• 検索結果がありません。

語 』 囲 う 愚 夛 ぱ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2024

シェア "語 』 囲 う 愚 夛 ぱ"

Copied!
43
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

r f

虹 半 一 銀

囲 う 愚 夛 ぱ

← 麩 一 心 千 〆 淋

(2)

Z次正方行列の逆行列・回転行列。直交射影

NobuyukiTOSE

経済数学,May07, 2019

、"〕Qe′

2次正方行列の逆行列。回転行列・直交射影 1/22

NobuyukiTOSE

(3)

H、

回転行列

)(

(:綴モ餅:蒲 (詩 聿

二二二

sinoJsin

(sinofcose+coscMsin

‑sina

cosB

‑sInoJcos

a

津)

β cosoJsIn

e

(話 モ:4脚)

二二二

1 モ:4脚)

cosoIcosB ‑sInoJsIn

) ""畷‑艇キ

Lぱい‑(二:観,)

(:糯モ:野)㈱(話 )

特に

、OQO'

2次正方行列の逆行列。回転行列・直交射影

NobuyukiTOSE 17/22

(4)

〆一一

︵ 到 似

(5)

回転行列(2)

回恥 気3(1 V、oTQfioハ

(輔

励:= ‑sin9cos8

とすると Re!Re

R0,RO2=R9,+92

特に

品 9

肺 一 一

×

×

からR9は正則で

い メ

R 村

5 5

、OQC'

18/22

2次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影 NobuyukiTOSE

(6)

折り返し(2)−直交射影

3,5ER", 3≠Gであるとき. 石の5方向への直交射

①届二t苞

"=

②砲‑垂/良

求め方(1) (ヨ,5−面)=0

求め方(2) ' '万一園' '2を最小化

、OQO'

2次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影

NQbuyuki ‑rOSE 20/22

(7)

折り返し(1)

(淵三船)(:繍戸脇)‑("富』"rsin2。 ・i.』Ⅷ!@・富1噸)

Q ニニニ ‑⑰

1/ fノ

Q2便

ノ7

:‑(j・"=) ,&

f"

辿

BG

ノ 二

2 G A 今

丹 ご

α/2

ft ')過し

Q汀

銭βモ

、OQO'

2次正方行列の逆行列・回転行列。直交射影

NobuyukiTOSE 19/22

(8)

β

折り返し(3)

(;)

αα 方向への直交射

I(a'(L=I

の戸,

V== 二二二

β』

W=二 感一画)

α

α

α

α 2

㎡ 唾 叩

X X

二二二

α

α

α

α

α

(;)

二二=

Q7 二二二

α

α

α

2 S

| n

2 2 2

1 1

α

α

α

二三二

‑COSOjsInoj

),

二二二

、OQO'

2次正方行列の逆行列・回転行列 直交射影

NbbuyukiTOSE 21/22

(9)

〃 敦

勺 ︵ 梨 ︷ ︶

一 で

洲 ︶

Jl

︵ 斗 一 〃 勺 一 一 ・ ︵ 弘 一

P

V ︵ 価 一 ︶ ︲ で ︵ 伽 ︶

︵ ⑳ 〃 一 U 象 了 ヌ ジ 一 切

℃ ︒ ︑ ︵ 洲 ︶

ll

甲 ⑧

一 ﹀ 戸 ﹃ 界 ↑ 丁 皇 ↓ ︶

一 画

一 一

(10)

別の見方一座標変換

便)

(鋤

α

α

↓ 昨 冊

↓ 乖 一

剴 引 壬 壬

C s X y 光 ソ

P

ヂヂ

uノ

r1

7.2 α/2

︑ 1

(;且,)(;)

R R

辿

R‑ヘ=R̲&=

‑Sid、

R‑1(#) (;夕,)

"s(¥)

α

α

α

α

α

α

(;且,)

R−1

=(:"=M)

Q=R 二二二

、OckO'

│■

2次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影

NobuyukiTOSE 22 22

(11)

