構造部材の塑性ヒンジ機構を考慮した構造物の応答解析

構造部材の塑性ヒンジ機構を考慮した構造物の応答解析

小 高

昭 夫

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Earthquake Ground Motions

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by Ray W. Clough

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2

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c

u

r

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c

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n

s

i

d

e

r

a

b

l

y

.

1.序

部材の塑性を考慮した構造物の応答解析については，

種々の方法が提案されている。例えば

G

.V

.

Berg

(

l

)

は

構造部材の曲げモーメントと回転角の関係が完全弾塑性

になると仮定して塑性ヒンジを逐次追跡する方法，

S

.

L

.

Lee

等

(2)

は構造部材の曲げモーメントと曲率の関係が

B

i

-L

i

n

e

a

r

型になるものとして，この関係からせん断力と変

形との関係を求めて解析する方法，

Warren

R

.

W

a

l

p

o

l

e

と

R

.S

h

a

p

h

e

r

d

(

3

)

は単純塑性解析の原理にもとづき塑性

ヒンジの追求法を示している。また管野忠

(4)

は反曲点が

変化しない梁の曲げモーメントと回転角の関係が完全弾

塑性の場合を，小堀鐸二等

(5)

，

(6)

は重力による軸力を考慮

した弾塑性ジョイントが

B

i

-

L

i

n

e

a

r

型履歴特性を有する

場合や，構造部材の曲げモーメントと曲率の関係が，

R

a

-mberg-Osgood

型で，有限巾の弾塑性、ンョイントを有す

る場合を，梅村魁等

(7)

は構造部材の反曲点を仮定した等

価逆対称性の曲げモーメントと回転角の関係が

M

o

d

i

f

i

e

d

D

e

g

r

a

d

i

n

g

T

r

i

-

L

i

n

e

a

r

型となる場合等の研究が行われて

いる。

本論文においては，鉄骨構造あるいは鉄筋コンクリー

ト構造架構の動的な影響を考慮した終局耐力を算定する

ため，主として柱・梁部材の曲げモーメントによるヒビ

割れおよび降伏を逐次考慮した曲げ，せん断架構の地震

動による弾塑性応答解析を単純塑性解析(ヒンジ理論〉

にもとづいて行う。柱や梁および壁体のせん断変形の影

響が大きいときは，せん断変形に伴う塑性化も考慮する。

解析は部材端の塑性ヒンジ発生に伴う曲げモーメント

と塑性回転角の関係はR.

W. C

l

o

u

g

h

(引の提案する方法

を拡張した方法によった。この方法の利点は，柱や梁の

反曲点の変動に関係なく弾塑性化の判定が可能な点であ

る。すなわち架構の各部材が地震動の作用によって弾塑

性挙動を示すに従い，架構の剛性マトザックスを作成し，

増分形式による直接積分法によって応答解析を行う。

2 解析の方法

2

.

1

.

解析の仮定。

解析においては，構造物を次のように抽象化して解析

する。

(

1

)

質量は架構の各層床位置に集中させる。(床は剛と

する。〕

(

2

)

架構は線材から成る部材で構成されるものとする。

(

3

)

各部材には曲げモーメント，せん断力およひ軸方向

力による変形を生じ，部材端は剛域を考慮する。

(

4

)

各部材の塑性化は，材端または剛域端における曲げ

モーメントによるヒビ割れおよび降伏あるいはせん断変

形に伴う斜めヒピ割れ等により生ずるものとする。なお

柱の軸方向力による降伏は考慮しなし、。

(

5

)

各部材のヒピ割れまたは降伏後の挙動は，曲げモ

メントと塑性回転角およびせん断力と塑性せん断部材角

の関係がし、わゆる剛塑性的

T

r

i

-

L

i

n

巴

a

r

型になるものとす

る

。

(

6

)

基礎部分のスウェイやロッキング振動も考慮する。

2

.

2

解析理論

架構を構成する部材における弾塑性剛性マトリックス

を導くと次のようになる。ここでは曲げ降伏は問。域端

AGj

ん

A

t

j

〉

j

d

f

t

可

7

1

u

j

A

ヤ

U

θ

立

自

(

岡

1

域がないときは材端〉に生ずるものとする。

図

Iに示すある部材において，降伏が生ずるところに

塑性ヒンジ機構〔長さのなしうを考える。いまここでは

剤域のない梁の場合について考察してみる。図

2

におい

て

1

端を固定とした場合，各塑性ヒンジ機構の曲げモー

メントと回転角の関係が次の捷性マトリックス

[FJc

，

士

[

FJc

，で表わされるものとする少)

EAi

軸 方 向 剛 性

EI;

曲げ悶1]性

GA; せ ん 断 問1

]

牲

に;‘形状係数

s

;

せ ん 断 剛 性 低 下 率

引 材 長

入

i; i

端 剛 域 比

入

j;j端 剛 域 比

長

l

ノ

最

z

j半 剛 性 ヒ ン ジ 係 数

長→

O(

商

I

J

)

，

k-

タC;O

(

t

:

O.ン

J

図

l-(a)

部材の材端応力と変形

山

d

切

舟

叫

ド

斗

ddv

角

吋 吋 勺 苧

l

g

ト

1

国 ﹄ 転

442.

一

回

抑

制

一

土

圏

構

一

パ

J

蝿

機

一

仁

田 れ

H

腕

冨 斗 土 且 つ ゐ

静 止

図

h

p

L

i 0 0

0

[

F

J

c

，ニ

I

0 0

0

l

0 0 H

メ

4

E

l

k

!

r

0 0

0 I

[

F

J

c

，ニ

I

0 0

0

l

o

0 H

メ

4

E

l

k

2

J

部材の捷性マトリックス

[F)m

は

(

3

)

式で表わされる。

iH/EA 0

0

1

[

F

]

m

=

I

0

H3

/

3

E

I

H2

/

2

E

I

I

1

0

H

2

/

2

E

I

H/EI

J

マトリックス法により

z

端固定で

j端に材端力と材端

変形が作用するときの携性マトリックス

[

F

]

は

(

4

)

式 と な

る

。

十 ハ H v n H U

o

I

H

唱 E A ハHUnHU

[

ー ' 舟

I E

ハ リ ハ H U A A //J

H

n u v n H U ハ H V ハ H V ハ H U ハ リ

[

、 J 1 1 6 3 I 1 2 7 1 1 1 ! } l l J

O

H

l

n H U 唱 EA ハ H u t--nHV ハ H υ

一 一]

F

H/EA

。

。

[

F

]

m

+

[

F

l

c

，

=

、

₁ 1 1 /

1

一 仏

十

- A

一

q L / i i

、

、

m r

一

日

、 、 、 。 ， ，

J F

﹂ 仏+

1 i

一

n d J J ' ' ' E

_‘

_、

_、

m r

一 部 ハU

₍

₄

₎

。H2(1十~

一

_E

一l

_I

ー ←

i

I

~(1+J-+J-)

.;_~

(

1

十 十一一

i

¥

2

T

_4k

，

!

