1
論 文1
UDC ：624．
131．
55 ：624．
042．
7：517．
9 日本建築 学会 構造系 論文報 告集 第 383 号・
昭和 63 年 1月粘
弾
性 薄 層 地 盤
モ
デ
ル
に
お
け
る
境 界積 分 方 程 式 法
の
利
用
ね じ れ振動
の場
合
正 会 員 正 会 員 正 会 員吉
藤
藤
田井
谷
長大
義
行
＊ 地＊ ＊信
＊ ＊＊L
序 半 無 限 自 由地 盤の一
部が 切 り 取 られ て新た な境界面を 付 与さ れ た地 盤を掘 削地盤と呼ぶ。
本論文で1淘 粘弾性 多 層 構造 を有す る掘 削地 盤の 解 析 法 を提 案す る。
掘 削 地 盤 解 析の 多く は 埋 込 み 基CU1
）や地 中構 造 物およ び不 整 形 地 盤Z〕を対 象と し たものであ る 。 これ ら 以外に も， 地 盤 の局 所 非 線 形 解 析を行う場 合の準 備解析3）と して，
掘 削 地 盤 解 析は 重要で あ る。 掘 削 地 盤に関 する多く の数理問 題は， 掘削面の境界条 件と自由 地 表 面 条 件お よ び無 限 遠 方にお け る進 行 波 条 件 を半 無 限 弾 性 体の 境 界条件と して課 す 外 部 境 界値問 題に 帰 着さ れ る。 半無 限弾性 体の動的グリー
ン関数 （点 加 振 解，
リング状線加振解 ）を利用し た境 界積分 方 程 式 法は，
これら の境 界 条 件を 適 切に評 価し得る 解 析 法で ある。
こ の解 析 法の有 効 性は採 用す る動 的 グリー
ン関数の計算法 に大き く依 存 し て い る。
本論文が対 象と す る粘 弾 性 多層 地 盤の動 的グ リー
ン関 数と して は，
伝 達マ トリクス法に よる厳 密 解4〕と薄 層 法に よ る近 似 解5 ）・
6 ）・
1 ）が 知 ら れ て い る。
伝 達マ ト リク ス法の 解は，
波 数に 関 す る片 側 半 無 限 積 分に よ．
っ て表さ れ，
これ を 加振 点と観 測 点の組み合わ せ ご とに数 値 積 分して得ら れ る。一
方， 薄層 法で は波 数 に関する大 次 元の複素固有値問 題 を 解く 必要があるが，
数 値 積 分を 必要と せず，
し か も 多点で の即時 計 算が可 能 であ る。 し た がっ て，
動 的 グリー
ン関 数 を多 点で大 量に 計 算する必要の あ る境界積分方 程 式で は薄 層 法が有 効で あ る と考え ら れ る。
さ らに，
グ リー
ン関数の変 位 解の み が必 要と な る自由地 盤の解析に対し， 掘 削 地 盤の解 析で はグリー
ン関 数の応 力 解の計 算 を も要 求さ れ る。 こ のた め グ リー
ン関 数の計 算 量は膨 大と なる。
こ の こ と か ら も 境 界 積 分 方 程 式 法に よ る掘 削地 盤の解 析では， 計算量の 点で薄 層法 が有利であ る。
し か し な が ら，
薄層法グ リー
ン関 数は地 盤の深さ方 向 に有 限 要素法 的な手 法を用い て得ら れ る近似 解であ る。
’ 広 島 大 学 助 手・
工 博 ＃ 広 島大 学 大 学 院生・
工 修 掌 ＊ ＊ 広 島 大 学 助 教授・
工博 〔昭 和 62年 4月10 日原稿 受 理1．
こ の た め， 次の 二つ の重 要な問 題が発 生す る。一
つ は， 内 部 共 振の問題であ る。
これは外 部 領 域 （掘 削 地 盤）の 解 析 振 動 数が内 部 領域 （排土 地 盤）の共 振 振 動 数と一
致 する場 合に解の一
意性が成立し な く な る た め， 内 部 共 振 振 動 数 付 近で解が大き く乱れ る現 象 を 指 す。
しかも，
こ の内 部 共 振 現 象は グ リー
ン関数の応 力解の精 度の低 下に 比 例し て内部 共 振 振 動 数付近の よ り広い振 動 数 領 域で発 生するS 〕。
こ の た め薄 層法グリー
ン関 数の よ うな近 似 解 を利 用し た掘 削 地 盤の解 析に当たっ て は， こ の よ う な内 部 共 振 解の発 生を解析対象振動 数 領 域か ら除 去する必 要 が あ る。
こ の 問 題に対す る解 決 法 として は，Sanchez−
Sesma
ら9〕によるグリー
ン関数分布法と最小 自 乗 法の併 用が代 表 的であ る。一
方， 境 界積 分 方 程 式 法 を利 用 する 立 場か ら内部 領域に静 止 条件を課す拘 束 点を置き，
これ に よっ て増えた条 件 式 数を ラグラン ジェ 乗 数 法に よっ て 処 理 する方 法がRizzo
ら川 に よっ て， 最 小 自乗 法に よっ て処 理す る方 法が井口 ら11）に よっ て提 案されて いる。 また内 部 領 域に空孔を設け， 空 孔 表 面に も境 界 積 分 方 程 式を適 用す ること に よっ て内 部 共 振 解 を上 昇 させ る方 法が筆 者ら8〕によっ て試み ら れてい る。
ほかの も う一
つ の問題は， 応 力 場の精 度で ある。
薄 層 法グ リー
ン関数の応 力 解の精 度は加 振 点 近 傍で著し く悪 化する。
こ の た め，
境界 積 分 方 程 式 を離 散 化す る場合に，
グリー
ン関 数の応力解の積分 を加 振 点を含む要 素上で適 切に評 価す るこ と が で き ない。 これは境 界 積 分 方 程式法 に よ る解 析の 精度 を大きく左 右 する重 要な因子で あ る。
こ の ため，
排土 地 盤 を有限要 素 法で解 析し，
掘 削地 盤の 変位場 を境 界積 分 方 程 式 法で解 析す る結 合 解法IZ ］も 提案 され てい る。
こ の解 法では グ リー
ン関数 応 力 解の計 算を 回避する こと がで き る が，
排 土 地 盤の解 析 を要する ため 未 知 量が大 幅に 増大する。
し たがっ て， 未 知量の よ り 少 ない境 界 積分方 程 式 法に よる単 独 解 法を掘 削地 盤の解 析 におい て可能にする た め，
上述の積分項を何ら かの修 正 条 件を 用い て再 評 価 する必 要が あ る。
弾 性 多 層地 盤に対 しては すで に筆 者らに よっ て，