︵ ︽ 一 一 リ エ ︵ 望 ︶

︵ 洲 ︶ Ⅱ

を一う

︲ か 一 ︵ 一 一 ︶ Ⅱ

:=医 IF

II

つ ︵ 脚 ︶

j l J

碑 〆 I、j

(12)

『与凸

=子

(一座愚一介・午

?α八大b2

ベクトルの内積とその応用

戸瀬信之

│TOSEPROJECT

MSF2019, LecO4, 2019年04月30日(平成最後の講義)

WISF20fi, Lec;h, 201ず年04月 30日(平何、蔭r )心《〆、』

戸獺信之(ITOsEPRoJEcT) ベクトルの内積とその応用 /20

(13)

慰窪鑿血鍾

問題│

bER"が

a,

を満たす渋きに,EERn − 対して I1

xQ」+3

yB│ │2

6

l l5−Xa を最小化するx,yERを求める.

︿

沃 蔀

ば 皖

6 2

iISF20E, Lec64、201;年04: …侭

戸獺信迄(ITOSEPRO」ECT) ベクトルの内積とその応用

(14)

P』

一 一 ド イ

一 一 くも」 夛 〆 イ

ぐbJ I、J

(15)

濫罵l輯量…も' '識魁 唖霊

まず弓̲L万のとき

3̲Lbの場合を考える. (I ,、剛延ヤ2(エ明も) ・t‑('a,,z

M 一一一

/卜

l lE−xヨーyB│ │2=│に│ │2̲2(5,xヨeyB)+│ │x3+y51 12 。

=x21 131 12+y21 1B│ │2̲2x(5,3)̲2y(5,B)+│ │51 12

Ⅱ劃,2/ (で,ヨハ2 Ⅱ川/ (で$5)、2

) (γ

(、 ) +旧『

' '5' '2

三==

│ │bl l2 ' '31 12ノ Ⅱ '

(5,5)2 (5,5)2

+' '5' '2−

│ │bl l2

│ │ョ' '2

から

(で,5) (E,b)

X== . , . ' .a<

│ │31 12' y

ニニニ

' '51 12

のとき最小となる。 この意味は?

niSF203, Lecih, 201。J=04: ゞゞ戸 I ノ弓

/20'

戸瀬信之(ITOSEPRO」ECT) ベクトルの内積とその応用

(16)

罰 f 夕 一 散 w 淘

h 喝

│墨

中j rJ くも』 P

P」

│、墓

一一一 「一

P、

glj PJ
(17)

︑ 〆 朴 必 一 v い | r

一 ︾ ︵ 樗 欲 r

一 一

II

C oA)

│I n ︽ ︵ 〃 の ︶

‑勺J

ll CJ oj= ll

(18)

刈 ︵ 八 Ⅱ J J ︹ し ︾ や

可 キ

冒 惨 脚

木 切 ィ 琳 哉 代

lj

* ︵ 1 斗

︵ 側 御 ︾

# ︽ 利

I II 鋲糺

も → F 可 十 J 肘 ︐ 戸 棚

、し Iタ

傘 一 刻

Ⅱ ︲ 対 惇

Oqり

(19)

の ︶ ︵ 詑 〆 ︶ 州 Ⅱ 必 Ⅱ J

一 一

や Ⅱ ︑ ハ ー 〃 J

l

xX

︽ 一 や 一

棹一、 ゆ」

I l l J 宅 ユ ナ ︽

1

、Fo」 ク。」

か つ 一 式」二

L ll oJ

Ⅱ ︹ 叫 封 ︶

〃 耳 ﹄

I

耐 a 刃 〆

戸 一

‑O

(20)

I 島r I 'I o.loj 1j

局'一

PJ

dQj II

↓ l

cb」

一 一

II

?」

二 鋤 ︲ 剛 一 一

'三│量

(21)

魔 羽=・ざ脳一型, 韓撫4 =■ 能.濫畠跡弓…色とI』曇と. 4聡、屯…駿甥繩遡藩興 脳辮 理爺

グラム・シュ

ツトの直交化一例

一一、 | I

│ │b‑wl l ・ │ │31 12(3,b)

l

1 │b‑wI │

1

(侭 動,

キ。

から

(》) (;)

)<3+yb="+りり くこ>

となりますから

ーu,/u、/ グV

L={"+"; <,〃ER} 正則1

であることが分かります.

