( ) ( ) ( ( ) [ ( ) { } ( ) ( ) θ ( ) ( ) ( ) ( )

期末試験問題（線形代数Ⅱ）解答例

１．b

 AB  [ 5 , 4 , 4 ] ,

c

 AC  [ 1 , 1 ,  1 ] ,

d

 AD  [ 3 , 2 ,  1 ]

と，四面体の体積が平行六面 体の体積の

1/6

になることを利用すれば，

     

6 7 7 6 1 1 4 2 4 1 6 5 1 1 2 3

1 1 1

4 4 5 6 1 6

1           







 b c d V

２．例えば，



^{2 2 2}



^1/2



^{2 2 2}



^3/2



^{2 2 2}



^3/2

2 2

2

2

2 1

1  

^

   

^

   

^



 



 

 x y z x x y z x x y z

z x y

x x

^{よ り ，}

 x y z   x y z 

f , ,

grad  

²



²



^{2 3/2} ，すなわち，P点における勾配の値は

   ^{3 , 4 , 5} 

2 250 5 1

, 4 , 3 50 50

grad f

_P

  1  

．

一方，

a  3

より，a方向の単位ベクトルbは

  ^{1 , 1 , 1}

3

 1

b

．ゆえにa方向の方向微分係数は

125 6 6

250

grad   12  



 f

_P

f

D

_a

b

３．平面におけるグリーンの定理を用いて線積分を二重積分に変形し（被積分関数を3x² – 6y²と した人多数！），x = rcos, y = rsinと変数変換して積分を実行する．このとき，ヤコビアンJ = r となることに注意する．

 

 ^{x y}  ^dxdy  ^{x y}  ^dxdy

^

^r  ^{ }  ^{rdrd }

d

^a

R R

C

   

 ^{      }

0 ² 0

^

2 2

2 2

2 2

2

6 3 2 3 cos 2 sin

3

r

F

 

16 9 4 3 4 3 2

2 cos 3 4 sin 3

2 cos 3

4 2 4

0 4 0

2 3 0

2

2

a a

a d dr r

d 

^a

   





^



    

   

４．

     

15 8 5

1 3 2 2

1 1

1

1

0 5 1 3

0

4 1 2

0 1 0

1 0

2 2 1 2

0 1 0

2

2

  

   

















  

^

^zdydx  

^

^{x dydx}  ^{x dx}  ^{x x dx x x x}

V

^{x x}

５．

 

       



  



SF n

^dA

T

2 sin ^x cos ^x 1 sin 2 ^{x dV}

T

^{dV V}

（Vは空間領域の体積）

（空間領域は底面の半径1，高さ1の円柱だからV = ）

※ ３．～５．において，少なからぬ人が積分領域を間違えて計算していました．例えば，３．

において

 

0^a 0^a

^dxdy

としたら，これは円ではなくて矩形領域で積分することになってしまいま す．二重積分あるいは三重積分においては図を描いて確認する習慣をつけましょう．