_EI\~'

_4k

，

'

_4k

，

!

ゆえに擦性マトリックス

[

F

]の逆マトリックス [K

]

n

ニ

[

F

]

-

'

は

E

I

H

。

。

(

1

)

[

同

22=

I

0

l~~Iω;J1 十 k， 一害呼主企|間

(

2

)

o

_百了一

6

E

I

k

，

+2k

_k

，

k

，

空

1

笠

E

土

4k

，

主

主

ー ←

H

2k

こ こ に い ( l 十

M M 2 ) t

となる。同様にして

[

K

]

l

l

二

[

H

]

[

K

]

2

2

[

H

]

T

. [

K

]

1

2

=

[K

J

，

.

T

ニ

[H][K2

2]を計算すると，全体としての剛性

7

トリッ

クス

[

K

]

は.

(

6

)

式で与えられる。

(

3

)

P

Q

M

P

Q

M

Ui

Kll

K12

1

1

V

i

。

z

(

6

)

Uj

K

'

2

K

22

I

I

Vj

θ

J

このような方法で剛域を有する柱の剛性マトリックス

を増分形にて表わすと次のようになる。すなわち図

1に

おいて増分材端力

L

1

P

"

L

1

Q"

L/M"

L

1

P

j

，

L

1

QJ，

L/M

j

と材端変形

L

1

u

"

L

1

v

"

L

18

"

L

1U

j，

L

1

v

J，

L

18

j

の関係

は

(

7

)

式で表わされる。

，1P

，

1

r

全

2主h主oAhEA2h旦

。

一号

1

r

，1u

，

，1Q

，

I

I

0

~~

0 AHe E

1

1

，1v

，

dMF￨ ￨ O O A2hI1

-

ロ

一

ロ

一

2h1

一

2Bz

ロ

1 0

一一

9ロ一ロ

2

一

h

ム-ロ

~II ，1 8 ，

~

(

7

)

，1P;

1 1

0 0 0 主2h22

与

R ，1Qj

1 1

0 0 0 AHeE

1

1

，1V) ，1M;J

1

0 0 0 B2klI J

1

，18;

ここ

U

こ

k=2(1-

λ

，

-

，U4{(k1

+

1

)

(

k，

+l)

-~}+

24xEI

(

1

λ

z

ーん )

2

r

(J_ ，"1 ¥ I

r

，"1 ¥

1

i

~~

.

ー

l

_["0'

(

k

1

+1)(

，

~"'O. ，~，

k

，

+1)一一}

1

6

1

4EI

i

"

，

"

，

"

，"，

1

2

k

l

k

，

x

EI

ll=

..~~

1

_{L β G A H '}

4

k

l

k

，

{

(

1

ーん)，

ん'}+一一一一

{

(

1

ーん)ー

λ

，

)+3kl

(1ーん

)'(l-A

，

ーん)+

3

k

，

A

，

'

(

1 λ

i

川

12EI (

A

22

= 豆:;~

1

4

k1

k，

{(1-λ，

)-Aj}+kl(

1

-A，-λ;)+

ゐ(1一

λ

z

川

6E

I

i

A1

2

=

百

;

'

12

k

l

k

，

{

1

ーん

)'-A

，

'

)

+kl( 1

ー

λ

;

)

(

1

ー

λ

，

-Aj)

+ 札

(

1

-

λ

，

-Aj

J

)

4E

Ii"

，

"

，

'"

，

"

1

2

k

l

k

，

xEI

=

..~~ 1

l

4k1

_{~'''l'''''~l\~}

k

，

{

(1 ーん )'-λj}+ 一一一一~"_"{(1_{" 1 / "JJ}

λ

j

)

I

sGAH

-A，

}

+3k1

A/( 1

ー ん 一 川

+3k，

(

1

-A，

)'(1-A，

-

A

j

)]

1

2

E

I

B

22

=百

γ

(

4

k

l

k，

(

1

-A，

ーん

)+k1

(

1

ーんーん)+

k

，

(l-A

，

ーん))

=A

22

6

E

I

B

1

2

=

'

H

:

(

2

k

l

k

，

{

(

1

λ

，

)'ーん

'}+klλ

j

(1

ー

λ

z

ーん)+

k，

(l-A，

)

(

1

ー

λ，

-Aj))=B

21

He=

(

1

一

λ

z

一

λj)H

(

8

)

(

7

)

式において，塑性ヒンジ機構における半剛性ヒンジ

係数

k

1

，

ゐは，

i

端

J

端が弾性のとき :

k

1

，

k

，

→∞

(実際に

は

1

0

'

程度でよし、〕

i

端

j

:

端が降伏してヒンジが形成されたとき:

k

"

k

，

→

O

i

端

j端がヒピ割れのように半剛性のとき:

0

.

5

官 官

食:苧骨

1

・

1

唾ヒシジ得壕丈

5 」f 食(~f.fls')

α

02 0.