30背陣

/20

WISF20B, Lec;4, 201『年04:

ロ■

ベクトルの内積とその応用

戸瀬信之(ITOSEPROJECT)

(22)

×

グラム・シュ

ツトの直交化一例

2

−1

3=(I)、 石=(

0 に対して5の5方向の直交射影I C‑

(b,3)‑

W a

一八一う 一息〆−い〕

=ニ テ‑

│ │引'2

三==

1 3

(:')

) (

b-"=b−w= 二==

2ケで16‑t (

F │

│ 3 1 1 ー

1

(I)

9

{ ‑")‑た(

−4−15

二二二一 ニニニ

内(iノ' w l l万一"│ │

は│ │戸│ │=│ │可│ │=1, (戸,り)=0を満たし

={斌、隈>'(';GIR]

{xF+癖←※ず壱‑R+

L:=

の正規直交基底と呼びます.

30箔口偉,

RISF20B, Leca, 2019年04月 三弓 /20 戸瀬信之(ITOSEPROJECT) ベクトルの内積 とその応用

(23)

グラム・シュ

ツトの直交化一例

ご≦(1),怠≦貝) (や≦さ(I)

言‐念(尋)

のとき IIE、‑xZl‑狼Ⅷ

'2=(を−(で,戸))2+(り−(5,可))2+│に' '2−(で,戸)2−(で,可)2

(#)

このとき

' '5−

L一

から最小になるのは

:‑剛‑ 。 〃剛 二二=

であることが分かります.

問以上の計算から│に−x3ーア│ │2を最小化するx,yERを求めましよう.

ihSF20g, Lec64,20㎡'年04: 30日(平胴。、r)Q《、・

I 戸獺信迄(ITOSEPROJECT) ベクトルの内積とその応用 /20

(24)

I

グラム・シュ

ツトの直交

1−

恥=(で,戸)戸+(E,5)可と定めると 1

【I 一一〜

〆一一

(E−恥,")=(5,戸)−

=(旨,戸)−

(5−恥,可)=(5,ラ)−

=(で,可)−

ce‑ c")?‑C,§ノ弓1)

から

→→

りう9 =張?T執§

ー−一 u

0

1

2−宮.)

E−Wo̲LL

を旨のLへの直交射影と呼びます.

が分かります.恥 h

耗込派一興〕寺祷(1,弓‑瓦)

一一一 ー一一

l(

((

戸D

WIsF20fi, LecO4, 201;年04330'百息 倖,

‐ ‐ . 戸瀬信之(ITOSEPROJECT) ベクトルの内積とその応用 /20

(25)

| 壬一= ゆ● ■P 舎一宇尹 一再一一一

一唆盈

Paハ九03

第7講義一回帰直線と相関係数

戸瀬信之 ,淵‑ ,

ITOSEPROJECT (?,<31−つI

(, 、↓藤過識.ぬ 、

経済数学入門, 2019年05月27BatHC 帆『恥

経済数愚門, 2019年05月27 日1 詔■

に‑‑戸瀬信之(ITQ王PROJECT)̲ ど 第7講義一回帰直線と相関係数 /1

(26)

=蚕 ×

漉欝|

モデル

戎叩証巻甦

、L

2変量のデータ 帥霜源

モデル

ッ=α勿+b

でデータにfitするものを考える。

(誤差)=(実測値)‑垂論値つ T一閏掻

、‐写し!