内 部 領 域の応 力 が実 数で ある ことを 修 正 条 件と し て用いる 方法S） が提 案され て い る。
一 98
本 論文では
，
よ り一
般的な粘弾 性 多層 地 盤 を対 象に，
内部 拘束面と呼ば れ る新た な境 界 を 内部 領 域に設 定す る ことに よ り上記の 二つ の問題 を同時に解 決す る方 法を提 案す る。 そ こ で，
本 論 文と文 献8）の前 論 文との閧 連を 整理 して お く。
（1）前 論 文の対 象は弾 性 多層 地 盤である。
そ れ ゆ え，
内部 領 域の応 力が実 数とな る の で， こ れ を応 力マ ト リ クス の 修正条 件と し て用い て い る。
こ れ に対し， 本論文の対象は粘弾性 多層 地 盤であ る。
応 力マ トリクス の修IE
条件は内 部 拘 束 面を加 振させ ても掘 削 面 を静 止さ せ れ ば外 部 応 力は発 生し得ない とい う事 実か ら導か れ る。
（2
）前論文で は内 部 共 振 振 動 数 を 上 昇させ る た め 内部 空 孔 が 設定さ れるe 本 論 文で は， 面 積が境界積分 方 程式の分 割 要 素に相 当 する複 数の内 部 拘 束 面 を 導入 す る。 内部 拘 束 面の採 用は配 置の分 散 と設 定 個 数の 自由度 を 高 め る た め，
内 部 領 域に お け る よ り少な い要素分 割を 可 能にす る。 し た がっ て，
計 算 効 率は前 論 文に比し て一
般に有利で あ る と言え る。
（3） 本 論 文で は前 論 文で記 述 してい ない掘 削 面 自 由の場 合の インピー
ダン ス と地 震 強制力の定式 化を行 う。 本 論 文の構 成は，
最 初に境 界 積 分 方 程 式 法の定 式 化と その離 散化 式 を誘 導す る。 次に境 界 積 分 方 程 式 法の立場 か ら基本物理 量であ る掘 削 地 盤の イン ピー
ダンスマ ト リ クス と地 震強制 力ベ ク トルを定 式 化する。
最 後に軸対称 掘 削 地 盤のね じ れ動 インピー
ダン ス解 析を行うこ とに よ り提 案手法の 有 効 性 を確 認 する。
2．
定式化 2−
1 境 界積分 方程 式 図一
1は，
掘 削 地 盤の解 析モデルを 示し てい る。
こ こ に，
図中の記号は以 下の もの を表 す。y
：掘 削 地 盤 （外 部 領 域），V
’
：排土 地 盤 （内 部 領 域 ）， V”
：領 域V〆
内 の空孔領域，S
ノ：自 由 地 表 面，
Sd
：掘 削 面，S
吉：領 域V
” の上 部 表 面，S
； ；領 域y ”
の下 部 表 面，
n ：領 域V ’
内に向か う法線ベ ク トル。図中の各 点と法 線ベ クトル は 三次 元 直 交デ カル ト座標 系において定 義さ れ
，X ＝
（X1，
X，，
X3），
ξ＝ （6
，
e
，
，
g
，），
n＝ （nl，
n2，
n3）と表さ れる。
また， 以下の記述で方 向 を表す下 添字は1，
2，
3をと り，
総 和 規 約に従う も の と す る。
sf 図一
1 掘 削 地 盤の解 析モ デル ゾ「
半無 限粘弾性 地 盤 （Xs≦0）の
X
点にお け るi
方向点 加 振に よる ξ点で の 」方 向 変 位を u、J（X
；ξ）と する。
変 位 を ξ点の座標で微分し て得ら れ るひずみを 3‘丿k（X ；ξ）＝
（1／2）ヨ∂u‘丿（X ；ξ）／∂ξ， ＋ ∂u ‘鳶〔丿v
；ξ）／∂ξrレ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（1） とする。 これ らの ひずみ か ら応 力を次の よ うに表 す。
∂Wit（x ；ξ〉＝
λ（ξ）Eimm
（x
；ξ）δ」k 十2
μ（ξ）9w
κ（X
；ξ）・
……・
…・
…・
〔2 ） こ こ に，
δ」h は クロネッ カー
の デル タ記 号， λ（ξ），
μ（ξ） は ξ点の ラー
メの定 数で ある。 また， λ と μ は地 盤の 粘性 を表現 す る た め，
虚 数 単 位i
を用い て λ＋2
μ＝
儀＋2
μ。）（1
＋2h
，i
），
μ＝
μ。（1＋2hsi） と与え ら れ る。
上式 よ り
，
ξ点で法線 n を有する面のj
方向 表面力 は次 式と な る。ρ‘丿（
X
；ξ）＝ δ ‘ih（X
；ξ）ηκ（ξ〉・
・
・
・
・
・
・
…
一一一…
（3 ）
加 振 点
X
が領 域y
内にあると する。
こ の と き，
領域 y 内の変位 u と表 面 力Piの間に次の よ う な関係13） が あ る。
Ul （・）・
fb
・（x
・ξ）u、（ξ）・S
（ξ） Sd−
f
… （・ ・ξ）・’〔ξ）dS
（ξ）…一 ……
（・） Sd一
方，
領 域 レ’
の変 位 ul と表 面 力 plの間に は次 式が成 立す る。
∫
Pl
’（・・ξ）u，（ξ〉・・（ξ） Sd十 ∫e＋ 十Se−
−
fUl
’（x ・ξ〕・P ；・
（ξ）・・（ξ）・
・
…
（・） Sd＋
Se＋
畳Se一
こ こ で，
Sさ とS
；を 接 近 させ，
S吉と S；が そ れぞれ新 た な面S。
の上 面と下 面と な る ようにすると，fip
、、（x ・e
）・u；（ξ） Se＋
Se−
−
Uw （丿r
；ξ）P｝（ξ）｝dS
（ξ）イ
ヨ・蜘 （・・ξ｝・、脚 ξ）．
9e＋−
Uij（x ；ξ）P；＋
（ξ｝I
dS
（ξ）・
f1
−
・，， ・（・…6
）・n，・（6
）・u；・（ξ） Se−
−
u‘丿（x ；ξ）P；一
（ξ）｝〔iS
（ξ｝一
一
f
… （x ・ξ）・1
・；’
・（ξ｝・・P・’
（ξ）idS
〔ξ）…・
（・） Se こ こ に，
p；＋ とp｝一
は そ れ ぞ れS
。の上面と下 面に おけ る表 面 力であ る。S
己上で Ui＝ 蛎 とし，
さ ら に （6＞式を 考 慮 して （4
） 式か ら （5 ）式を 差 し引く と，
Ui （x） 一fUw
（x ・ξ瞭 ｝一
・多（ξ）ldS
（ξ） Sd一一
99
一
一
∫
蝋 ・ ・ξ）1
・1
’・（e
）・ ・；一
・（ξ）1
・dS
・（ξ）…一
の Se こ こ で，
ソー
ス （加 振 強 度 ）分 布Odを・・ξ・
一
臨
お
瓢
1
；
．s
。’
・
………
（・・ と定 義し，
