人類の至宝＝オイラーの公式.pdf

人類の至宝＝

オイラーの公式

今回は，前回の「一番美しい等式」 のもとになった

やはり数学者オイラー が発見した「

オイラーの公式

」を紹介しましょう。

この公式は，今や複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理 学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じるなど，さまざまな分野で 必須の式であり，自然界のしくみを解き明かすうえでなくてはならないものになってい る 。 ア メ リ カ の 著 名 な 物 理 学 者リ チ ャ ー ド ・ フ ァ イ ン マ ン（Richard Phillips Feynman，1918～1988）は，この公式を“This is our jewel.”（

人類の至宝

） かつ「

すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式

」 だと述べている。

指数関数e^xや，三角関数の sin x，cos x は，x の多項式で表すことができる。単に 多項式ではなく，次に示したように，項の数が無限に続く多項式（無限級数）になる

（ 「マクローリン展開」，Maclaurin series ）。





















1 2! 3! !

3 2

n x x

x x e

n

x 　 　 (*)

   ^















 ^{ }

! 1 ) 2

1

! ( 5

! sin 3

1 2 1 5

3

n x x

x x x

n

n (**)

   ^















 ^{ }

! 2 ) 2

1

! ( 4

! 1 2 cos

2 2 1 4

2

n x x

x x

n

n (***)

次に虚数単位 i の登場だ。オイラーは，「式(*)に，xi を代入したものを eⁱ の定義と

する」と決め， ^{i21, i3 ii2 i, i4 }

 

^{i2 2  12 1, i5ii4 i, を踏まえ，(**)，}

(***)に 代 入 し た も の も 合 わ せ て ， 次 の 公 式 を 導 い た の だ 。

      

  



^

 















 ^{   }

! 1 1 2

! 2 1 2

! 4

! 3

! 1 2

1 2 1 2

2 1 4

3 2

n x i n

x x

x i ix x

e

n n

n x n

i 　 　

     ^













 ^{ }

! 2 1 2

! 4

! 1 2

2 2 1 4

2

n x x

x n ⁿ

　

　

    ^_^



 

 











 ^{ }

! 1 1 2

! 5

! 3

1 2 1 5

3

n x x

x x i

n

　 n

　  cosxisinx

「オイラーの公式」で x を代入すれば，cosπ =－1，sinπ =0 より, 直ちに「オイラーの等式」を導くことができることを確認しておこう。

スイスの第 6 次紙幣（1976～1979 にかけて発行）の 10 フ ラ ン 紙 幣 の 表 に 登 場 し た オ イ ラ ー の 肖 像 https://ja.wikipedia.org/wiki

0 1 



 e

i

x i

x x

e i  cos  sin