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全触圭 《ノダ

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Academic year: 2024

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(1)

全触圭 《ノダ 一0 諺粋

O 伽

夕 w 一 例3

v − I ↑ r

剴逗冬

(2)

lD

2次正方行列(No2)−演算

NobuyukiTOSE

MSF2019LO4,Apri l ,2019 (平成最後の講義)

■■■■

ピー=9

NobUyukiTOSE 2次正方行列(No.2)−演算

(3)

2次正方 行列の和とスカラー倍

) 。

(無二‐( 一 。』 ( )

A=

( 菫=(5 屍)=(:&) ) (b,)

B=

に対して, AとBの和と乗を

(無 :土:二=(弐十凧+屋)−

A+B=

(:芸二 :二:二=(罰,‑ 主‑尾)‐

A‑B=

と定義します. さらに入ERに対してAの入倍を

(逗 ) =順 吻一ム(入。Ⅱ)

入A=

1 1

1 2 1 2 b b b b

| 1 2 1 2 a a a a

と定義します.

、OQG'

"‐ NObuyukiTOSE 2次正方行列(No.2)−演算 3/7

(4)

演算

ベクトルの

(1)3, b, 5ERnに対して

3+b=b+3

(3+b)+5=3+(b+5)

が成立します. 〜‑うざャ芯七で

(2)3, bER"と入,"ERに対して 颪・§、ご論訂

(1) (2)

入("ヨ)=(入")5

(入の泥二頁三1M罰

順 三 入

(3) (4) (5)

、OQG'

NobuyukiTOSE 2次正方行列(No。2)−演算 2/7

(5)

定理1

定理1

2次正方行列行列A, B, Cに対して,以下が成京します.

(1)A+B=B+A

(2)(A+B)+c=A+(B+c) (3)入("A)=(M)A

(4)0+")A=入A+/LA (5)入(A+B)=M+入B

、OQO'

NobuyukiTOSE 2次正方行列(No.2)−演算 4/7

(6)

︵ 一 ︶ 垂

II

1 J ← l j

オーイ びノ ?−、P」 ≦b少 み=刺 刻、P」 Pjfゆノ シ、̲ノ

︶ ︶

̲ノ

″ c Y ︶ ︵ j ︶

(7)

︵ ン ア ︶ II(Ill │jl1ll

戸 〆 バ ー ︶ 剛 一 十 ︵ ン ス ャ ︶ ぬ ?

︹ p − P 〆 ︑ ︶ II

1 4

(8)

定理2−証明の 準備

)に対して

ヌー(

&I

(A+B)>r=A>r+"

I

A(M)=#邦守‑=MAr)

○,八)夷

、》 ⑮ = (司十言亀や壷>│4! (,い

二二 ,<! (ZI‑te,)キツ〔甦 L々e

ス 可ヤ天 豆 ヤXZqz.¥一ミ うく26℃ー、

γ

、OQO'

I

P NobuyukiTOSE 2次正方行列(No.2)−演算 6/7

(9)

灘Z ;鍛塁勇壌I謹空#

=… =夢鍵暫廻

定理2−証明

(1)x=(ji'>a) とXを列ベクトル表示すると

(A+B)X=((A+B)>a (A+B)xi)=(Aji,+B>a AZ+Bxi)

=(M[ Axi)+(BZ[ B>a)=AX+BX (2)

+ A A 1

1 1 椚 刑 冊 蝸 蝸

州 眠 伽

州 脚

(3)示すべき等式は (>、八)× 入(Ar! A、)二入(Ax)

A(入><) '' 11

1(

(A(M,) A(入萢))=((M)Z[ (入A)xi)=(入(Ajr,)入(Axi))

、OQG'

NobuyukiTOSE 2次正方行列(No。2)−演算 7/7

(10)

定理2

定理2

AB,X,Y,Qは2次正方行列とします.

(1)(A+B)X=AX+BX (2)A(X+Y)=AX+AY

(3)A(qX)=(QA)X=q(AX) 一今 (4) (結合法則) (AX)Q=A(XQ)

A叺X

(漁,)

B=(FW 、 〉<=(気

A二侭{ぬ)′B二( eし、 、〈

、OQG'

│■

NobuyUkiTOSE 2次正方行列(No.2)一演算 5/7

(11)

I I い 斎 S 印 望 洪

IJII1 IJIII IIIII

虹̲‑‑‑..‑.¥一

(12)

研 洲

mm I。ー

C=C- IQFL |’ tO

句 月

11111 IIII1

(13)

1 /−、

蹴 掛 詳 胴 誉

/−、

ご菅 Oy Q」↓ │| Q」↓

■■■■

Q」↓Q」↓

Q」↓C‑j

Q」↓

シ 叫 十 ひ ︒ Q」↓

ロー↓ 1III 11111 illll

、−ノ

(14)