これを （7）式に導 入 すると次 式 を得る。
Ut（x）−
fUw
（・ ・ξ｝n」（ξ）dS
（ξ｝・
…・
…・
…・
・
（・） 5t ；St＝
Sd十Se
ところ で， 以 上の よ うなS
畜とS
； を接 合す る手順によ れば，X
点 が 領 域V
’
ま た は，
V ”
内にあっ て も上 式と 同一
の式が得ら れ る。
そ こ で，
上 式にお け るX 点をS
， （＝Sd
＋Se
） 上に移 動 すれ ば，
変位に関す る境界積分 方 程式 が 得ら れる。
（9 ）式をX 点の 座 標で微 分する と
，
法線 n を有す る面上のX
点に おけるi
方 向 表 面 力が次の よ うに求め ら れ る。
・・（・｝一
∫
・・（・・ξ）n」（ξ＞dS
（ξ）……・
…・
…
（1・） St こ こ に，
P“（X
；ξ）＝
atW （A〔；ξ＞nκ（X） σ 燭 （X
；ξ｝＝
λ（X
）εmn 」（X
；ξ）飢産 ＋2
μ（X）εtnt（X ；ξ） εilti（X
；ξ）＝
（1／2）1
∂Uw （X ；ξ）／∂丿【k十 ∂Ubl（
x
；ξ）／∂x
‘｝ （10 ）式のX
点 をS
，に移 動 する と次 式と な る。
ρ‘（X
）； c‘丿（X ）恥（X）・
fp
・・（Xl ξ）n・j（ξ）dS
（ξ）… 一
（ll） St X 点 近 傍が滑 ら か な境 界で は，
c“＝
（±1／2）δ‘∫と な る。
± は X 点がS
‘上に領 域V
よ り近づ く と き 正 を と り， 領 域V ’
よ り 近づ く と き負 をと る。
本 来，
掘 削 地 盤V
の 運 動は実 在する掘 削 面S
。上の ソー
ス分布の み によっ て表 現し得る。 こ の場 合，
掘 削 面 上以 外の点にお け る変 位 を規 定する ことは で き ない。
こ れ に対 し，
本報告の定 式 化で は内 部 領 域 V’
内の仮想面 S。一
ヒに もソー
ス分 布 が 付 加されて いる。 し た がっ て， （9）式の X 点をS．
上に置け ば掘 削 面上以 外の内点の 変位を も拘 束す ることがで き る。 こ の よ う な 意 味に お い てSe
面 を 内 部 拘 束 面と呼んでお く。
これは後 述するよ うに，
内部 共 振 解の 除去と応 力マ トリクスの修 正に関す る条 件 を 求 める た め に利用され る。
2−
2 内 部 拘束面によ る内 部 共 振 解の除 去 （9 ）式の同 次 方 程 式fUv
（X ・ξ）n」（ξ）・S（ξ）一
・…S・………
（・2＞ St が O」（ξ）＝
0以 外の解を有す れば，
（9） 式の 解は一
意に 定まらない。
以下にこの よ うな解が存 在す ること を 明 ら一
100
一
かにす る。 領域V ’
におい て，
境界条件 u；（ξ）＝ 0 ；∈S
，・
…・
……・
・
・
・
・
………
（13） を満足 す る解が存在す る な らば， （5）式と （6） 式よ り ・一一
f
・ ・（x
・．
ξ）P；（ξ）・S（ξ） Sd一
∫
砺 （・・ξ）1
・；＋
（ξ｝・ ・3
−
（ξ）｝・・（ξ） Se ；X ∈S
，・
………・
・
…・
…・
…・
・
一 ……tt−
（14
） が成 立し ている。
し た がっ て，
（ユ2）式と （14）式の 比 較よ り （12
）式におい て・・ξ・
一
に
誤
、論
、ξ．Se
…一
・15 ・ と な る自明でない 解が存在す る。
こ のと き，S
．上で は変位の連続 性よ りUJ＝0，
（8 ） 式と （15）の比較よ りρ，＝O
で あ る。
これ ら を （4 ）式 に代入 す る とX
∈y
に対しUj（X
）＝ oと な る。
す なわち， （12）式で 自明でない解が存 在す る と き領域V
は静 止し て い る。
こ の よ う な現 象を領 域V ’
にお け る内部 共 振現 象 と呼ぶ 。 ま た，
自 明で ない解 （15
｝式を内部 共 振解と 呼んで いる。 以上 述べて き た よ う に内部共 振解が存 在す る場 合に は，
（9）式の解を一
意に定 め るこ と ができ ない。
したがっ て，
（9 ）式と （ユ1
）式に基づい て掘削地 盤の 解 析を行う場 合には解 析の対象と な る振 動 数領域か ら内 部 共 振 解を除去 す る 必 要 が あ る。
それゆえ， 内 部 共 振 振 動 数の下 限 値をω’
，
解 析 対象振 動 数の上限 を 娩肌
と す る と，
少な く と も 働 ＜ω’・
・
……・
……・
一 ……・
………・
……・
（16） と なるよ うに内 部 拘 束 面の設定個数と配置に留 意すべ き で あ る。
一
般に内部 拘束面を適切 に均等配置す る な らば， ω’
は， 内部 拘 束 面の個 数に比例して上昇す る。
一
様 地 盤にお け る剛な掘 削 面のインピー
ダンス関 数は 振 動 数の増 加と共に高 振 動 数 域の漸 近 解に滑らか に収 束 する。 した がっ て，一
様地 盤では上 記の インピー
ダンス 解 析に よっ て （16
）式の検定を容易に行うこ とがで き る。
一
方，
多 層地 盤の・
f
ンピー
ダンス関 数は漸 近 解に収 束 す る 以 前に激 しく振 動 する傾向が あ る。
し か もそ の要因 が 重 複 反 射に あ る の か内 部 共 振にあるの か を判 別す るこ と は容 易で な い。それ ゆ え，
多 層 地 盤の解 析に当たっ ては， あ ら か じ め上記の一
様地 盤解 析を行っ て （16）式 を満 足 するよ う な内 部 拘束 面の設 定 を して お く必要が ある。
3．
離散化 3−
1 離 散 化 方 程 式 （9 ）式と （11）式に示 した境 界 積 分 方 程 式は，
次に 説 明す る離 散 化 手 法に よっ て近似 的に解か れ る。
ま ず，
掘 削 面S
。を簡 単な幾 何形状を持つM
個の．
平．
面パ ネルSn
（n＝
1，
2，
…
，M
）に分割す る。
Sn
と面 積が同 程 度の 内部 拘 束 面 L 個を内 部 領 域V
’
内に均等配 置す る。 各パ ネル上の ソー
ス分 布 を一
定と し，
その強 度をη？とす る。 点 加 振の位 置 （選 点）をパ ネルsm