0

5

。

5

J

図

3 半剛性ヒンジ係数と剛性抵下率

。

<k

1

，

k

2

<10

5

(実際には0.1~1. 0程度)

となる。尚図

3

に半剛性ヒンジ係数k

1

，

れと剛性低下率

α

の関係を示す。図において，

ffic

，

r

c

はヒピ割れが生

じたときのヒビ、割れそーメント， ヒビ割れ回転角である。

部材の応力と変形の関係は次のようになる。すなわち

部材の剛域端における曲げモーメント

ffii

，

ffij

と回転角

r

i

，

むの関係は，剛性マトリックスの関係において，

λi

=

0

，ん

=0

，

U

，

=Uj=V

，

=VJ=O

とおけば得られる。

増分形で表わすと，

{

;

:

;

)

=

[

;

;

l

l

;

:

;

)

(

9

)

ここ t

こ

1

2

E

I

M_7/-:;，-~---C--守干 {8klk，(1

+

r

)

+6k1}

2k(1-A，

ーん)H

γ ' n r u 噌 E ム L u h ， R a m -晶

一

H

τ A τ i 一 正

、

J L τ A H

Z

二

-t Eム

1

一

M

一 一

' 内 U

(

1

0

)

3xEI

r sGA

(

1

-A

，

ー

λ

」

守

r

2

k

=4( k

1

+

1

)

(

わ

+l)(1+4

r

)

ー(1十

r

)

となる。剛性マトリックスの場合と同様に，半剛性ヒン

ジ係数

k"

れを変化させることによって，弾塑性時の

増分応力が求められる。

なお節点における材端モーメントは増分形で示すと仰

式となる。

1-A

・ L1 M 一一一一~L1 mi+一一~L1n1

_{'-1-λ i}

_-

_t

_l

j ~ U.J.l I

1-λz

ー

λ

J

)

-ー

(

1-A

L1 M，=一~L1 mi 十一一一~L1 mj

_J

_-l-A

，

_λ

_j

_{_}

_.

_.

_.

_.

_'l-A

，

_一

_λ

_J

_J

また剛域端の回転角

Ti， rj

と節点回転角

8

" 8

j

の関

係は増分形で示すと

(

1

2

)

式で表わされる。

1-

，

1

;

A n ，

，

1

r 一一一一一土，LJ8

_'i-

_A;ーん

i

十一~L1

ej-1ー ん ん

1

，

L

J

R

1-

，

1

，

ーん

"

，

.

，

^

1-

，

1

;

=ー'"一一

_1-Ai

_ん

-LJ8i

+一一一一~LJ8j 一_1-Ai

_ーん

一一

，

1_

，

.LJR

1-

，

1

，

λJ

塑 性 ヒ ン ジ 融 構 申 復 元 力 特 性 部 材 と し て 由 担 売 力 特 性 白 輯 意

(

1

2

)

次に弾塑性の判定について述べる。

部材が完全弾塑性的な挙動を示すときには，部材が降

伏して曲げモーメント mが降伏モーメント myに達し，

塑性ヒンジが発生すると，いわゆる塑性回転角が生じ，

以後は塑性回転角

rρ

が幾何学的に得られる。この塑性

回転角を用いて，弾性から塑性，塑性から弾性への判定

IBi Tri-J.nea IDoublel

干

，lnea引

を行う方法が一般的である。このため図

4-(a)

に示すよ

うに，材端に生ずる回転角 rは弾性回転角

Tie

と塑性固

めoublel

転角 r

i

Tを有し，存在曲げモーメント mi と塑性回転角

ITri-ILinea

r

i

ρ

の関係を

R

羽

T

，

C

l

o

u

g

h

(

B

l

は図

4

ー

(

c

)

のように仮定し

た。すなわち図

4-(c)

において L

J

r

ρ=0

で，弾性となり，

半剛性ヒンジ係数 hは k =∞となり，塑性流れのときは

図

5

塑性ヒンジ機俸と復元力持利

L

J

r

ρ>0

で

，

k

=

0

となる。ところが部材が完全蝉塑性

でなく，

ヒビ割れモーメントに達して剛性が低下し，半

剛性ヒンジのようになり，曲げモーメントは増加する。

この場合は塑性ヒンジ機構を拡大解釈し存在曲げモーメ

ントと塑性回転角の関係は図

4

ー

(

d

)

に示すようになるも

のとする。

H

H

これは塑性ヒンジ機構の携性在~，布Ïkt

(

(

1

)

，

(

2

)

王立で示す〉が弾性のときは

，

k

"

k2=∞で，剛性

4

E

l

k

J

.

4

E

I

k

t

は∞で，塑性のときは

，

k

"

k

2

=

0

で

，

H ' H

A

ト

て

=0

︺円

相 ﹁

パ い

川

J

件

情

→ぞ「

(a) 材 端 モ メ ン ト と 回 転 角 (叫 塑 性 ヒYジ植構1<:'"ける材端毛ーメント と 塑 性 回 転 角(R.

w

.

Clough)

で民?写す机

{叫 塑 性 ヒ ン ジ 醐 構

4Elk

，

4

E

lk

.

剛性

-EL

，

-EL

が

O

となる代りに

Oくれ

k2<∞

の値に相当する分だけ存在モーメントが増加することを

意味する。換言すれば

(

9

)

式によって得られた存在モーメ

司王全

(0<長 ぐ 白

J

A

て

ト

=

。

可

。

ント

m

がヒビ割れモーメント慨に達した後は，増分存

在モーメント LJmによる増分塑性回転角 L

J

r

ρ=(H/4EI

k)LJm (0

<

k

<∞)が生じ，

L

J

りを逐次加えて塑性回

転角りが得られる。そして LJrp=Oのとき，弾性となり，

m=myのとき塑性ヒンジが生じ，それ以後は図

4-(c)

と同じ挙動を示す。なおせん断変形に対する塑性化はせ

ん断部材角

R

がある億〔例えば

R=0.25X10-

3

r

a

d

.

)

に

達したときに降伏し，その後は

B

i

.

L

i

n

e

a

r

または

T

r

i

.

L

i

n

e

a

r

型の履歴を固くものと仮定して弾塑性の判定を

行えばよい。

ところで塑性ヒンジ機構における材端モーメント

(m)

と回転角

(r

ρ

〕の関係および部材の材端モーメントと回

転角 Cr) の関係を示せば，図

5

のようになる。

部 材 が 完 全 弾 塑 性 白 と き 部材;o'Bi-Lin岨r<Dとき A

卜

て

=0 (d) 塑 性 ヒ シ ジ 横 構 由 鉱 張 さ れ た 幽 げ モ ー メYト と 塑 性 回 転 角

図

4 塑性ヒンジの機構

相

;

ィ

;

丹

、

TII~内τ:f

_士山

1

1

1

1

-

-

-

-

τ

f

吋

"

-

T

;

1

1

1

'

:

:

'

"

で

f

吋へ't

J

叩I "，~，i'{ 端 部 血 吋 モ メYト と 回 転 角 I 8

片

~十 I

'

9

μ

:

J_L~_:~ _5_:'l__~__{'c718~竺 l 壬 91

表

l 材端モーメン卜と回転角

語

E

扇 町 所 「

0 "

…ート

' 0

…{一一一ーイ

{')n1:"0 I 川 「 。γ

二;汁

子

w ..~.，_ ~，_.，_ ww ~~.ww 五五! 弾性応答値

「戸市両

fSL

一面扇丁馬両面

7

言

語

力

一

1'

忌二

1..~L ー

竺

」

三竺

J

三三セ

J

ー

」

一

一

二

_

L

土ど

上

一

一

一

1

_

1

主

主

I

正直

ι

二

z

t

l

弾明性応答値

表

2

最大応答値

架構に三角形分布の外力が作用するときの各部材の反曲

点を計算して降伏変位を求める。このようにして計算し

た端部モーメント

mi

と回転角ゎは表

1のようになる。

また弾性応答解析のための剛性マトリッグスは，次式で

与えられる。

I

1

0

.