列の基本性質

罰(二). 万一(屋). ゞ(二)

に対して

I (2重線型性一各列に関して線型)

順f 三口万壱再川5 ゞ,

'' *b"ゴ巨 "園q2̲e,

II (交代性)

薊亘L三二E具以≦‑ 叶い、

1I1 (正規性) ‑‑‑ = ‑喝典)

、jn' ,慰む呈罰̲,":;1‑

、OQO'

NObuyukiTOSE 2次の行列式 3/14

(15)

基本性質(│)の証明について

補題写像

(二)

F: K2̲>K

×

"・F(b) F(入5

を満たす.

P"q(十ノ入e{)‑r: (>、q,̲ヤメe,し)

>、菌ヤュ6二 入CPqIT3QL)十外(M!+F8")

FL("逼…

、 F((肋)。ゞ省F((恥

NobuyukiTOSE 2次の行列式 4/14

(16)

~T1 表 P 1 J

ン P イ ー シ ゆ

︵ 川 岸 ︶ T I ル

一 一

。」 P」

nn 1,コ ︵ I の 一 ︶ 黙 伊

(17)

トルと行列の転置(1)

ベク

ベクトルの転置

(二)

t 二二二 ala2), t(ala2 二二二

(二)

−̲ノ

(転置の線型性)す,BEK2に対して IIくき一室里>OIさ」潰絢̲、

(ハョ+"石)=消手 かゞ5

行ベクトルa=(ala2), b=(blb2)E(K2)*に対しても

七(M+"b)=入. ta+"・tb

団‑→ ‐い

<11イード諭刃

OQO'

2次の行列式

NobuyukiTOSE 6/14

(18)

1l │リ

ll

p

前 ︵ 四 声 ︶ 十 ・ し し

くも

(19)

ベクトルと行列の転置(2)

行列の転置2次正方行列

(宝)

(司王)=

A 三二二

に対して

‑(薑‐)

tA= tal ta2

、OQG'

2次の行列式

NobUyuki:TOSE 7/14

(20)

転置行列の行列式

2次正方行列A‑M)‑(:;)に対し℃

│tA│=叫 =│ . │[則。。§

二二二

:』

成分では 一一一 ckA−Bc

a b c d

a C α人−6(ー= 二二二

b d

、I

(諺合 {食I

、OQO'

2次の行列式

NobuyukiTOSE 8/14

(21)

行の基本性質(1)

I (2重線型性一行に関して線型)

パさ"bl‑'│:│+"│:│ 、 b三"」一八

+〃

G: (K2)*今K (×y)Rpx+9y

G(入a+"b)=>IG(a)+"GO<b)

を満たすことから示されます. または

パさ"bl‑'‑b} e'‑'A。+耐匡│=八'多匡│+"│"cl=RHS

=入 │&|いみ│達1

、OQO'

1

1 NobuyukiTOSE 2次の行列式 9/14

(22)

行の基本性質(2)

II (交代性)

直接示すのが簡単ですが,将来一般的な場合を考えることを考慮して

b

a

三== 二=二一 ===−

b a

、OqG'

10/14 2次の行列式

NobuyukiTOSE

(23)

P

行の性質(1)

a =0

a

ll'

某本性質11 (交代性)を用いて

===−

から分かります.

、OQO'

NobuyukiTOSE 2次の行列式 11/14

(24)

行の性質(2)

IV

L

基本性質IとII (交代性)を用いて

、OQO' 12/14

2次の行列式 NobuyukiTOSEL−D

(25)

行列の積の行列式(1)

vx,YEM2(K)に対して〜〉 ×TGH2ule)

│XY│=│XIW│

(是 )

9192

(3b), Y=(戸可)=

X=

( 《爵息)(鳥)眼ご)(詮、)

(p,3+p2bq,3+(72b)

とすると /i

XY=

、OQO'

2次の行列式

NobuyukiTOSE 13/14

(26)

軸 望 S 跡 S 司 望 乳 宿 ︶

ペ ー

|||’|||

b 骨 ・ P

b

︵ b ﹄ Q 四 l b P ・ 骨 ︶

Q」↓ Q」↓ O‑J

Q」↓ ロー↓

Q」↓ C‑l

Q」↓ O‑J

ご 皿

|

| ぺ 一 ・ l x

囚■ ]UII 1II1 IIIII

﹄ や ︑ ﹄ 一

(27)

行列の積の行列式(3)−応用

IA、〆(1=IM=1

A.A‑{ =:丁2

IM、 IA弐I

定理AEA/i2(Kが箙則ならば( )