の重 心 点 xm に とり，
（9）式 を離 散 化 すると 次 式 を得る。
．
u・（・ ・
曙 ∫
蝋 … ξ）dS
（ξ）・
・ワー ・
・
…
（・7＞ sn 上 式 をベ クトル・
マ ト リ クス表示す る と M＋L ｛u”1
＝
Σコ［Gmn
］．
1
ηnl・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t−・
…
一…
（18） n＝
1 ここに，
lum
｝’
「＝
L
筋 （xm
），
u！（x 瓰 ），
Us （X
吟」，
i
ηnlT＝
L
η，
η窒
，
η？」
，
［們 喊 分Gnn−
f
・・（x
・ ・ξ）dS
（ξ） Sn 同様に，
（ll
）式 を 離散 化すると下 式と な る。
・・α
・
曙 ［
者
・一 ・1・・
f
・・’（… ξ）dS
〔ξ｝｝
・y
・
・
…・
…
（・9
） Sn 上 式をベ ク トル・
マ ト リ クス表示 す る と，
H＋L1
ρM｝一
Σ ［Hmn ］1rpnl
・
……一 ・
・
……・
・
…一 ・
…
（20） n＝
1 こ こに，lpMIT
＝Lp
，（xm），
ρ：（xm）；
p3
（XM）」， ［Hmn
］の 成分・理一
去
娠 …＋f
・ ．（x
・ ・ξ）dS
（ξ） Sn （18 ）式をm＝
1，
2，
…，
M ＋L につ いて ま と め る と次 の よ う な全 体マ トリク ス表 示 を得る。
［G
］lol
＝
lul
………・
・
…
こ こ 亭こ，
1
η｝T＝
Ll
η1｝『，
1
ηi｝「，
・
lui
「＝
UUi
｝「，
lu21T
，
・
…・
……・
・
…・
・
・
・
………
（21 ＞・
・
1
η耀＋
L ｝7」 ，・
・
luM
＋L ｝T」 ［砕に
∵
：
：
：
：
：
：
：
噐
］
同じく， 表 面 力 を知る必要のあ るSd
上の m＝
1，
2，
…，
M
につ い て （20＞式 をま と め る と，［
H
］1
η1
＝
ヨP¢卜…
P・
…
一…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（22） こ こ に
，
IPdlT
＝
Up
ユ ド，
lpZIT
，…
，lpM
｝ 「 」，
［・・一［
、盟
＿
耐
淵
（2ユ）式の ［G
］を変位マ ト リ クス，
（22）式の ［H ］を 応 力マ ト リク ス と呼ぶ こ と にする。
3−2
内 部 拘 束 面に よる応 力マ ト リク ス の修正薄 層 法によっ て求めた点 加 振 解の応 力は加 振 点近傍で 乱れを生じ
，
精度 も 著 し く低下す る。 し たがっ て， 応 力 マ トリク ス の対 角 部分に あ る ［Hmm
］には大きな誤 差が 含ま れ てい る。
そ れ ゆ え，
これ を何ら かの条 件 式に基づ き修正 す る 必要が あ る。 ま ず，
（21）式と （22） 式の解 の性 質につ い て検 討 を加える。
変位
Iul
をSd
上の変 位lu
、1
とS。
上の変位1
媚 に分け る。
今，Sd
面 を 固定し て Se面の み を加 振する。
勉α
1
＝
IO
｝，
lu
。1
＝
lu
’1
≠IOI
・
…………一 ・
……
（23
） こ の と きの ソー
ス分 布 を 」ηJiと する。
領 域 γは静 止 し て いるの で次 式が成 立 する。
［H］1
η」｝＝
10
｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（24
） 次に，
S。
面の み な らず Sd面を も加 振する。
1u
．｝＝
lul
｝≠iO
｝，
lu
ε｝＝
1u
” ｝・
／・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
25
） こ の と きの ソー
ス分 布 を1
ηJ｝と する。Sd
上には表 面 力が生 じ て い る の で［
H
］1
η’1
＝ ＝IPdi
≠｛o｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
…
（26 ） と な る。 そ れ ゆ え
，Sd
上の表 面 力IPdl
はS
．面の加 振 変 位 勉’1
に よっ て決 定され，
内 部 拘 束 面Se
の運 動とは無．
関 係で あ るこ と が分か る。 そ れ ゆえ， （23
）式と （24
） 式は応 力マ ト リ クス の修正条 件とし て用い るこ と ができ る。 す な わ ち，
（26） 式より Sd上の表 面 力1
ρ」を求め る前に，
（23），
（24）式 を条 件 式 とし て応 力マ ト リ ク ス の対 角 部 分にある ［HMM］（m・
＝
1，
2，
…
，M
）を修 正す る こ と がで きる。
（21
＞式の右 辺に 3方 向の独 立な剛 体 並 進モー
ド ［σ『］＝
［0］ ［o ］ ［0 ］ ［1］ ［1
］ ［1
］ 1 番 目2
番目M
番 目………・
・
…・
…
（27
） M ＋ 1番目M
＋ 2齟［
騰
継 斟
綴
M
＋L
番目 を与えて，
3種の ソー
ス分 布 を求め る。
こ れ ら を並べ た マ ト リク ス を次 式とする。
［N］＝
［G］−
1［ua］＝
［N’ ］ ［N2
］ ［N ｛ ［NM
＋1 ］ ［NM＋L ］・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（28） これを （24 ＞式に代入 す る と，
各m につ い て りtL ［Hmm ］［Nm］−
1一
Σユ ［HMn
］［Nn
］＝ ［0］・
・
・
・
・
…
一
（29） η＝
1、
nキ 切 こ れ よ り，
［1f明 の修正値は次 式と なる。
［
H
・M ］・．
’
一
［
。胤
［H
・ ・ ］［lv・ ］］
［lvm］−
1−
…
（3。）4．
イン ピー
ダン スマ ト リ クス 4−
1 掘 削 面 自 由 掘 削 面S
。上の変 位と表 面力の関 係を求める。 （21） 式と （2Z）式よ り捌を 消 去す る と，
一
101
−一
一
［
Kd
］lul
＝ip
．ト…・
…・
…・
・
………・
・
…・
・
…
（31） こ こ に，
［K
α］＝
