半整数ウェイトのベクトル値ジーゲル保型形式への リフトと志村型対応予想再訪
伊吹山 知義 (大阪大学)∗
2012年9月 概 要
１変数の保型形式に関して、半整数ウェイトと整数ウェイトの間には、いわ
ゆる Shimura 対応があることがよく知られている。筆者は先に論文 [4] に
おいて、これを２次のベクトル値ジーゲル保型形式にするとどうなるかを考 え、半整数ウェイトと整数ウェイトの間の１対１対応を予想した。そこでは、
半整数ウェイトの方は、指標付(いわゆるNeben type) の保型形式をとるの がひとつのキーポイントであった。しかし、その後、指標なし(Haupt type) でも、リフトの部分を除いては、同様の対応がありそうなことがわかった。
この周辺の事情を述べるのが今回の講演の目的である。
1. 定義
まず、半整数ウェイトのジーゲル保型形式の定義を述べる。H2 を２次のジーゲル上半 空間とし、ϑ(τ) = ∑
p∈Z2exp(2πitpτ p) (τ ∈ H2) をおく。２次のジーゲルモジュラー 群 Γ2 =Sp(2,Z) の部分群Γ0(4) を次で定義する。
Γ0(4) =
{(A B C D
)
∈Γ2;C ≡0 mod 4 }
.
また、Symj をGL2 のj 次対称テンソル表現、すなわち２変数u= (u1, u2)のj 次同次 多項式P(u)上への自然な作用P(ug)とする。さて、γ ∈Γ0(4)に対し、ψ(γ) =
( −1 det(D)
) と定義しχ を単位指標またはψ とする。F(τ, u) = ∑j
ν=0Fν(τ)uj1−νuν2 を、H2 上の正 則関数Fν(τ)を係数とする uの j 次同次多項式とする. (j = 0 ならばF =F0(τ).) こ れが次を満たすとき、ウェイトdet k−1/2Sym(j) の指標χ 付の保型形式という。
F( γτ, u)
=χ(γ)
(ϑ(γτ) ϑ(τ)
)2k−1
F(
τ, u(cτ +d))
, γ =
( A B C D
)
∈Γ0(4).
このような保型形式の空間をAk−1/2,j(Γ0(4), χ)と書く。特にχが単位指標のときは、χ を省略することもある。Ak−1/2,j(Γ0(4))、Ak−1/2,j(Γ0(4), ψ)をHecke にならい、Haupt
type, Neben type と呼ぼう。これらのうちで、レベル１に相当する部分を取り出すた
めに、plus subspaceと呼ばれる部分空間を次のように定義する。l = 0, 1 に対し、
A+k−1/2,j(Γ0(4), ψl) = {
F(τ, u) =∑
N
a(N)exp(2πiT r(N τ))∈Ak−1/2,j(Γ2);
a(N) = 0 unless N −(−1)k+l−1µtµ∈4L∗2 for some column vector µ∈Z2} .
本研究は科研費(課題番号:21244001)の助成を受けたものである。
2010 Mathematics Subject Classification: 11F46 キーワード：保型形式,ゼータ関数
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ただし L∗2 は２次半整数対称行列のなす格子とした。カスプ形式のなす部分空間は普通 と同様に定義されて、Sk+−1/2,j(Γ0(4), χ)などと書く。以上を半整数ウェイトの保型形式 ということにする。整数ウェイトのジーゲル保型形式も同様に定義されて、その空間は Sk,j(Γ2)などと書く。また１変数のカスプ形式の空間は慣例通り Sk(Γ1) などと書く。
定理 1 k、j が偶数のとき、S2k−4(Γ1)×S2k+2j−2(Γ1)∋(g, f)→Fg,f ∈Sk+−1/2,j(Γ2) となる線形写像であって、f,g がヘッケ固有関数ならば、像のFg,f も固有関数であり、
さらにそのときは L(s, Fg,f) = L(s−j−1, g)L(s, f)を満たすようなものが存在する。
この写像は単射であると予想されるが、その証明はできていない。（予想自身は論文[3]
の一般化であり、上の定理の証明は[6]の一般化である。また、このようなリフトは k が奇数でも存在しかつ単射であると予想されるが具体的な写像は構成できていない。）
対馬はベクトル値の２次正則ヤコービ形式の次元公式、および標準的な消滅定理の 仮定のもとで歪正則ヤコービ形式の次元公式予想を与えた。一方でヤコービ形式とプ ラス空間には１対１対応があった。([1])
定理 2 対馬の次元公式予想が正しいと仮定すると、次の等式が成立する。
dimSk+−1/2,j(Γ0(4)) = dimSk+−1/2,j(Γ0(4), ψ) + dimS2k−4(Γ1)×dimS2k+2j−2(Γ1).
以上で、対馬に従えば k ≥ 5 と仮定すべきだが、私の次元予想に従えば、k ≥3 でよ い。これらの研究は実は N. Dummigan から私への２０１２年３月のメールで、彼が
Haupt と Neben は実はリフトを除いては同じ L 関数を与えるのではないか、と言い
出したことから始まった。そこで、以上の証拠を基に、次の予想を提唱できると思う。
予想 1 j を偶数とする。Sk+−1/2,j(Γ0(4)) 内での、S2k−4(Γ1)×S2k+2j−2(Γ1)からの（上 で予想された）リフトと直交する部分をSk+0−1/2,j(Γ0(4)) と書くと、次が成立する。
Sk−1/2,j+0 (Γ0(4))∼=Sj+3,2k−6(Γ2)∼=Sk−1/2,j(Γ0(4), ψ) (Hecke 環の作用同型）.
これは[4]の Haupt type 版である。以上に関連する実例や、ヤコービ形式の構造につ
いての理論的な結果などもあるが、講演のときに時間があれば述べる。
参考文献
[1] T. Ibukiyama, On Jacobi forms and Siegel modular forms of half integral weights. Com- ment. Math. Univ. St. Paul. 41(1992), no.2, 109-124.
[2] T. Ibukiyama, On differential operators on automorphic forms and invariant plurihar- monic polynomials Commentarii Math. Univ. St. Pauli 48(1999), 103–118.
[3] S. Hayashida and T. Ibukiyama, Siegel modular forms of half integral weight and a lifting conjecture, J. Math. Kyoto Univ. Vol. 45 No. 3 (2006), 489-530.
[4] T. Ibukiyama, A Conjecture on a Shimura type correspondence for Siegel modular forms, and Harder’s conjecture on congruences, Modular Forms on SchiermonnikoogEdited by Bas Edixhoven, Gerard van der Geer and Ben Moonen, Cambridge University Press (2008), 107-144.
[5] T. Ibukiyama, A lifting to vector valued Siegel modular forms of half integral weight and conjecture on Shimura type correspondence revisited, in preparation.
[6] S. Hayashida, On the lifting of pairs of elliptic modular forms to Siegel modular forms of half-integral weight of degree two, preprint.
