巡回 ÓÖ Ò×Ø Ò 商特異点の三角圏

(1)

巡回

^Gorenstein

商特異点の三角圏

大阪大学大学院理学研究科植田一石

Aを可換とは限らない次数付き^Noether環とし、^gr{Aを有限生成次数付き

A加群のなす^Abel圏、^D^b^(gr{A)をその有界導来圏とする．^D^b^(gr{A)の対象は、射影加群の有界複体と擬同型の時^perfet^omplexと呼ばれる．^Perfet

omplexのなす^D^b^(gr{A)の充満部分圏^D^b^(grproj{A)は^D^b^(gr{A)の三角部分圏になるので、商圏

D gr

Sg

(A)=D b

(gr{A)=D b

(grproj{A)

が三角圏として定まる．これを特異点の三角圏(triangulated ategory of singularitiesと呼び、^Aの射影次元が有限の時には自明になることが定義から直ちに分かる．

一方、有限生成次数付きねじれ^A加群の圏^tor{Aは^gr{Aの^Serre部分圏になるので、商圏

qgrA=gr{A=tor{A

が^Abel圏として定まり、その導来圏は

D b

(qgrA)=D b

(gr{A)=D b

(tor{A)

で与えられる．^Aが偏曲射影多様体^(X;^O

X

(1))の斉次座標環

A= 1

M

i=0 (O

X (i))

の時には、^Serreの定理により^Abel圏の同値

qgrA=ohX

が存在する．ここで、^oh^Xは^X上の連接層のなす^Abel圏である．

三角圏^T の半直交分解(semiorthogonaldeomposition)とは、^T の三角部分圏の組^(T1

;T

2

)で適当な条件を満たすものを指し、^T の局所化と密接に関係しているほか、^T が代数多様体の連接層の導来圏の場合には、代数多様体の極小モデル理論とも関連すると期待されている^[BO, ^BO01,^Bri02℄．^Orlov は^D^b^(gr{A)の半直交分解を巧みに用いることにより、^AがAS-Gorenstein環

(すなわち、^k⁼Â0が体かつÂの入射次元ⁿが有限で、ある整数âが存在して^RHom

A

(k;A)=k(a)[ n℄)の場合に^D^gr

Sg

(A)と^D^b^(qgr^A)の関係を明らかにした^[Orl05℄．

さて、^(a1

;:::;a

n

)を^gd(a1

;:::;a

n

)=1となるような正の整数の列とし、

R = C[x

1

;:::;x

n

℄をⁿ変数多項式環に^deg^x

i

= a

i

, i = 1;:::;n なる次数を入れたものとする．ここで^N ⁼^a1

++a

nとおいて、

A

k

=R

kN

(1)

(2)

によって新たな次数付き環^A(a

1

;:::;a

n )=

L

k0 A

k

を定めると、^Aは重み付き射影空間^P(a1

;:::;a

n

)の斉次座標環となる．また、次数付けを忘れると

Aは巡回^Gorenstein商特異点を定める；^Cⁿ^=G⁼^Spe^A(a1

;:::;a

n

):ただし、

Gは ⁼^exp[2^p ^{1 =(a}

1

++a

n

)℄に対し^g ⁼^{diag (}^a1^;^;^an⁾ で生成される^SLn

(C)の巡回部分群である．

一般に^GLn

(C)の有限部分群^Gに対して、既約表現を頂点とし、定義表現のテンソル積の既約分解の重複度によって矢印の本数を定めることによって^Gの^MKay箙と呼ばれる箙が定義される．また、^MKay箙には自然に関係⁽道代数の両側イデアル⁾が定義され、その表現の圏は^Cⁿ上の^G同変な連接層の圏と同値になる．^Gが上で与えられた巡回部分群の時、その^MKay 箙は^N 個の頂点^f

k g

N 1

k=0

と^nN 本の矢印^fx

i;k g

i=1;:::;n

k=0;:::;N 1

からなる箙に

x

j;k+ai x

i;k x

i;k+aj x

j;k

; 1i<j n; k =1;:::;N a

i a

j 1

で生成される関係を入れたものになる．

講演では、^Beilinsonの定理と^Orlovの定理を用いることによって、⁽¹⁾で与えられた次数付き環の特異点の三角圏が、^Gの^MKay箙から頂点を一つ取り除いて得られる関係付き箙の表現の導来圏と三角圏として同値になることを紹介したい^[Ued08℄．また、これは^[Tak05℄の結果をⁿ ⁼²の場合として含んでいる．

Referenes

[BO℄ A. Bondal and D. Orlov. Semiorthogonal deomposition for alge-

brai varieties. arXiv:alg-geom/9506012.

[BO01℄ Alexei Bondal and DmitriOrlov. Reonstrution of a variety from

the derived ategory and groups of autoequivalenes. Compositio

Math., 125(3):327{344, 2001.

[Bri02℄ Tom Bridgeland. Flops and derived ategories. Invent. Math.,

147(3):613{632, 2002.

[Orl05℄ D.O.Orlov. Derivedategoriesofoherentsheavesandtriangulated

ategories of singularities. math.AG/0503632, 2005.

[Tak05℄ Atsushi Takahashi. Matrix fatorizations and representations of

quivers I. math.AG/0506347, 2005.

[Ued08℄ KazushiUeda. TriangulatedategoriesofGorensteinyliquotient

singularities. Pro. Amer. Math. So., 136(8):2745{2747, 2008.