［H
］［G
］一
匚1
堀 と1Ue
｝に分け て表 現す ると，1
帽 ［［K哩］［K
．］］＝
1
ρα1
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（32
）lu
。｝ あ るい は，IPdl
＝ ［K
．al
lu
ご1
十［Kde
］IUe
｝ 3−
2節で示 し たよ うに，
lu
．1
＝
lo
｝の 下で は，
Sd
上の 表 面 力lp
講は生じ な い。
し たがっ て，
［
K
． ］lol
十［Kde
］1u
．｝＝
lol
’
・
…・
…………・
・
…・
（33）と書 ける
。
それ ゆ え，
（32）式は ［K． ．］1
包」＝
IP
．｝・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（34） とな る。
上 式の ［K
副 は掘 削 面 自 由の インピー
ダンス マ トリク ス で ある。
4−
2 掘 削 面 剛 掘 削 面Sd
が剛で ある と きの イン ピンダン スマ トリク ス を 求め る。
（25） 式に おける面Sd
の加 振 変 位 を次の よ うな剛体 運 動と する。
u｛（X
）＝
uL （X）五，＝
［ひ’ （X）jlAI
・
…
r【
・
・
・
・
・
・
・
…
（35） こ こ に，
［ui（X｝］＝
［el，
e2，
e3，
e、XX ，e、XX，
e、×X］lAIT
＝
LA
，，A2，
A，，
φ1，
φ2，
φ3」 ej ：」方 向 単 位ベ ク トル，
A
， ：ノ方 向 並 進モー
ド，
φJ ：」軸 回りの回 転モー
ド。
（35
）式に対 応し て表 面 力 を 次の よ うに表 す。 P｛（X
）＝
P｛J ｛X）A，ニ
［vi（X）］IA
｝・
・
・
……… …
（36） ［ui
（X ）］と ［vi（X）］は Sd上の 選 点で （34）式に より 次の よ うに関 係す る。
Σ［K
嬲］［ui
（xn
）］＝
［vi
（xm｝］………
（37） η≡
1 ；m＝
1，
2，
…，
M こ こ に，
［K
麗］は点xn
の変 位と点xm
の表面 力を関係 付け る ［κ囲 の部 分マ ト リ クスであ る。
モー
ド ん の加 振に対す るモー
ドA
，の イン ピー
ダン スKCj
は次 式で定 義さ れ るUl。
Kw
−f
・k
（x
）・k
（x
）dS
（x
）・
一
………
（・8） Sd 上式に （35 ）式と （36
）式を代入 し、
（37
）式の関係 を 用い た後，
積分 を 近似 的に 評 価す る と，
掘 削 面 剛の イン ピー
ダン ス マ ト リクス ［K］が得ら れ る。
M H［
K
］止Σ ΣASm
［び （xm
＞］T ［K
蜑野［び （xn
）］鷹
昌
匚 n＝
1・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
『
一
・
・
一
・
…
∵一・
・
−t…
（39） こ こ に，ASm
は パ ネルSm
の面 積。 また，
上式は 全体マ ト リ クスを 用い て次の よ うに も書 か れ る。
［κ］＝
［σ］『 ［S
］［Kd、
il
［U］t・
・
・
………・
…
（4G） こ こ に，
一102一
［u ］＝
［ぴ （Xi）］ ［σ゜ （xz）］ ［ui
（XM
）］ ［・・一
［
［
S’ ］［s， ］
ー
矧S
［ 阡吟
・瓶 ］
5．
地 震 強 制 力 5−
1 掘 削 面自由 掘 削 されて いない自 由 地 盤の入 反 射 場変位と表面力を それぞれ 砿 冨と す る。 曜 の 入射に対 し内 部 領域y ’
全 体を静止さ せ る と外 部 領域 V 内に は散乱波 曜 が生 じ る。
こ のよ うな散 乱 場を決 定す るS
，上の ソー
ス 分布 をηi
とする。 こ の場 合，
（21
）式は次式と な る。 ［G ］1
ηsl＝
1us
｝ニー
lu
！ ｝…
一…
一
一
・
・
・
・
・
…
一・
・
t■
・
・
・
…
（41） こ こ に，
1
が｝，
luSI
，
lu
’1
は そ れ ぞ れS
，上の 選点に お け る η7
，
u拿，
uf の値を 並べ たベ ク トル。
（8）式 よ りSd
上では η夛（X
）＝
P？（X
）−
P；s（X
） ；X
∈Sd− ………
（42） 内部 領 域V ’
は静止 して い るの で，
P ∫（X ）＋P；s（X ）＝ ＝O ；X ∈S
。・
・
………・
・
（43） （42）式 と 〔43）式 より，Sd
上の散乱 波 を生起さ せ る ソー
ス分 布は掘 削 面上 に生じて い る外 部 表 面 力に等し い。
ηヲ（X）＝
ρ∫（X
）十 ρゴ（X
） ；X
∈Sd…・
・
…・
…・
（44 ） し た がっ て，
この反 力と して静止 し た掘削面Sd
に作 用 す る 地 震強制力の 分布ベ ク トル 脆 ｝は，
（41） 式よ り次 の よ うに評 価さ れ る。
lf
．1
＝
：
−
1
η瀏＝
［Z
』iu
’1
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（45） こ こ に，
下 添字d
はSa
上の量である こと を表し， ［Z』 は次 式に示す ［G
］−
1 の 3M ×3 （M ＋L ｝の部分マ トリク ス。
［
G
］−
1−
［
［
ξ
f
］］
5−
2 圭屈肖i亅面 岡1∫ 剛 掘 削 面の運 動変 位モー
ドA
，に対す る地 震 強 制 力は 次 式で定義さ れ る1‘）。
・、
一一
f
・ks
（x）1
・‘（x）＋・2
（・）ldS
（x
）一
（・・） Sd 上式に （44）式 を 用いる と 次 式 を 得る。
・广
∫
畑 ）・2
（・）dS
（・）一 一 一
《・・） Sdこ のよ うに
，
剛 掘 削 面に対する地 震 強 制 力は散 乱 波を決 定する ソー
ス分 布に剛体変位を掛け， これ を掘削 面上で 積分し た も の と な る。 （47 ）式の 積分を （40 ）式と同様な形 式に よっ て近 似 す る と，
剛 掘 削 面に対 す る 地 震 強 制 力ベ ク トル を 次の よ う に得る。
1F
｝＝一
［〔1］7［S
］1
η謹i
＝
［u］γ ［S］［Z姦】lu
