第 7 回中間試験前の演習 問題 1. キルヒホッフの法則, 合成抵抗 / インピーダンスの式 1) 図 7.1 の2つの回路について, 端子 A,B 間の抵抗値を導き出せ a) 抵抗 R1 ~ R N に流れる電流を i,ab 間の電位差を v とすると, R 1 ~ R N のそれ A ぞれの抵

第 7 回

中間試験前の演習

問題 問題 問題 問題 １１ ．１１．．．キルヒホッフキルヒホッフキルヒホッフキルヒホッフののの 法則の法則法則 ，法則， 合成抵抗，，合成抵抗合成抵抗合成抵抗 //// インピーダンスインピーダンスインピーダンス のインピーダンスののの 式式式式 １）図7.1の２つの回路について，端子A，B間の抵抗値を導き出せ。 a）抵抗R₁～R_Nに流れる電流を i，AB 間の電位差を

v

とすると，R₁～R_Nのそれ ぞれの抵抗の両端の電位差は，R i₁ ～R i_N となる。AB 間の電位差

v

は N 個の 抵 抗 の 端 子 間 の 電 位 差 を 加 え た も の に 等 し い の で ， 1 2 N ( 1 2 N) R i+R i+ +⋯ R i= R +R + +⋯ R i=v と な る 。 こ の 式 よ り ， 抵 抗 N 本 を 直 列 接 続 し た 場 合 の 合 成 抵 抗 は 1 2 N R +R + +⋯ R となることがわかる。 b）抵抗R₁～R_Nに流れる電流を，それぞれi₁～i_Nとする。，すべての抵抗R₁～R_N の両端の電位差は等しく

v

なので，R i_{1 1}=R i_{2 2}= =⋯ R i_{N N} =v・・・（１ ） AB 間に流れる電流iはi₁+ + +i₂ ⋯ i_Nなので，合成抵抗の値を R とすると 1 2 ( _N) R i + + +i ⋯ i =v （１ ）より，i₁=v R/ ₁，i₂ =v R/ ₂，・・・i_N =v R/ _Nなので， 1 2 1 2 1 2 1 / / / 1 / 1 / 1 / N N N v v R i i i v R v R v R R R R = = = + + +⋯ + + +⋯ + + +⋯ ２）以下の回路における点A～Dにおける電位を求めよ。

ループ内の抵抗値の合計は，1.2 + 2.7 + 3.3 = 7.2 [k

Ω

]

したがって，流れる電流 i は，

i=2.4=1 7.2 3

[mA]

この値を使って，A～D の電位は，以下のようになる。

A：2.4 [V]（電圧源と同じ電位）

B：2.4 - 1.2×10

3

_×(1/3)×10

-3

_{– = 2.4 - 0.4 = 2.0 [V]}

C：2.0 - 2.7×10

3

_×(1/3)×10

-3

_{– = 2.0 - 0.9 = 1.1 [V]}

D：0 [V]（基準電位と同じ電位）

（確認すると，1.1 - 3.3×10

3

_×(1/3)×10

-3

_{– = 1.1 - 1.1 = 0.0 [V]）}

３）以下のSI単位系の接頭辞が表す倍数を示せ。例：k（キロ）：10 3

m（ミリ，milli） p（ピコ，pico） M（メガ，mega） T（テラ，tera） µ（マイクロ，micro） G（ギガ，giga） n（ナノ，nano） P（ペタ，peta） f（フェムト，femto）

# この機会に，接頭辞を覚えてしまおう。

1

R

2

R

N

R

A B 1

R

R

₂

R

_N A B a） b） 図7.1 N本の抵抗の接続

2.7 k

Ω

3.3k

Ω

2.4 V

A

B

C

D

1.2 k

Ω

図7.2 A～Dでの電圧降下

問題 問題問題 問題 ２２２２ ．．．．分圧回路分圧回路分圧回路分圧回路 図 7.3に示す回路は，いずれも分圧回路として考えることができる。以下の問いに答えよ。数値は，単位 に適切と考えられる接頭辞を使い，小数点以下１桁まで求めよ。 ① 直流電圧発生回路 ② 電圧調整回路 ③ 豆電球駆動回路 図7.3 分圧回路 １）①の回路の等価出力電圧と等価出力抵抗を求めよ。