2

4

4

9

1

7

-5

.

6

1

0

5

4

6

0

.

9

5

9

5

4

1

3

[K]=I

7

.

9

1

2

5

2

4

7

-3.5276146

L

2

.

7

0

9

3

3

2

5

減衰常数については，減衰マトリックスは剛性マトリ

y

クスに相似(振動数に比例)と仮定し

1次の減衰常

数は

lhニ0

.

0

1とした。また地震動は EL-CENTRO，

1

9

4

0， NS成分， 最大加速度

αm'X

=

1

0

0

0

GAL

継続時間

T

d=5. 0"0 とし，計算時間刻み L

It=0.002"o

，

とし，解

析は加速度増分方式の線型加速度法によった。

この振動系の固有周期は

1

次

2

次

，

3

次に対して

夫々

lT=0.59

seo

_，2T=0.189

seo

_，

3

T=0.106

seo

である。

解析結果として最大応答値を表

2

に示す。表

2

は弾性

応答値と弾塑性応答値を示すが，これより部材の降伏に

伴う塑性ヒンシにおけるエネノレギー吸収がかなり効果的

に作用していることが明らかである。また最大値近傍の

ある時刻における架構の瞬間応力状態と，変形状態を弾

性，弾塑性夫々に対して図

7に示した。

さらに各部材端における存在モーメント

(m)

と塑性

回転角(

rp)

および自動的に計算の結果得られた存在モ

ーメン卜

(m)

と回転角

rの関係について，

1層柱頭と

2層の梁について，図 8ー

(

a

)

，図

8

-(b)

に示した。

3

.

2

.

RPC (鉄筋コンクリート@プレキャスト構造)

1

1層建物の解析

解析の供した建物は図

9

→

a

)

に示すように

RPC1

1層の

桁行架構である。解析は便宜上

1ユニットのみを抽出し，

梁に剛域を考慮して，図

9-(b)

に示すように柱脚回定の

ラ←メンに抽象化する。

柱 ・ 梁 は ー ト 形 の

RPC部材から成り，柱断面は各

層すべて

5

5

c

mX

9

0

c

m

(巾×丈)，梁断面は 2層は40cmX70

c

m

(巾×丈)， 3層以上の層は， 4

0

c

m

X

5

5

c

mで、ある。

(

i

)

解析の準備〔等価せん断型モテツレ)

建物の材料の特性は，コンクリートは

Fc=

3

5

0

k

g

/

c

m

2

，

E=2.8x10'tjcm'， G =1

.

2x10'tjcm'，鉄筋は SD35

以上のように

(

7

)

式を用いて架構全体の増分剛性マトリ

ックスを算定し，これより線形加速度法等の手法によっ

て応答解析を行えば各節点における増分変位が得られる。

すでに述べたように幾何学的関係から塑性化する位置の

増分回転角

L

1

ri

，

L

1

rj

が決まり，増分モーメント

L

1

mi

，

L

1

mj

が

(

9

)

式より求められる。部材の存在モーメント

mi

，

mj

は増分モ

メント

L

1

mi

，

L

1

mj

を逐次加えて得られる。

応答解析における減衰マトリックスは，上部構造の振

動

，

ロッキングおよびスウェイ振動を伴うので本論では

次のように表わす。

rCθ+{W[H]'[C

l

s

[H

]

{

I

}

{

W

[

H

]

[

C

]

s

{

I

}

-

{

I

}

T

[

H

]

'

[

C

]

s

1

[C]=

I

Co

十

{

I

}

T

[

C

]

S

{

I

}

-

{

I

}

T

[

C

]

S

[

C

]

s

J

ここに IW~lu""'ll， [Hl~

[' • •

1

1

[H] :基礎からの高さのマトリックス

C

θ

:ロッキング振動に関連する減衰常数

C

o

スウェイ振動

グ

[

C

]

s

上部構造の減衰マトリックス

上部構造の減衰マトリックスは次のような考え方があ

ることを参考に示す。

(

1

)

振動数に比例

H-250X125X6X

:

:

J

A

2

3

7

.

6

6

C

(

I

C

I

め

11

均

1

=

与

050(

Z

p

=

3

6

5

'

.

8

7

(

c

r

r

i

可

H

-3

0

0

X

1

5

)

(

6

.

5

)

(

9

A=46.78

1=7210

o

_Zp=542.1

vコ N t<"l 1 1

H-300X150X6.5X9

N p

、

a F寸 X

'

"

αコ

_，

，

" ' 0 C 圃N o t<"l~、 r

、

，

'

"

て

ナ

x

止

Cコ'-'0 o N

z

L

. 由 寸 N H N D 寸 由 同

" H

寸 H. 。 寸 “ ︿

6000

説

寸法と断菌性能

2

，

J

[

C

]

S

=

6

l₁₇

[Kls

_，

_sh=

乎

，

_h

(s=l

_，

₂

_{， 日 )}

T 山，~

(

2

)

質量と剛性の

次形式

[C]s=a[M]

十

y

[

K

]

s

，

sh

二子土

+shr

ムs W

(

3

)

直交減衰マトリックス

[C]S4MLZh s

C

{

s

世

}

{

sq

¥

}

T

]

[

Ml

，

(i

，

j

，

k

，任意の次数)

ヤ

2

shsω

s

s

-{

s

引 I

[

M

]

{

s

q

¥

}

(

4

)

履歴減衰マトリックス

[

C

]

S

二

2

h

[

/ M

]

[

P

]

[

ω

]

[

P

]

'[

，

1

M

，

l

(

[

P

]

:

直交マト

リックス)

尚簡単なブロックチャ←トを附録に示す。

3

. 解 析 例

3

.