’ 卜・
・
・
…
鹽
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
《48）6，
解 析 例 以 上で述べた解 析 法の有 効 性 を検 討 するた め， 薄 層 法 リング状 線 加 振 解 を用い て，
軸 対称剛掘 削 面の ね じ れ イ ン ピー
ダンス解析 を行う。
薄 層 地 盤に おけ る点 加 振 解5｝・
6） は，
円 筒 座 標 系に おい てFourier・
Hankel
変 換され た3次元等 方弾性体の変位 解 を 有 限 要素法 を用いて離 散 化す ること に よっ て得ら れ る。
本 論で は， こ の 離 散 化に 2次の変位関 数 帥 を用い る。 ま た，薄層の最下面よ り下方は，
半無限 弾 性 体と み な し，
半無 限弾性体の剛性マ ト リ クスを波数が十 分小さいと仮 定 して 2次 まで テー
プ展 開し た もの を最下 面に付 加す るs ）・
LS）。
リン グ状 線 加 振 解は， 文献 16）の 乎 法に従っ て 導 出す る。
その具 体 的 表 現は，Waas
の文 献12
）に示さ れて いるの で こ こ で はその記 述 を 省 略す る。
そ れ らの変 位 解お よび変 位 解 を加 振 位置で微分 し た応力 解 を （9 ＞ 式，
（10）式に適 用す る。
こ こ で，
参 考の た め前 節 まで の諸 式に よ る剛 掘 削 面の インピー
ダンス解 析の手 順 を整理 し て お く。
［1 ］ ［2］ 配 置。
［3］ ［4］ 全 層の材料定 数 を表層の そ れ に等し く置く。 内 部 拘 束 面の個 数 （L
）の決 定と そ れらの均 等 新 ω＝
旧 ω＋△ω．
（21＞ 式の ［G
］マ ト リクス と （22 ）式の ［H
］ マ ト リク ス作 成。
［5］ ［6］ ［7］ ［8】 （30）式によ る ［H
］マ トリ クス の修 正。
（40）式による イン ピー
ダン ス算 定。
ω〈 ahnax な ら ば，
［3］に戻る。
（16） 式の検 定；イン ピー
ダン ス 虚部に内部 共 振 現 象 が発 生し ていればL
を増や して ［2 ］に戻る。
［9］ 多層 地 盤 を対 象に ［3 ］か ら ［7 ］までを実 行 する。
地 盤 を図一
2に示す よ うに薄 層 要素に分割す る。
掘削 さ れ た地 盤 層 内で は，
掘 削 面の境界要 素分 割に適合 す る よ うに地 盤 を薄 層に分 割す る。
そ れ よ り下層の分割は， 地表 面 点 加 振 解の地 盤 分 割に よる収 束 性の調 査と，
掘 削 面の底面下の応 力こ う配 を考 慮して，
層 厚0．
1×R。（R。 ：掘削 半 径 ）の もの を 1層，O．
2×R
。の もの を 2層，
Ls
／6
（L
。lS 波の 波長）の もの を6
層と す る。 た だ し，
各 薄 層 厚h
‘は層 内のS
波 速 度V。
と 円振 動 数ω に対 し ωht
／ Vs＜1，
0 とな るよ うに設 定さ れ てい る もの と する。
一
；
＋ 申一
＝
中 ＋昌
卩
ECAPSFLAH
図一
2 掘 削 地 盤の離 散化 モ デル また，
掘 削 面お よび内部 拘 束 面の境界要素は， ソー
ス分 布を要 素 内で一
定とする一
定 要 素である。
な お，
以下の 図表で は，
ね じ れイン ピー
ダン ス関数KTr
をKTT
（aa｝＝2
πμR
まlleTT
〈αo）十saoCr τ（ao）｝ ；ao； ωRo
／Vs…
…………・
…………・
…・
…
（49） と表 し た 場 合の無 次 元 化 量hTT，
CrTを示す。 こ こ に，
μ は地 盤の せん断剛性。
最初に，
内部拘束 面に よ る内部共振解の除 去と，
応 力 マ ト リ クス の修 正の効果を検 討す る た め，
半 無 限一
様 弾 性 地 盤に半球お よ び円筒の剛 掘 削 面が存 在す る場 合につ いて，
そ れ ぞ れの掘 削 面の ね じれ インピー
ダン スを解析 す る。
円 筒 掘削 面の半 径と深さの比 は1と する。
図一
3一
図一
6は，2−
1節に示さ れ る内 部 拘 束 面を付 加し，
（30） 式 を用い て応 力マ ト リ クス を修正 し た後，
（40）式に よっ て求め た半球お よ び 円筒 掘 削 面の ね じ れイン ピー
ダン ス 関数であ る。掘削面の境 界 要 素 数は，
半 球の場 合 がユ0で，
半球母線に沿っ て等 分 割，
円 筒の場 合は，
側 面および底 面の各々 で 10と し，
等分割とし た。 内 部 拘 束 面は， 幅 をR
。／10 と し，
個 数と配 置の 調 査を行っ た結 果，
半 球 の場合は5
個を，
円 筒の場合
は9個 を 各 図 中の右 上に示 す よ うに配置す るこ とに よっ て，
内部 共 振 解 を解析 対 象 振 動 数 領域か ら完全 に除 去で き るこ と が確か め られ た。
図一3，4
は，
半球 掘削面のleTT
と CTTを，
図一
5，
6は 円筒 掘 削 面のkTT
と CTT を 示 してい る。
図には，
応 力マ ト リク ス を修正 し たもの を実 線で， 修 正し てい ない もの を1
点 鎖 線で示 し，
比 較の ため半 球の場 合は厳 密 解171を， 円筒の 場 合は厳 密な グ リー
ン関 数IS ＋を 用い て解 析し た結 果 を 破 線で示 して いる。
ま た，
CT7は 地 盤に粘 性の な い 場 合に は掘 削 面 上の ソー
ス分布か ら直接 求め ら れ る1）・
S）一 103一
4
．
0 B，
D 互2，
0 1．
0゜
’
も
．
。 L。 2．
， ，．
。 、．
。 ，．
D 6，
。 se＝
wR．
！vt 図一3
半 球掘 削 面の ね じれインピー
ダン ス実部の比 較 （弾 性一
様 地盤 ） 2．
0 1．
5 三1．
o D．
5゜
’
％
．
Dt
，
。2
．
。3
．
、4
．
。5
．
。、
．
。 a，
＝
URe ！V：
図一
4 半 球 掘 削面の ねじ れ インピー
ダン ス虚 部の比 較 （弾 性一
様 地 盤 ） 8．
o G’
D 蚕4．
o 2．
o 0．
0 0．
O LO 2．