E==ツー(α勿+b)

6 1‑瓜弧

(1)こ=0

E==ワーα元一b==0

(2)v(E)が最小

詮済数瓢門,完,9

第7講義一回帰直線と相関係数

F,?,可

年05月27 日

i ̲戸瀬信之̲(mSEPRQ」丘T)

1 2

γL

〃1

〃2

"γZ

(27)

…ー●一一=量 画や〜 一=声

分散 最小

。(2)v(E)が最小

眺一α鋤一b==眺一α鋤一(画一α元)=z/j−画一α(鋤一元)

Ej==

(このときE=0に注意して)

から

1

(鮒 −画−α(鋤一元))=グーα毎

−一

二つ

│ │グーα毎' '2 α21 1諺' '2−

v(E) 1■■■■■■■■■I■■■■■■■■■

2α(霧,グ)+│ │ク' '2

(諺,グ)、2 1 ,→,

) +│ │ク'

二=二

一一一

(諺,グ)2

凹罫( '2−

二=二 一一

│ │壷' '2 ' '毎' '2

V ̲一

O M

O

第7講義一回帰直線と相関係数

2019年05

済数瓢門,

1

戸瀬信之(IToSEPRoJEcT)

(28)

回帰直線

Q'I‑TR>

回帰直線

(毎,の c錘り

I垂│宿 v&)。 6

a 4■■■■■■■■■ ニーッーα

回帰直線に対して

哺乳査 八」zAi…4sγ一

▽{層' =Ⅱク#;f'

=ⅡクⅡ,(1−Ⅱ ,2)

v(")(1‑p2

士1のときv(E)‑>0

●p犯zノーナ

詮済数瓢門, 2619年05月2需日約!ご

第7講義一回帰直線と相関係数 /1

一一 守車

戸瀬信之(│TOSEPROjECT)̲"̲

(29)

一ナlj 〆'一 r、'IJI' II イv, (、,トン

でf l

I P

(30)

最小二乗法

:一迫 b)2

s(q,b) −αおj−

を最小にするαとbを求めても、同じ回帰直線を得る。

済数敷門, 2019年05月2景日紺ご

/1

■■

戸瀬̲信之(ITOSEPROJECT) 量: 第7 講義一回帰直線と相関係数

(31)

一。

P・典,、上c寺

P

Z次正方行列の固有値問題

戸瀬信之

ITOSEPROJECT

2019年05月emath.HC

戸瀬信之(ITosEPRoJEcT).̲」 2次正方行列の固有値問題 2019年05月emath.HC 1/15

(32)

I

1 1 ︲ l ︲ I 1 I I I l I 1 I I ︲ 1 1 ︲ 1 1 1 1

一つ ↓〉f、 ‐ロ ZDJ−アII ‐▽で、 110g ざツ ーァO =ず、̲ノ でヘ 1I cZ 一つO 、̲ノ

﹀ 一 越 到 一 h イ o

1

詞 錨 椒 患 今 側 靭 兼 勤

川 勺 ︵ 訓 ︶ 9 j ←

︵ 唖 H 一

︵ ト バ ︶ 夕 庁 醐

ア Ⅱ

︵ 剛 ︶ Ⅱ わ ︵ 一 ︶

llr、 二q」 ぞ、〆l『、》

勤二.」

で一、 ア一pc," 副別3 ,=ノ、画〆

ll ll 一一〜

食 到 つ 列 ︶ ︲ ← ︲

勺 少 ←

、̲/

ア ぞ

I

(33)

2次正方行列の固有方程式

B』1》<2 B&旧]IIE=3

ョ守弄ご 〔こうj' ‑L.−−

・2次正方行列A ■■■■■■■■■■ の固有多項式

印 う

α十。

①A(1) ■■■■■■■■■■

((

f4")

卜し一又,&

A°、圃忘99喝 ■■■■■■■■■■

>ごう−し

SP《人ノL〃 ‑6c

/l2‑("+IJ)/l+型型少

=G,‑0、) (A‑d)‑6e 三三=

l(

IAI

①A(o')=0・AF=αザを満たすブ≠芯が存在

‐一

│〆工延‑AI=o‑(畑匙一Ne=言

戸瀬信之(1TOSEPRojEcT) ̲1 2次正方行列の固有値問題 2019年05月emath.HC 2/15

(34)

.