1

鉄骨構造

3

層

1

スパン架構

簡単な例として図

6

に示すような鉄骨構造

3

層

，

1

ス

パンの架構について解析する。

架構の各部材断面，断面の諸常数，各層の質量，降伏

モーメン卜および全塑性モーメントは図

6に示す。

各部材の材端モーメント

m

と回転角

r

の関係は，各部

材の降伏変位

riy

を計算してこれより求めた。この場合

3.0

図

6 解析モデノ

L 質 宣

7.5

(~4.95) oy=2.4t~cm

1

1

.

3 E

:

;

'

2

.

1

X

1

'

d

'

t/cm

i(12.995)

降伏モーメント

t

菜は曲げのみ、牲は軸方向考慮)

全塑性モーメントは( )

内

K

示 す

表

3

柱・梁の断面及断面性能

(* ) ヒピ割れ発生後の等価断面2次 モ ー メ ン ト

表

4 復元力特性(等価せん断型モテソレ〕

析を行った結果，

1

次固有周期

lT=0.77033

sec

，

2

次固

有周期

2

T

=0. 2

6

6

1

8

sec

，であった。(高次固有周期及振

動モードは省略)

曲げせん断型モデノレの応答解析結果を表

7

，および図

1

0に示す。

表

7は応答解析結果として，架構の絶対変位，層間変

位，層せん断力，層せん断力係数，節点回転角，

ヒピ割

れ塑性率および降伏塑性率等の最大値を示した。また図

1

0は柱・梁の曲げモーメント，柱@梁の塑性化の状況お

よび架構の変形状態を示す。尚等価せん断型モデノレの応

答結果は省略する。

(v)

解析結果の考察

曲げせん断型モデノレの応答量と等価せん断型モデノレの

応答量との比較を行うと次のようになる。図1

1は絶対変

机tt叫

同

0.01

つ

。

l 0，12 0.031 Tp Ir吋 } →10.0

ζ L

ゃっ5l

1Tl，凹}

日

10.0 -o ， o~ EEPHR)

図 8

存在モーメントと塑性回転角及回転角の関係

0.01 7p叫 W.O

ト

(M)

と部材の回転角

(r)

との関係(11)が

T

r

I

-

L

I

n

e

a

r

型の復元力を用いる。すなわちヒビ割れモーメン卜

(M

c)

，

降伏モーメント

(M

y)

，初期剛性

S

および剛性低下率向

を柱，梁部材の夫々に対して表

5に示す。尚表 5

i

こヒビ

割れ回転角

r

c

，

降伏回転角らも示した。ところで鉄筋コ

ンクリー卜構造計算規準同解説(1

1)

によれば部材のモ

メ

ン

ト

(M)

と部材回転角

(r)

の関係は，部材に逆対象モ

ーメントが作用する場合で，反曲点がつねに一定(し

かも中央〕としているが，実際の部材については，とくに柱

の反曲点がつねに変動するものである。このためあらか

じめ設定した柱部材の

T

r

I

-

L

i

即 日

r

型のモーメントと部材

回転角の関係が実状に合わなくなる。それゆえ本論で示

す塑性ヒンシ機構の関係 m~η の関係を用いて繰返し

載荷における弾塑性のチェックを行う。

(

ii

i

)

解析の内容

この解析においては，応答解析としてすでに発表した

せん断型モテノレに対する解析法(1

2)

と本論において述べた

曲げせん断型モデノレの塑性ヒンジ機構を考慮した解析法

の両者の方法について行った。解析内容を整理して表

6

に示す。

(

i

v

)

解析の結果

固有周期は等価せん断型モデノレについて，固有振動解

m Itn) 1)，'12 fll ， ~3 L (rad)りi明 llradl 図9

ー

(a)

桁行方向フレーム

図9- (b) 解析モデノレ

1

Z

l

9

解析モデノレ

n u q 4 f b n u Q J 1_ム

-m

O

C

1 ム ー ム X 7 -R J n u n リ 2 3 1

: ・

2

5

7

8

m

e

に J 守₃ 3 J n u -ト 山 田 町 DN.0H

お

8

2

' z e ︽ 戸 コ ﹁ J O U 9 0 = 可 ム ハ ワ 圃 ﹁ コ ハU 勺 4

一 一 一 一

日立 ltm) 16，1976 ﹀

↑

﹂

t q J n o no A せ n u l

図 7

ー

(

a

)

弾 性 応 答

v

c

~，ける変形と応力(最大値近傍}

~ ~ 円 U C c a昔8s=0.00456554 U， ~ .u_;=1'':.D795C1ll

"

'

c c

"

g

01;=0.00595324 u2=11.4259cm (斗 ~o.00562578どad u

，

=4 .1693cn"' 4.6754

図'[-

(

b

)

弾 塑 性 応 答

K

か け る 変 形 と 応 力

( 図 中 の ( ) 内 の 値 は 最 大 値 )

(七=5

.

OOsec

のとき、

α= 342.093gah EL-CENTRO

、

1940 )

を使用し

，

(J y二

3

.

5

t

/

cm'

，

E

=2.1xI0

3

tjcm'

である。

建物の重量〔柱荷重)，柱@梁部材の断面および断面性

能等は表

3

に示す。

応答解析に用いる復元力特性は次のように算定した。

すなわち剛性はベース

e

シヤー係数

C=0.25

，逆三角形

震度分布として設計用外力を計算し，図

g-(b)

に示す解

析モデノレについて架構解析を行った日

0)

この結果より，初

期剛性 k

1

，

梁 の ヒ ビ 割 れ 発 生 後 の 剛 性 ん が 求 ま る

O

こ

れらの値を表

H

こ示す。ここにヒビ、割れせん断力，降伏

せん断力は，節点に集る梁のヒピ割れモーメントの和を，

節点に集る柱脚と柱頭に剛比の割合に分配し，

これより

ある階の柱頭，柱剰のモーメントの和を階高で除して求

める。また降伏せん断力を計算する場合この例では梁の

降伏モーメントのほうが柱の降伏モーメントよりも小さ

いので梁崩壊形式となる。

(

i

i

)