0 3．
0 4』 5，
0 6，
0 島．
＝
凵
R。
！Vs 図一
5 円 筒 掘 削 面のね じ れインピー
ダン ス実部の比較 （弾性一
様地 盤） 4．
0 3．
0 三2，
0 1，
口゜
’
、
。1』
2
．
。，
．
。4
．
。5
．
。6
．
。 So，
けRり
！V国
図一
6 円 筒 掘 削 面の ね じれ イン ピー
ダン ス虚 部の比 較 騨 性一
様地盤 ）一
104
．
一
一
の で， 図一4
，6
に はこの結果 も2
点鎖 線で示し た。 図 か ら・
， 修 正 前の応 力マ ト リ クス を用い て解 析したイン ピー
ダン ス 関 数に比較して， 修正後の 応 力マ ト リ クスを 用いて解 析 したインピー
ダンス関 数は， 著し く そ の精度 が改 善 され，
半 球の場 合は厳 密 解 と， 円筒の場合は厳密 な グリー
ン関 数を 用い た解 析 値と極めて良 好な一
致を示 すこと がわ か る。
図一
7，
8は，
先の 円 筒 掘 削 面 を もつ掘 削 地 盤に粘 性 を考 慮し た場 合の解析例で ある。
グ リー
ン関数分布法に よ るApsel
の解 析 結 果4） と比較す る た め に， 減衰定数hs
は 0．
Olとし た。
図 中の実 線が応 力マ ト リ クスを修正し て求め た本解 析値で， 破線がApsei
の解 析 値であ る。 図一8
に は粘弾性地 盤の特色で あ るインピー
ダン ス虚部 の低 振 動 数域で の立ち上が り が見ら れ る。図一
7，
8 より，
解析され たhrT
と CTTは共にApsel
の 解と非 常に 良い一
致 を示し てい ること が わ か る。
次に，
掘 削 面 を もつ 多 層 地 盤の解析例と して，
図一9
の よ う な基本 的な モ デル を考え る。 掘 削 面の底 面は基盤 層に達する もの とし， 表 層 地 盤のせ ん 剛性をtt、， 基 盤 層の せ ん 剛性 をμ2 とす る。
表一
1は， 表層と基盤 層の剛性 比μ1／μ2を 1，
0，0．
75 ，0．5
，0，
25
の4
通り に変 化さ せ た時の円 筒 掘 削 面の静的 ね じ れ イン ピー
ダン ス値をLuco
によっ て求め られ た厳 fi．
o 6．
Dia
．
o 2．
0 0，
0 0．
D l．
0 2，
0 3．
0 4．
0 5．
0 巳、
口 ani ωR◎
IVs 図一
ア 円 筒 掘 削 面のね じ れ インピー
ダン ス実 部の比 較 （粘 弾 性一
様地盤〉 4．
D ］．
口 ε2・
囗 1．
o a◎
＝丗
RelV■
図一
8 円筒 掘 削 面のね じ れインピー
ダン ス虚 部の比 較 （粘弾 性一
様 地 盤 ）Z → R 図
一
9 円筒掘 削面を有す る 二層 地 盤 表一
1 円筒 掘 削 面の瀞的ね じれインピー
ダンス の比較 （弾 性二 層 地 盤 〉 ku （0） μ1 ／μ2 本 解 析 値 byLuco 1．
00 3．
21 3．
170．
75
3．
53 3．
490．
50
4，
13 4、
110．
25
5．
83 5．
87
h
／R。
＝ 1．
0 密 解］8）と比 較し た もの であ る。
静 的 イン ピー
ダン ス値は α。＝
0．
1，
0．
2，
0．
3のkTT
の値から代 数 補 間して定め た もの である。
こ こ に， 剛 性 比 ユ．
Oは半 無 限 地 盤に相当す る。 解 析に当たっ て は地 盤の減 衰 定 数 を零と し，
地 盤の 薄層 分 割，
掘 削 面の境界 要 素 分 割およ び内部拘束面の 分 布は，
半 無 限 地 盤の場合と同様なものとし た。
な お，（49） 式によるインピー
ダン ス の無 次 元 化に は，
表 層の地 盤 剛 性μ1 を用い て い る。
表 より，
どの剛 性 比に おい ても，
本 解析 値は， 厳 密解と良 好な一
致 を示してい ること が わ か る。図
一
10，
llは，
静的 インピー
ダンス と同じ4
通 りの 剛 性 比で， 円筒 掘削 面のねじれインピー
ダン ス関 数を求 め たものである。
興 味深い もの は，
剛 性 比が O．
25 の場 合のhTT，
CTT の性 状で，
特に CTTは，
α。＝
1．
8 付近で正 から負へ と著し く変化す る。 これ は，
表 層 地 盤の共振現 象の影 響を示すもので あ る。
基盤層を剛と すれば，
表 層 の ね じ れ振 動に関する無 次元 化 n 次 固 有 振 動 数 α蔬は， 次 式で与 え ら れる。
・命
一
（・・− 1
）』鍔
・η一
1，
・，・
………・
（・・） し た がっ て，
h／R。＝
1．
0の場合の 1次および2次の 固 有 振動 数 は， 磁 ≒1．
57，
磁 ≒4．
71
と な る。
図一
11に おける著しい変化は，
こ の 1次固有振 動 数 よりも やや高 い振 動 数で発生して おり，
2次 共 振に相当す る現 象は α。≦6．
0の範 囲に は現れ ていない。 これは，
本 解 析 例に おい て基盤層を剛と してい ない た めの結 果と考え られ 8，
0 E，
D 互4．
囗 2．
口 h〆R卩
＝
1、
0 u ノ Ptt＝
o．
25＼
》
一 啝 ぐ
愚
、
’
区
＿一
＼、
＼・
くー
i’
．
〜、
．
＿
、
、
．
一
、 μ ltu2＝
1．
00 μ 1 〆μユ
富
0・
了5゜
’
亀
．
。1
．
。 2．
。 3．
。 、．
。 ， 』，
、
。 aP＝
ω
Roiv81 図一
10 円 筒 掘 削 面のね じれ インピー
ダン ス実 部 （弾性二 層地 盤 ） 2，
0 L コ 言：．
z一
1．
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0 6．
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凵
Re！vSl 図一
11 円筒掘 削 面のね じれ インピー
ダン ス虚 部 （弾性二層地 盤） る。 そ れで は， 基 盤層を剛に近い状 態に した場 合に はど の よ うな現 象 を呈 す るであ ろ う か。この こと を知るた めには， 表層に比 較し て基 盤層の剛 性を極 端に高 くμ1／μ、
