤɼখ໺ࣉलതɼ“ݟํɾߟ͑ํɹ߹ۚঢ়ଶਤ,”ΦʔϜࣾɼ2003.

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[5] ԕ౻ஐࢠɼ෢઒௚थɼ҆໺୓໵ɼ“ࡾ࣍ݩ܁Γฦ͠ߏ଄ͷ߆ଋ৚݅Λ༻͍ͨ݁থཻք ͷநग़”ɼ౤ߘதɽ

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[7] ԕ౻ஐࢠɼࡔຊ௚ಓɼ҆໺୓໵ɼ෢઒௚थɼ“݁থߏ଄ͷ෼ੳʹద༻Մೳͳࡾ࣍ݩ΢Σʔ ϒϨοτͷߏங” ɼిࢠ৘ใ௨৴ֶձ࿦จࢽ. A,جૅɾڥք J92-A(8), pp.540–550, 2009.

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[14] ஛಺ ৳ɼࢬ઒ܓҰ, “݁থɾ४݁থɾΞϞϧϑΝε”ɼԽֶಉਓɼ಺ా࿝௽ะɼ2008.

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再生核理論とその応用

松浦 勉

群馬大学 理工学院 知能機械創製部門

概要. 再生核理論は理論自身の壮麗さもさることながら，最近この理論を具体的な問題

（特に逆問題）に応用しようとする試みが行われている．ここでは，再生核理論の概要を 述べ，特にラプラス実逆変換に応用する問題を提起し，その可能性を議論する．

The theory of reproducing kernels and its applications

Tsutomu Matsuura Gunma University

Abstract. The theory of reproducing kernels is grand and beautiufl in itself. But recently we and some other researchers have tried to apply this theory to some concrete problems (especially to inverse problems ). Here we describe the outline of this theory. And I submit a method to apply this theory to real inversion of the Laplace transform. Furthermore I would like to discuss the applicability of the theory of reproducing kernels to real inversion of the Laplace transform.

1. ^はじめに

再生核の理論は，S. BergmanとG. Szeg¨oがそれぞれ1922年と1921年のベルリン大学 における学位論文において，リーマンの写像関数を再生核（Szeg¨o核とBergman 核）を 用いて表現を試みたことに端を発する．その後それらの再生核は多くの人々によって研究 され，複素解析学における大きな理論に発展してきた．他方，再生核の一般的な理論は

1950年にAronszajnによって発表された論文[6]で一応の完成を見ていた．さらに一般

理論について，超関数の理論の創始者Schwartzが1964年に140ページを越える大論文 [76]を発表していることは注目に値する．

しかし，再生核の一般理論は美しい理論であるにもかかわらず それがなぜ重要であるか の明確な根拠が見出されず，抽象的な理論として永い間本質的な応用や展開が無かった．

上記のSchwartzの大論文は現在でもなお知る人が少ない状態である．

齋藤三郎氏（群馬大学名誉教授 現在はアヴェイロ大学研究員）は1983年に発表した 論文[43]で，再生核の理論と線形写像の考えを結び付け，再生核の理論がBergman核や

Szeg¨o核の理論に限られたものではなく，ヒルベルト空間の考えと同じくらいに数学にお

いて基本的で，普遍的であるとの明確な位置づけを与えた．ここでは1983年以降，線形 写像と再生核の理論を結び付けることによって発展してきた研究成果をできるだけ広い視 点から簡潔に述べ，その後，2004年([68])以降Tikhonovの正則化法に適用して得られる

ヒルベルト空間上の有界線形作用素方程式の近似解法について、計算機による具体的な解 法の視点から解説する．

再生核の一般理論は，関数解析学の基礎であるヒルベルト空間論の初歩的な部分に含ま れる．しかし，線形写像と結び付けることによっていろいろな数学の分野との関係が生 じ，その豊かな応用は，微分方程式，積分方程式などの一般的な線形方程式の解法，ピタ ゴラスの定理の一般化，逆問題，関数の近似，サンプリングの定理，非線形変換を線形変 換との関連で捉える基本的な考え方，ヒルベルト空間達にいろいろな演算を導入する方法 等々，広範な分野に及ぶ．

他方，具体的な再生核の研究にはしばしば解析学の深い知識が要求され，深遠な研究と 結びつく．それらについて述べるには相当な準備を必要とするので，ここでは述べない．

そこで，第2節に再生核の一般理論の根本の部分を述べ，第3節で一般論の具体的な 応用を簡潔に紹介する．応用は広範に亘るので, 基本的な文献を付けてコンパクトに述べ る．しかし，複素解析における美しい成果も，一般論の基本的な応用も数理物理学者や理 工科系の研究者には想念上の成果と理解されるではないかと思われる．そこで，第4節で

Tikhonov正則化法に再生核の理論を適用して得られる最近の成果を解説する．第 5,6節

では典型的な不適切問題である熱伝導における逆問題とラプラス変換の実逆変換を求める 問題における我々の方法による解を紹介する．最後の節では再生核の理論の展望について 触れる．

ドキュメント内 u•½¬25”N ƒEƒF[ƒuƒŒƒbƒg—˜_‚ƍHŠw‚ւ̉ž—pv—\eW (ページ 35-42)