解析の準備(曲げせん断型モデノレ〉。

材料の特性，建物の重量および断面の性能等は表

3

i

こ

示す。各部材の復元力特性については，部材のモーメン

位，層間変位，せん断力およびせん断力係数等を示す。

すなわち地震動が

EL-Centro

の場合には曲げせん断型の

応答量よりも等価せん断型のそれが大きく，地震動が

Hachinoe

の場合には等価せん断裂の応答量が曲げせん

断型のそれよりも大きいことが多いが大差なし、。しかし

層間変位については，地震動が

Hachinoe

の場合には，

曲げせん断型と等価せん断型の応答量が入り乱れている。

次に曲げせん断系に関して，柱や梁の部材回転角の降

伏塑性率を図

1

2

に示す。ここに柱については便宜上柱頭

の塑性率と柱脚の塑性率の平均値を採った。さらに各層

の層間変位における柱の部材角と層間変位，節点回転角

と層間変位の関係を図

13

に示す。この結果によれば，層

間変位に影響を及ぼす主なる要因は，節点回転角である

ことがわかる。そしてこの傾向は上層程著しく，下層で

表

5

柱・梁部材の復元力特性(曲げせん断型モデノレ〉

は柱の部材角の影響もかなり大きく，節点回転角と部材

角が層間変位に関係する割合が同等ぐらいになることも

ある。

尚地震動の最大加速度を

300gal

とし，地震動として

EL-Centro

お よ び

Hachinoe

を作用させた場合について，

時系列応答として時刻

t

=3.0sec

と

10sec

における柱，

梁の応力と変位の瞬間値を図

14(a)

，図

14(b)

に示した。

4

. 結 論

本論文は構造物における柱・梁部材の塑性化を単純塑性

解析理論にもとづいて地震応答解析を行う方法を示した

ものである。さらに例題によって，この解析法の妥当性

を示し，若干の考察を行った。

この解析法によれば，部材のヒピ割れ，降伏の状況，

各時系列における応力や変形の状態を明白に把握できる。

ヒピ害時れモーメ

γ

ト

降伏モ メ

ン

ト

剛性低下率

初期剛性

ヒピ割れ回転角 降伏回転角

M

，

(

I

・

出

)

M(e*)m

端

)

My(l.m)

節

M(Y

点

0本.)

，

n)

端

Z"cCrad) (y(rad)

フェイス

節 点

(1.

フェイス

αy S

(

l

.

・

削

irad) XlO-3 XlO-3 11 31.06 39.01 51.60 64.80 0.111 223259.56 0.175 2.609 10 34.30 43.08 60.89 76.46 0.115

_"

0.193 2.291 9 37.54 47.14 69.94 87.83 0.118

_"

0.211 .3.339 柱 8 40.78 51.21 78.74 98.89 0.121

"

0.229 3.657 7 44.02 55.28 87.31 109.64 0.124

_"

0.248 3.948 6 47.26 59.35 95.63 120.09 0.128

_"

0.266 4.213 5 50.50 63.42 103.71 130.24 0.131

_"

0.284 4.454 4 53.74 67.49 115.55 145.11 0.134

_"

0.302 4.840 3 56.98 71.56 119.14 149.62 0.138

_"

0.321 4.872 2 60.22 75.63 126.49 158.85 0.141 223259.56 0.339 5.051 l 63.76 82.55 134.25 173.82 0.144 196032.78 0.421 6.138

ヒピ割れモーメント

降伏モーメント

剛性低下率

初期剛性

ヒビ割れ回転角 降伏回転角

M

，

(

I

'm)

I

M

，

(

I

'm) My(t

・

刑

) I

M

，

.

(

t

・

間

)

S(1. m/rad) Z"c(rad) Ty(rad)

フェイス

剛 域 端

フェイス

剛 域 端

αy XlO-3 XlO-3 R 7.61 8.06 20.01 21.18 0.213 20996.44 0.384 4.745 11 7.76 8.21 23.63 25.01 0.234 21405.68 0.384 4.999 10 8.02 8.49 30.01 31. 78 0.253 22130.57 0.384 5.672 梁 9 8 8.27 8.76 36.17 38.30 0.272 22844.61 0.384 6.167 8.56 9.06 43.09 45.62 0.293 23612.22 0.384 6.598 7 8.62 9.13 47.46 50.25 0.301 2443.04 0.374 6.838 6 8.64 9.15 50.28 53.23 0.306 25059.29 0.365 6.944 5 8.93 9.45 56.14 59.44 0.326 25574.65 0.370 7.120 4 8.93 9.45 57.57 60.95 0.329 25916.08 0.365 7.745 3 8.93 9.45 57.57 60.95 0.329 25916.08 0.365 7.745 2 13.99 15.04 68.43 73.55 0.269 49307.83 0.305 5.540

*フェイスモ メントより反曲点を中央と仮定して節点端モーメントをまめる。

表

6

解析内容一覧

:

:

[

三

戸

!

F

S

ノ

ヘ

o

.

yS

可

町

一

解析モデル 作 用 地 震 動 作用地震動の_{最 大 加 速 度} 減衰常数(，h) 積 分 刻 み_(5配) EL.CENTRO. 1940. NS HACHINOE. 1968. E W 300 ga1 0.05 1/100 等価せん断型 EL-CENTRO. 1940. NS HACHlNOE. 1968. E W 450 gal 0.02 1/100 EL-CENTRO. 1940. NS HACHINOE. 1968. E W 300 gal 0.02 1/400 曲げせん断型 EL.CENTRO. 1940. NS HACHINOE. 1968. E W 450 gal 0.02 1/400

曲げせん断型応答解析結果(*

I)(a." =300gal ， EL-CENTRO ， 1940 NS) 絶対変位 層間変位 居せん断力匝誼 節点回転角 居間部材角 部材回転角 ヒビ割れ塑性率〈叫) 降伏塑性率(叫) 層 u δ Q( I)