{い=−L

│A│≠0 IAI

A:$Q(1 一→い忌

IAIキo

、OQG

2次の行列式 15/14

NobUyukiTOSbH uk T E

(28)

PQ/Kスも

2平面の交わり 。ベクトル積

NobuyukiTOSE

April23, 2019

、OQO'

I NObuyukiTOSE 2平面の交わり ,ベクトル積 1/1'

(29)

2枚の平面が定める直線

い)へ皇)

〔L)〆 、一弓

座標牢間の点(X,y,z)が方程式

1 ・ ・ (1)

−1 ・ ・ ・ (2)

x ‑y+z

2x+y‑z

ニニニ

二二二

を満たすときx,yをzで表しましょう.

1‑z (1)ノ z‑1 (2)ノ

x −y

2>< +y

二二二

二二二

とxとyの連立1次方程式とみなします.、

れをクラメールの公式で解きます.

1

1

1

1−1 2 1

、OQO'

NobuyukiTOSE 2平面の交わり ・ベクトル積 2/1

J

(30)

淀める直線(2)

2枚の平面が

I l

く C

弓 峠

一 一 二 I

u 0 u 0 老

6 4 1

(、̲ )い{

1

司』

3

;{('■ゞ) 】‐

1 11 1‑z 3 12 ̲1+z

:{'(‑'+z)

X二=

1

3.0=0

(‑1+z)(‑1)}

ニーー

y ニニニ

2 (1−ゞ)}=;(3ゞ‑3)

=z‑1

二二二

、OQO'

[ NobuyukiTOSE 2平面の交わり ベクトル積 3/1

(31)

2枚の平面が定める直線(3)

mfH)J"

となるので(0ヌー'、0)を通り(1)が方向べクトルである直線であること

が分かる. これは(1)が定める平面と(2)が定める平面の交わりがなす直

線であることが分かる.

、OQO'

4/1

2平面の交わり ・ベクトル積

NobuyukiTOSE

(32)

○ 戸 十 9k

/一一 /一一 三P OP 奴デも :宵←二戸 一一砂ユ ○≠ネュ ヘーノ、̲/

フ p 易

○ 一

、−・」 /〜 伶、, へへ一 L一一 ・」

つ P F 戸 ︿

、̲一

P 一

︵ か く

〜一

(33)

平面の方程式

点(0,‑1,0)は

1…(1)

x‑y+z ニニニ を満たす. これから

(1)

X− y

(−1)

二二三

‑) 0 三==

×− (y+1) +z=0…(1)ノ

となります. (1)'は

(学) (を')=。

億三

、")QO'

2平面の交わり ・ベクトル積

NobuyukiTOSE 5/1

(34)

韓塞,雷墨…血 繕:一一一

平面の方程

式(2)

(羊)

(1)は法線ベクトルが

ます.

で(0,‑1,0)を通る平面であることが分か

、OQO'

6/1

2平面の交わり・ベクトル積 NobuyukiTOSE

(35)

== 唾ぎゃ骨夢鐸増ー局 j語5 1Y露磨等…

2平面の交わり

0 1 1

い)

1

1

ベクトル(:)は平面(1)と平行であり,

平面(2)とも平行である. これから

、鯉...・・・・・・...】

◆◆4

◆◆

◆◆

雰句町口■ロ■ロロロ■ロロロロロ■。

【 l )

[2)

(1)

/小I−1/l

&L)

、")QO'

2平面の交わり ・ベクトル積

NobUyukiTOSEb 7/1

(36)

一一一 のくbX> 〜一一 、一一

一 一 一 一

一一一 の灸。 (、j/M ̲ノ

夢⑪

ジノ

一 昨 一

l 亨 禍

シ 柵

○ ︷

ーー イナ0

0 ¥

︑ や

一 触 一 峠 寸

←一− ゐくbp P『Jノ、′ 一一 II l tlン

│氣二ll

1 ン作0 一一一 ハ命p 坐̲一

I レ ン

︵ 岬 一 一

u-4 0

メつ II Lノ

(37)

ト/、ノ O f‑ll

#急

トノ1,、 ろ乙 J"I 小p f2ズーg−bg‑bP c6cbT。f' (J"−一 1

タ 門 抑 布 一 四 J

l 到安 一一〜 rつふ至 一一

l l

¥ ぬ 便

一 一

p

ll ○J

P 一 命 一

夕 P や r

/、 ︿

ヘーノ

(38)

一 ︾ 手

4 T u」

ll 0 0

(39)

2平面の交わり(2)

(言)寿邑(蚤)キ菅

護士 二 圏

を考えます. (1)と(2)の法線ベクトルについて

FFG)≠6, p2 ≠,

が成立するとします≦ら[ 冨

D= al

bl

弓‐

を仮定します. f計f,

、OQO'