＝1
／25
に設 定し た場 合の解 析 を試 み た。
図一
12， 13は その結 果を側 面 イン ピー
ダン ス と 底面 イン ピー
ダンス およ び その和で ある全 イン ピー
ダン ス につ い てPtし た もの であ る。 図一
13の インピー
ダン ス虚 部に は，
α。＝ aM と α。＝ αあ付 近に おい て明ら か な 共 振 現 象の影 響が現れて い る。一
方，
図一10
と 図一12
の インピー
ダン ス実 部におい ても表 層の共 振 現 象の影響 が若干 見ら れ る が，
イン ピー
ダン ス虚部の場 合に比較す る と そ れほ ど大き な変 化は現れていない。
側 面 イン ピー
ダン スの性 状は， 円 筒 剛 基礎の回転動に関 する側 面 イン ピー
ダン ス を求め た田治見19切 結 果に類 似し て い る。 す な わ ち，
実 部は α。＝
α濫まで や や放 物 線 的に減 少し， α。＞a。M
で はほぼ一
定 値 を示す。
虚 部は α。耳 磁 まで極 めて小さ く，
それ以 降 急 激に変化 し た後ほ ほL 定 値 を保 ち，
α。＝
磁 付 近で わ ずか で は あ る が再び同じ様な変 化 を 生じ てい る。
これ は α。〉磁 で表 層にお け る水 平 方 向 へ の波 動 逸 散 性が優 勢になる た め と解 釈で きる。
底 面 イ ンピー
ダン ス の実 部は，
基盤 層の剛性が高い た め に全 イ ンピー
ダン ス実 部の 90％程 度を占め る支 配 的 要素で あ一 105一
40
．
口 30．
口 三20．
o 且o，
c D．
o．
o 島o＝
ω
Ro〆V撃
1 図一
12 円 筒掘削 面の ね じれインピー
ダン ス実部 （軟 弱 表 層＋ 硬質 基 盤層） 2．
0．
050 ．
ロ一
且．
o’
2’
％
図一
13 h／R卩
＝
1．
0 μ圏
！閏 2＝
o，
04厂
全 イ ン ピー
ダ ン ス・
．
．
．
．
．
．
・
口面 イン ビー
ダン スー
一
一
・
一
一
・
・
底 面 イ ン ピー
ダ ン ス 1 ／‘
．
〆．
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一
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一
一
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一
一
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＿
＿
一
一
a。
ゴ＝
晶．
71．
O l．
02、
D 3．
0 4．
05、
0 5．
o a自
＝
URo 〆V釧
円筒 掘 削 面のねじれインピー
ダン ス虚部 （軟 弱表層＋ 硬 質 基 盤 層 ） り，
しか も軟弱な表 層の共 振の影 響を さ ほ ど受け ない。
一
方，
その虚 部は基 盤 層の 剛 性が高い た め側面の イン ピー
ダンス 虚 部に 比べ 全 体に小 さい が，
a。＝ 磁 と αF α毳付近 に おいて は急 激な立 ち上が り と正 値か ら負 値へ の逆転 現 象 を示す。
こ の よ うな底 面 イン ピー
ダン ス 虚 部の性 状は， 半無 限一
様 弾 性地 盤 上の 剛 円 板のね じれ インピー
ダンスm）の 性 状 と大き く異なっ て い る。二 層弾性地 盤にお ける ね じ れインピ
ー
ダン ス関数の振 動 数に対する性 状を剛 性 比が0．
25 よ り 大 きい場合につ い て見る と次の よ う なこと が言え る。1
）kTr
は， 表 層に 比較して基 盤 層の剛性が高く な る程 振 動 数に対す る低 下 率が大き く なる。
2 ）CTT は，
a 。≒2．
5付近では，
剛 性 比 に よ らずほ ぼ同じ値を示す が，
α。〈2．
5で は， 表層に比 較し て基 盤 層の剛 性が高く な る程 CrTが低〈 な り，
逆に a。＞2．
5で は基盤層の 剛 性 が高くな る程や や高め と な る。．
図一14，
図一
15は，
同じ 二層 掘 削地 盤モ デル に お い て地盤の粘 性 を考 慮し た場合の例で あ る。
減 衰 定 数h
。 は，
半 無 限一
様地 盤の場 合 と 同様に 0．
OIと し た。図か ら，
先の解析 例で剛 性 比 O・25以 下の 場 合に見られ た表層地 盤の共 振 現 象が まっ た く無く なっ ている こ と が わ か る。 減衰 定 数を さ らに小さ く し ても，
CTrの性状に はほとん一 106一
B．
口 6，
D 重4・
囗2
．
c臼
’
％
．
。1
．
。2
．
。3
．
。4
．
D5』
6
．
D ao＝
凵
Roiv5L 図一
14 円筒 掘 削 面の ね じれインピー
ダン ス実 部 （粘 弾性二層 地 盤 ｝ 4．
口 3，
口 ε2．
［ 1．
口 hs＝
0，
0： h’R。
冨
1・
0 ロ，
tロ 2＝
1．
oo／
・・
一 ・丿ダ
認
一 o．
o 口．
0 1．
D 2pD 3鹽
0 4鹽
0 5．
0 5、
O ao＝
ω
Roivs1 図一
15 円 筒 掘 削 面のね じれインピー
ダンス虚部 〔粘 弾 性二層 地盤） 表一
2 円筒 掘 削面の ね じ れインピー
ダンス （粘 弾 性二層 地 盤 ） μ i ’μ
2 叫、
ooμ
1
〃諄
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0・
75 μ 11 恥盖
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．
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59 033．
07o．
353．
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335、
700．
11 052．
日【 0．
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22o．
383．
83o．
325．
53o，
291
