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測度論

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Academic year: 2024

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FX は σ 加法族であるため有限加法族であり、μX はメジャーであるため σ 加法族です。 FX は σ 加法族であるため有限加法族であり、μX はメジャーであるため σ 加法族です。 J,m) が与えられたと仮定します。 。

積分

単純な関数の場合、値 ±∞ (aj∈R) をとらないことを約束します。以下、この講義における可測関数と積分についての議論において、伊藤精三、§10]38 における可測関数の定義との一致を見ていきます。 。

定理 40 の注釈によれば、非負の単純関数を f として取ったとしても、この定義は単純関数の積分の定義と矛盾しません。非負 (非正) の可測関数には定積分があります。定義からすぐに、f が E 上で積分可能である場合。

たとえば、非負の可測関数シーケンス {fn} に対して f.One の場合、f が E に関する定積分を持っていれば、逐次積分が可能です。 。

つまり、E∈ F の場合、µY([E∩Ωk]x) は、すべての k に対する x の FX 測定可能な関数です。

微分

が続きます。命題 2 の残りの特性は、測度の非負性 (単調性) を使用します。加法集合関数が負の値を受け入れない場合、それはメジャーです。この場合、A⊂B が単調であれば、Φ(A)≤Φ(B) または副加法 Φ( になります。ここで、集合の加法関数が 2 つの測定値間の差として記述できることを証明します。また、それぞれが素集合上のキャリアであることもわかります。

定理 71 によれば、加法集合関数の特性は測度の特性に帰着します。たとえば、§10.1 で紹介されていない定理 2 の部分に関しては、H は上記の H です (Φ が有界であれば、対応する測度は µ(Ω)<∞ を満たします)。18 加法集合関数または測度が与えられた場合可測空間 (Ω,F) 上の µ の隣で、これは µ と絶対連続性と特異性の概念を導入する µ との関係を議論するために行われます。 。

特異集合関数にも同様の性質があります。 Ekc は測度であるため、非負性であり、命題 2 であり、単調性です。

11.2. 例

19960822 哲也は追加しました: [川田三村、§29] は、唯一のものを分割する存在に関して有限性 σ を仮定しない証明を提供します。 (負でない値がわかっているので、それを測定します)。 µ(E) = 0 であり、E.Ψ が µ に関して特異であることを証明できます。 2.

61 したがって、F(Ωn) は必ずしも定義されるわけではないため、Ωn に限定することはできず、μ(Ω)<∞ を受け入れることもできません。この場合、定理 80 と同様に、定理 71 より、F が非負定値である場合のみ証明すれば十分です。また、F は σ 有限であるため、実数値 (有界) をとると仮定できます。したがって、以下、F : F →R+ と表記します。絶対連続の有界測度 F の密度関数の存在の証明に進みます。 。

63μ が σ 有限でない場合、定理が成り立たない例 [伊藤誠三、反例 (p.132)]、つまり Ω = [0,1],μ=,F=μ1, χ∅ (関数0と同一のもの)はFkに含まれる。このようにして、証拠は密度が存在しないことと矛盾しないように崩壊します。 Ψ が特異であることを証明し続けます。 n∈N に対して Gn = 1nμ−Ψ とすると、Ψ は有限値であるため、Gn は加法集合関数 Gn: F →R∪ {+∞} になります。したがって、定理 74 より、ある程度の En∈ F が存在します。

12.3. 例

連続関数に加えて、微分と積分の間に関係があるかどうかも問題になります (具体的な例については §16.2.3 を参照)。補題によれば、これは微係数に相当します。たとえ一次元であっても、証拠は長いです。その理由の 1 つは、微分商 (微分係数) の存在がすべての x に対して成り立つのではなく、a.e. に対して成り立つためです。

垂直変動 V ̄,V が目安であり、V ̄ +V =V となります。積分の定義から(単純な関数も考慮すると)、測度空間上の加法集合関数によるルベーグ・スティルチェス積分と測度によるルベーグ積分の関係が問題になります。これを Φ =  ̄V −V,f =f+−f− として分解すると、非負値関数の測度をもつ積分が得られます。現在ラドン–。

定理 90 を絶対連続関数のルベーグ・スティルチェ積分に適用すると、次の結果が得られます。 .F(a) は任意の定数です。さらに、φ(x) が絶対連続であれば、最後の項は です。

注釈

RNf(x)dx がある場合、任意の y∈RN に対して、f(x+y),f(−x) もルベーグ可測であり、定積分 (数学的適用可能性) を持ちます。 (E はルベーグ可測なので)、f(x) の積分を E と Ec に分割できます。 f|E≡0 と [0,1]\E は開区間の直接和であることに注意してください。

つまり、f は [0,1] 上でルベーグ積分可能であり、その不定積分は F(x) です。したがって、この場合も、x=a における F(x) の適切な微分係数は 0 =f(a) になります。 例 91 ここで、リーマンは広範に可積分可能ですが、ルベーグは可積分できません: f(x) = 2xsin 1 。

RN 値関数をコンポーネントに分割して定義するという考え方の拡張です。 .単純な関数近似によるメジャーへの削減のアイデアの拡張。ボフナー積分など。

応用

Afndµ で近似できますが、単一関数の場合は µ(A) で評価し、supfn<∞ に注意してください。以下の議論の典型的な例は、考慮すべき関数の空間 (たとえば、微分方程式が適用される関数のセット) を考慮し、良好な特性を持つ関数のみからなる部分空間を取得し、その特性を証明することです。空間内で必要であり、有界閉区間上の連続関数は一様連続です。 。

定理 125 (ポアソン和の公式) R 上に連続関数 f がある。可測関数の合成に関する教科書のとある表について、複数の σ 加法族に基づいて合成関数の可測性を議論すると、 (70) のようになります。 、形式は範囲の点でも一般化されています。

を使用して測定可能な関数を定義し議論するのは自然なことです。区間については、ボレル可測集合族の観点からのみタブロー A を記述する意味に疑問が生じるのは自然だと思います。周内] 周内春夫、ルベーグ積分入門、1974、内田六角 まず可測関数と積分を定義し、その後測度を定義する。

参照

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