2平面の交わり・ベクトル積

NobuyukiTOSE 8/1

(40)

2平面の交わり(3)

の公式を

クラメール

1

ニニニ

oJ1 bl cM2 b2

X

1

y=万

が従います. さらに ルで表すことによっ

ゞ 芝 竺幸

t==舌とパラメータを定

−−う 3=亡D

≦I

結果をベクト

Q'Q2

Qi RL I

② 吉il¥1

と2直線の交わりは直線としてパラメータ表示される鄙 、OQO'

2平面の交わり ・ベクトル積

NobuyukiTOSE 9/1

(41)

2平面の交わり

(4)

−ベクトル積

窒1 で‑冊、

al a2

pl×p2 :=

: ,

(ベクトル積) と呼びます. このと

を戸,とめの外積

戸1̲L戸1×座, p2̲L戸1×比

、が汁、3.

r玉工

旭t

号'=うい 代浄い 二 !課 、、、

、OQG'

10/1

2平面の交わり トル積

NobuyUkiTOSE ベク

==錘

黙象

瀝麺=垂

(42)

Pα/、ノt千

1

ベクトルの内積とその応用

戸瀬信之

ITOSEPROJECT

MSF2019, LecO4, 2019年04月30日(平成最後の講義)

呂=

2019年04月3剛侭

RISF20g, LeC64,

ベクトルの内積とその応用

戸瀬信之(lTOSEPRO」ECT)

(43)

列ベクトル

、 量 1

X1 X2

(1)

X=二

y ニニニ ER"

Xn

{肋

ERに対して

胸 施 肋

刈 池 恥

/ I

1 1

入X1 M2

xl‑j/1 x2‑)/2

叉+ア 二二二 ニニニ ,順X ==

入x〃

xh‑j/h

MSF20g, Lec64,201j年042 ゞン旨 I ノマ

戸瀬信之(ITOSEPRO」ECT) ベクトルの内積とその応用 /20

(44)

行ベクトル

"次元行ベクトル

x=(x,x2 ・ ・x")

(転置)

ix&, /町i

X2 t X2

い"ノ 恥ノ

t(x,x2 …x")= ニニニ (x,x2 ・ ・ ・X"

WISF20g, Lec54,

二、 三,

2019年04月 30口 (半俔

戸獺信之(1TosEPRoJEcT) ベクトルの内積とその応用 /20

(45)

1 曇1鍵盈識窒蕊鯉"̲エ…. 雲翠 辨竪 膳翼軸鐘蕊 錨熱躍鰹鍾;蝉

トルと行ベクトルの積 列ベク

I屋 1

I;ノ

a=(a,a2 ・ ・ ・an), b 二二=

a2b2+・・・+anb"

後に1× 、行列と、 なる。

合一、

fa. h>RW

h伯へも'l 崎§(

量 )(ご》.『、,

30日(平児

呂=

2019年04月

nIsF20B, Lec64,

ベクトルの内積とその応用

戸獺信之(ITOSEPRO」ECT) /20

(46)

ベクトルの内積

V、ぶよ歩'ま

ヌ,"ER"に対して d式P,詞adム今或 ivi'v、兵〆、一

n

Exij'I=x,j''+x2y2+…+xhj/h

/=1

(ヌ,ア) =x・y→→ ニニニ

統計学に関連することを勉強するときは公式

︑ ︑

tW=(x,x2…xn) 二二二 (ヌ,ア)

j/n

が有用である。

RISF20", Lec64, 201;年042

戸瀬信之(ITOSEPRO」ECT) ベクトルの内積とその応用 シシ戸/20 I ノ宅

(47)

ベクトルのノルム

Tこ琶さ

I1RII=

=ERnに対して

ノ7

1 1xl l2=(")=Ex;

/=1

(2)

| │叉│ │≧0

1 1叉│ │=0骨ヌー0

、 ̲"。,:

‑0 一一う '(f‑‑ =x&=。入f=‐ =x 二 。

IJ ーー I f"Z/o瓜とうし

一〉

F(‑t ‑‑ R二・ =.r,=・、 、二P"=o 一事

B, Lec64, 2019年04月=昌 一雪

MSF20

戸瀬信之(ITOSEPROJECT) シシ局 /20ベクトルの内積とその応用

(48)

内積の基本公式

ヌ,ア,ZER〃と入ERに対して

(更 (責

+(ア,三) (3)

(4) (5) (6)

與三Z三上互上

(ヌ,言)

X, y

MSF20", Lec54,201;年04:30智倖ロ

戸瀬信之(ITOSEPROJECT) ベクトルの

参照

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