。

豆 柱柱頭 脚 色 渠 柱頭 援 柱頭 梁 剛域端 r ， 柱脚 μ" ， μ ，，' μ ，~ μ ' ， y (cm) (cm) (C) (XIO 'rad) (xl 日 'radl (x lO 'rad) (x lO 'rad) 剛域端 柱脚 剛域端 11 7.550 0.620 12.125 2.011 2.297 0.296 2.265 1. 694 5.902 0.113 0.477 ( 0 .4 43) 0.186 1. 065 0.071 10 I 7.191 0.730 17 .4 98 2 .4 01 2.704 0 .4 08 2.703 2.115 7.043 0.178 0.541 ( 0.357) 0.232 1. 202 0.101 9 6.712 0.821 2 1. 217 2.752 3.402 0.443 3.099 2.098 8.077 0.133 0.546 ( 0.30 1) 0.199 0.942 0.060 8 6.092 0.899 24.667 3.039 3.328 0.431 3.422 1. 879 8.926 0.119 0.555 ( 0.268) 0.201 0.876 0.055 7 5.367 0.959 27.714 3.273 3.550 0.405 3.685 1. 636 9.606 0.103 0.959 ( 0.244) 0.220 0.888 0.056 6 4.754 0.988 29.563 3 .4 26 3.659 0.394 3.858 1. 482 10.323 0.094 0.564 ( 0.218) 0.268 1. 008 0.064 5 4.032 0.977 30.850 3.458 3.619 0.383 3.894 1. 348 10.663 0.086 ~.561 ( 0.196) 0.343 1. 207 0.077 4 3.218 0.927 3 1. 569 3.330 3.433 0.356 3.750 1. 178 10.147 0.074 0.527 ( 0.177) 0 .4 06 1. 343 0.084 3 2.336 0.905 32.977 3.176 3.352 0.250 3.576 0.780 9.802 0.051 0.462 ( 0.165) 0.519 1. 619

。

107 2 1. 439 0.802 35.905 3.023 2.972 0.361 3.404 1. 066 9.330 0.072 0.440 ( 0.162) 0.722 2.131 0.143 I 0.638 0.638 38.885 2.362 2.075 0.522 2.622 1. 240 8.596 0.085 0.473 ( 0.158) 2.075 4.927 0.338

表

7

(a)

曲げせん断裂応答解析結果

C* 1) Cα.

，，

=450gal ， EL.CENTRO ， 1940 ， NS) 絶対変位 層間変位 冒せん断力匝誼 節点由転角 層間部材角 部材回転角 ヒビ割れ盤性率{叫} 降伏塑性率(叫) 層 u

s

Q( I)

。

R 柱頭 梁 柱頭 梁 柱頭 梁 柱脚 r ， 剤域端 r ， μ'.' μ ，，' μ ，~ μ ，~ (冊) (叩) (C) (x!O'rad) (X!O 'radl (XIO 'radl (x lO '間出 柱脚 剛域端 柱脚 剛域端 11 I 12.796 0.982 16.831 3.262 3.637 0.377 3.673 2.158 9.571 0.144 0.774 0.614 0.203 1. 162 0.078 10 I 12.142 1. 215 25.269 3.746 4.502 0.822 4.218 4.260 10.992 0.359 0.844 0.516 0.332 1. 721 0.145 9 I 11. 369 1. 383 3 1. 331 4.440 5.123 0.812 5.000 3.845 13.032 0.243 0.881 0.444 0.393 1. 861 0.118 8 I 10 .4 20 1. 463 35.103 4.904 5.417 0.715 5.522 3.117 14.404 0.196 0.895 0.381 0.393 1. 713 0.107 7 9.311 1. 475 37.535 5.092 5.462 0.737 5.734 2.976 14.948 0.187 0.869 0.330 0.463 1. 870 0.117 6 8.042 1. 465 39.319 5.108 5 .4 26 0.886 5.752 3.333 15.391 0.210 0.841 8.290 0.497 1. 870 0.118 5 6.772 1. 701 40.476 5.272 6.299 1.1 71 5.937 4.122 16.258 0.263 0.855 0.258 0.564 1. 785 0.127 4 5.336 2.301 40.820 6.180 8.524 2.383 6.959 7.883 18.831 0.492 0.977 0.229 0.565 1. 869 0.117 3 3.532 1. 415 44.623 5.348 5.242 0.744 6.022 2.321 16.506 0.153 0 ， 778 0.223 0.816 2.546 0.168 2 2.158 1. 211 48.323 4.535 4.487 0.534 5.107 1. 576 13.271 0.106 0.660 0.218 1. 274 3.761 0.252 l 1. 001 1001 520.32513 3 3.393 3.254 0.677 3.766 1. 608 12.347 0.110 0.680 3.254 7:727 0.530

表

7

(c)

(* 1) ，1t =0.02 ， &1=1/400 配 C (*2) ， (ホ 3) 表 5 ，こ示す設定されたヒピ割れ回転角守降伏回転角から算出した。すなわち， μ 口 =!c p.，，~=-I-ι ， μ e

，

y=

エ乙

J.1. K

，

Y= 工 ι l" c， c Z" g ， C Tc.)' TH~"

曲げせん断型応答解析結果(*

1)(両日= 300gal ， HACHINOHE ， 1968 ， EN) (*1)

，

h=0.02 ， &1=1/400

，

ec (*2) ， (*3) 表 5 に示す設定されたヒビ割れ回転角.降伏回転角から草出した。すなわち， μr.r=_!_ 三 J.L u= -.IL μeJ=ZL ， μ

，..v=

工 L l" c.c r ι rc~" Tgs

表

7

(b)

絶対変位 層間変位 冒せん

a

活力匝量 節点回転角 層間部材角 部材回転角 ヒビ割れ塑性率{叫} 降伏塑性率(叫〉 層 u

s

Q( I)