ⅰ）出力端開放時の出力電圧は，

V_O= 2 12 = 0[V]2. 10 + 2

ⅱ）電圧源をショートして抵抗を計算すると，

R_O= 1 = 1 [k ]Ω 1/ 10 + 1/ 2 0.6

=1.7k

Ω

以上より，等価出力電圧は 1.0 [V]，等価出力抵抗は 1.7 [k

Ω

]

２）②の回路で，出力電圧を1Vに設定するための可変抵抗器の抵抗値R_Vを求めよ。

V O V = 5 = 1 2.7 +

R

V

R

5

R

V = 2.7 +

R

V

より，

4

R

_V= 2.7

→

R

_V = 2.7 / 4[k ]= 675.0Ω

[

Ω

]

３）③の回路で，負荷抵抗である豆電球の端子間に加わる電圧を求めよ。

O × × 5.0 5.0 = 1.2 = 1.2 = 1.0 1.0 + 5.0 6.0

V

[V]

４）情報科学科2 年生のA君は，図7.4の回路で，スイッチがOFF，出力端子がオープンのとき，出力電圧 が５Ｖとなることを理解できないと言う。A 君がわかるように，式や図を使って説明せよ。

例１ ：プルアップ抵抗の根元の電位は５ V である。スイッチが OFF,

出力端子がオープンのとき，プルアップ抵抗に流れる電流は 0

したがって，

V

O= 5- 2.7 0 = 5 ×

[V]

例２ ：負荷抵抗を

R

_L

とすると，下の図のような分圧回路とみなせる。

× L O L = 5 2.7 +

R

V

R

，出力端子がオープンなので，

R

L

→∞とすると，

→∞   × ×     R

R

V

R

L L O L = lim 5 = 1 5 = 5 2.7 +

[V]

10k

Ω

2k

Ω

12 V

O

V

5 V

out

V

2.7 k

Ω

V

R

1.0

Ω

L

= 5

R

Ω

1.2 V

ここの電位は 5V

Ω 2.7 k O V 5 V Ω Lk R

電流は 0

2.7 k

Ω

O

V

5 V

図 7.4 論理回 路イ ンタ フェ ース回路

問題 問題 問題 問題 ３３３３ ．．．．テブナンテブナンテブナンテブナン ののの 定理の定理定理 定理 図7.5に示す回路について，テブナン型等価回路を求めよ。

ⅰ）出力端開放時の出力電圧

V

_O

[V],電圧源から流れ出す電

流を i[mA]とすると，各抵抗に流れる電流は図のようになる

ので，

12 V− O _{+ 1 =}VO 2 2

より，

12 V + 2 = V− O O

V = 14 / 2 = 7.0_O

[V]

ⅱ）電圧源をショート,電流源をオープンして抵抗を計算すると，

O R = 1.5 + 1 = 1.5 + 1.0 = 2.5[k ]Ω 1/ 2 + 1/ 2

以上より，等価出力電圧は 7.0 [V]，等価出力抵抗は 2.5 [k

Ω

]

問題 問題 問題 問題 ４４４４ ．．．．フェーザフェーザフェーザフェーザ 表現表現表現 表現 １）以下の実関数で与えられる正弦波信号の複素振幅を複素平面上に図示せよ． ①2 cos(ω πt− / 3) ②sin(ωt+5 / 4)π ③3sin(ω πt− / 6)

２）以下の実関数で与えられる正弦波信号の複素振幅を複素平面上に図示せよ． ①cosωt+sinωt ②2 cosωt+sinωt ③ 2 cos(ωt+3 / 4)π −2 sinωt

１） ① 2cos(ω πt− / 3)

：絶対値 2，位相-

π

/3 より。

② sin(ωt+5 / 4)π

：絶対値 1，

sin tω (複素振幅-j)

を位相 5

π

/4 だけ進めたものになる。

③ 3sin(ω πt− / 6)

：絶対値 3，

3sin tω (複素振幅-3j)

を位相

π

/6 だけ遅らせたたものになる。

２） ① cosωt+sinωt

：複素振幅は，1 - j となる。

② 2cosωt+sinωt

：複素振幅は，2 - j となる。

③ 2 cos(ωt+3 / 4)π −2 sinωt

：複素振幅は，

π =     j3 /4 1 1 2e 2 - + j + 2j = -1+3j 2 2

となる。

Im

Re

1

2

3

Im

Re

1

2

3

i

i

+

1

V

O 図 7.5 電 圧 源 と 電 流 源 を 含 む回路

2k

Ω

1.5k

Ω

12 V

O

V

1.0 mA

2k

Ω

２）複素振幅が以下の式で与えられる周波数

ω

の正弦波について，実関数を用いる表現を求めよ。位相 はラジアン単位で求め，

π

を含む形で求められない場合には 1 tan ( )− （tan( )の逆関数）を用いて表せ。 ① ( /3) 2e−jπ ，②2 2 3+ j，③1+j，④3 4 j+ ① ( /3) 2e−jπ ：直ちに，2cos(ωt π− / 3) ②2+2 3 j：