具体例

(猪)の□

●A= 入工の一(、

入丁ユート

ハ了乙一偽

ll

M

1 −2

ノ'一

〃−4ノ1−5 (/1‑5)(/l+1)

■■■■■

■■■■■

・固有値九=5の固有ベクトルを求める。

喝}=『(1)

色い隆一侭)(§)

から

而骨4x‑2y=0ey=2x

二二二

I

1

1

@

L) 八二1

4

1皇寺TF、−−

AR=sTT

x≠0)

圃硲埴9.、

五胴/If"ラLLe今幹

2019年05月emath.HC

(;)=(皇)= ;)

戸瀬信之: (IToSEPROJECT) 2次正方行列の固有値問題 3/15

(35)

具体例(No. 2)

・固有値ルー−1の固有ベクトルを求める。

‑ Cl=.#‑'。,=‑"

"L〆;?""α≠⑪ 豆=い) A意≦一意

戸瀬信之̲(ITOSEPROJECT) 2次正方行列の固有値問題 2019年05月e'nath。HC 4/15

(36)

行列の対角化(その意味)

II

(4:) ;廿協弓

一へ −、

(FIE)

A二 手3 CJ&(I(│

。Aが定める変換(;I)、;│−

●変数変換

(;)=m+,"=P(;)

妻)=鋤十"仇=P(:1−

¥う 1

1 1

(蟇)

ざ二 P〜{ (x′1'

2次正方行列の固有値問題

戸瀬信之(ITQsEPRQJECT) 2019年05月emath.HC 6/15

(37)

I

4ニー b唖一

行列の対角化(その意味) (No2)

駿芽

P‑│(;II=P‑1A(;) P‑IAP(;)

( ); ‑

(茅)

I■■■■■I■■■■■

2次正方行列の固有値問題

I 戸瀬信之̲(JTOSEPROJECT) 2019年05月"e'nath.HC 7/15

(38)

︵ 声 ︶ ︑ 鋤 川 ︽ ︶

ア ︵ ︽ ︶

UJY (‑コユ

象 ︶ 小 参 迩 二

l1 ll

(39)

W

¥剛

行列の対角化(その応用)

(M)"』凡

PIM) )"』

P(;4)',IM)"」

PIM)(M)P‑1=P(#

P(ii │̲I,")P‑』

対角化A=P

A2 ■■■■■■■■■■

0

)P‑'

(−1)2

A〃 ■■■■■■■■■■

戸瀬信之̲(ITOSEPROJEOT) 2次正方行列の固有値問題 2019年05月e'nath.HC 8/15

(40)

〆斗へ、 Oヌ

︶ J 入 又 一 ○

ll

/、

、̲ノ 、̲ノ

方 Ⅵ 汐

フノ

(41)

行列の対角化

。角、;l"、i)。P=IM'とする&

︿

(雨言)

(1 )

) ≦ 《豆

(Aa, 」4 (が,あ)

Aあ) あ)

AP ■■■■■■■■■■

0

■■■■■■

■■■■■■

−1

−3≠0からPは正則<ー‐繩塩け・ふし

F〜

(卜噌い耐

(M)"』

P A ■■■■■■■■■■

ro

O−(

一一こう P kAP

) ,蝸糺〈

戸瀬信之(ITOSEPROJ旦○T) 2次正方行列の固有値問題 2019年05月emath.HC 5/15

(42)

参照

関連したドキュメント

[r]

[r]

[r]

[r]

[r]

[r]

[r]

Using Mosochiku (Phyllostachys pubescens MAZEL) grown at Kyushu district, the structure in its bamboo culm and the arrangement of the vascular bundles in