。

R 柱柱頭 脚 " 梁 柱頭 梁 柱頭 梁 剛域端" μ' ，' μ ，.， p ，~ μ ，~ (cm) (cm) (C) (X!O 'radl (x lO 'radl {xIO' 問d> (x lO 'radl 柱脚 岡 i 域端 柱脚 間 1 域端 111 20.981 00.986 14.224 3.269 3.652 0.389 3.682 2.265 9.599 0.149 0.776 ( 0.519) 0.201 1.1 71 0.077 101 20.012 1. 369 23.619 3.826 5.071 1. 276 4.308 6.614 11. 227 0.557 0.862 ( 0.482) 0.384 1. 990 0.168 9 1 18.687 1. 795 32.681 5.155 6.649 1. 499 5.805 7.099 15.130 0.449 1. 023 ( 0.463) 0.487 2.331 0.146 8 1 16.989 2.183 39.750 6.571 8.085 1. 552 7 .4 00 6.635 19.302 0.424 1. 200 ( 0 .4 3 1) 0 .4 76 2.075 0.130 7 1 14.936 2.484 45.374 7.867 9.199 1. 425 8.860 5.755 23.097 0.361 1. 343 ( 0.399) 0.444 1. 793 0.112 6 1 12.599 2.650 49.947 8.830 9.815 1. 331 9.944 5.006 26.608 0.316 1. 454 ( 0.369) 0.843 3.171 0.200 5 1 10.121 2.621 53.124 9.117 9.707 1. 002 10.266 3.527 28.112 0.225 1. 478 ( 0.338) 1. 369 4.819 0.307 4 7.930 2.428 56.027 8.490 8.993 1. 200 9.561 3.970 25.872 0.248 1. 343 ( 0.314) 1. 362 4.506 0.281 3 5.703 2.254 58.502 7.819 8.348 0.612 8.805 1. 9 日 9 24.135 0.126 1.1 37 ( 0.292) 1. 440 4.493 0.296 2 3.470 1. 989 60.884 7.188 7.366 0.599 8.095 1. 768 22.189 0.119 1. 046 ( 0.274) 2.421 7.147 0 .4 79 1 1. 489 1. 489 63.472 4.968 4.841 0.683 5.514 1. 622 18.078 0.111 0.995 ( 0.259) 4.841 11. 496 0.789

曲げせん断型応答解析結果(*

1) (a." =450 gal ， HACH lN OHE ， 1968 ， EW) 絶対変位 層間変位 層せん断力距数 節占周転角 層品明 l 材角 部材回転角 ヒヒ割れ塑性率(叫} 降伏塑性率(叫) 層 u 8 Q (t)

。

R 柱柱頭 澗 ‘ 梁 柱頭 梁 住頭 梁 剛域端'. μ' ，' μ ，.， μ ，~ μ ' ， y (cm) (cm) CC) (xl0 'radl (xl0 'radl (XIO 'radl (x J() 'radl 柱脚 剛域端 柱脚 剛域端 111 36.206 1. 082 15.244 3.439 4.008 0.569 3.873 3.257 10.092 0.218 0.816 0.556 0.202 1.1 56 0.116 10 I 35.319 1. 515 25.163 4.180 5.613 1. 439 4.707 7.458 12.266 0.628 0.942 0.514 0.355 1. 840 0.155 9 1 34.099 2.153 32.903 5.692 7.975 2.323 6.410 11. 0 日 1 16.707 0.696 1.1 30 0.466 0.427 2.022 0.128 8 1 32.048 2.789 41. 452 8.017 10.331 2.789 9.028 12.159 23.549 0.763 1. 464 0.450 0.531 2.315 0.145 7 1 29.963 3.440 48.392 10.203 12.743 3.302 11. 490 13.335 29.953 0.836 1. 741 0.425 1. 161 4.689 0.294 6 1 26.574 4.433 53.286 13.501 16.418 2.952 15.203 11. 105 40.680 0.701 2.223 0.394 1. 514 5.695 0.359 5 1 22.189 5.158 57.024 17.275 19.103 1. 874 19.454 6.597 53.272 0.421 2.802 0.363 1. 857 6.537 0.417 4 1 17.084 5.362 6 1.1 66 18.782 19.861 1. 557 21.1 50 5.151 57.231 0.342 1. 885 6.236 0.389 3 1 11. 762 4.950 65.262 18.366 18.334 1. 340 20.682 ~.I~: I 56.690 ~.~:5 I 2.671 0.326 3.039 9.482 i 0.624 L.Oll I 2 6.835 3.976 69 .4 77 15.349 14.725 1. 236 17.285 134362491 11 47378 J0029460 5 2.232 0.313 4.851 l 2.863 2.863 74.413 9.890 9.309

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i 10.977

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35.988

~.:~~

1. 981 0.303 9.309 : .".""

i

22.105 "".""" 1. 517

表

7

(d)

(0 1) ，1t =0.02 ， &1=1/400 目 C (*2) ， (*3) 表 5 に示す設定されたヒヒー割れ回転角，降伏回転角から算出したのすなわち. Tc Tg Tc ~ μr ， c= 一一一， μ ， .r= で一一， μ c.Y= で一一， μg ， y= で一一 LC.C ι 丸 LCS L I1 S C* 1)

，

h=0.02 ， &1=1/400 配 C (牟 2) ， C キ 3) 表 5 に示す設定されたヒピ割れ回転角。降伏回転角から算出しすこ すなわち， l" r r "， r" T g μc ， r=-ー， μ K.C= 一ー， μC~"= 三一 P-KS= 二← l" c.c <1'(..(' r 町 1: g ，，'

.~司 (jh =O .02 I .1 t=1/400-~) EL-CENTRO 1940 NS

，

am ，， ~300" ，1 >S.竺ト !叫節点蛸

-"凶 0.40 "1 ・ 0.)4 77 ア 777 ケ 1t1

x

r

山げモーメント (tm) 作田材則性化状出 Iti :A ::J!:'形 0 昨伏 x :ひび削れ iJ l ロ n)

，

Tc ( 1 0"]四 d) RI 10'rad)

，

6 ( 10' 四 d) o 1 田) ， T

，

1

l

<J 'rad)

関

10-(a)

曲げモ

メント。変形の最大値と各部材の塑性化状況

L9.47 {品、)節点制 sec (th=O.02 ， ..1t= 1/400---) HACHINOHE 1968 EN

，

am'F300

，，

1 ¥J'< 12.579 ("， 2.650 IT9.G15 U"' lO.121 f.， 2.~21 ftm9 ，7 日 7 ).I {ml.J4

"f'--'.t

三

ε 〉えて-71¥ u= 7.91 日 '''=2.42 日 R>< 9.99J u 司勺 '" 品目 2.2~4 R 才自咽"由 U-~. ~ 10 品 1.~ 1I' 1 n~7.J66 u-1. 4R9 ← 1.4~9 ~.HH f 立大山げモメント It 悶) 名前扮則性化状抗 最大波形 0 ・昨伏 x: ひび割れ μ(an)

，

T( ( 1 0'合 rad) R 1 1a'rad)

， a

(

11 庁 lrad) δ{ 四九 九 110 雪国 d)

図

10-(b)

曲げモーメント@変形の最大値と各部材の塑性化状況

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