+

π j /3

2 2 3j = 4e

より，4cos(ωt π₊ / 3) ( /3

cos

sin

1

3

3

3

2

2

j

e

π

=

π

+

j

π

= +

j

を覚えておこう) ③1+ j：

+

π j /4

1 j = 2e

より， 2cos(ωt π+ /4) ④3 4 j+ ：絶対値は，

+

=

=

2 2

3

4

25 5

，したがって5cos(ωt+_θ)，ただし_θ=  _{ }   -1 4 3 tan

[rad]

３）以下の式で表される正弦波の振幅と位相を求めよ。位相はラジアン単位で求め，

π

を含む形で求め られない場合には， 1 tan ( )− （tan( )の逆関数）を用いて表せ。 ①cos

ω

t+2sin

ω

t+4 cos(

ω π

t+ / 6) ②2 cos

ω

t+2sin

ω

t+sin(

ω π

t+ / 4) ③cos

ω

t−2 sin

ω

t+ 2 cos(

ω π

t+ / 4)

①cos

ω

t+2sin

ω

t+4 cos(

ω π

t+ / 6)

複素振幅は，

cos t

ω

→1，2 sin t

ω

→-2j， 4 cos(

ω π

t+ / 6)→













/

4

= 4 cos

+ jsin

6

6

jπ 6

π

π

e

=





_

+





_

+





3

1

4

j = 2 3 2j

2

2

なので，

cos

ω

t+2sin

ω

t+4 cos(

ω π

t+ / 6)→1 - 2j +

2 3 2j

+

=

1+ 2 3

よって，振幅は

1+ 2 3

，位相は 0[rad]

②2 cos

ω

t+2sin

ω

t+sin(

ω π

t+ / 4)

複素振幅は，

2 cos t

ω

→2，2sin t

ω

→-2j，

sin(

ω π

t+ / 4)→

-je

j /4π

= -j{cos( / 4)+ jsin( / 4)}= -j( 2 / 2+ j 2 / 2)

π

π

なので，

2 cos

ω

t+2sin

ω

t+sin(

ω π

t+ / 4)→2 - 2j +

2 2

/

−

2j 2

/

=

2+ 2 2-(2+ 2 2)j

/

/

よって，振幅は

2+ 2 2

/

，位相はははは

-

π

/4 [rad]

③cos

ω

t−2sin

ω

t+ 2 cos(

ω π

t+ / 4)

複素振幅は，

cos t

ω

→1，−2sin t

ω

→2j， 2 cos(

ω π

t+ / 4)→

2(1

/

2 j

+

/

2)= 1+ j

なので，

cos

ω

t−2sin

ω

t+ 2 cos(

ω π

t+ / 4)→1 + 2j + 1 + j = 2 + 3j よって，振幅は

2

2

+

3 = 13

2 ，位相_θ=  _{ }

  tan-1 3

問題 問題 問題 問題 ５５５５ ．．．．インピーダンスインピーダンスインピーダンスインピーダンス １） 図7.6の回路について，端子A，B間のインピーダンスを計算せよ。 ① ② ③ ④ ① 1 1 / ( ) R j C

ω

+ j L

ω

+ 2 1 L R j LC

ω

ω

= + − ② 1 j L R j C

ω

ω

+ + R j L 1 C

ω

ω

  = +  −    ③ 1 1 / (j L

ω

)+ j C

ω

+1 /R ₁ 2 _/ j L LC j L R

ω

ω

ω

= − + ₍₁ 2 ₎ j LR R LC j L

ω

ω

ω

= − + ④ 1 2 1 1 1 / ( ) 1/ 1/ ( ) j C

ω

+ j L

ω

+ R+ j L

ω

1 2 2 2 1 1 / 1 j L j L j L R L C

ω

ω

ω

ω

= + + − ２）以下の回路について，それぞれの設問に答えよ。

C

R

L

R

C

L

1

L

C

2

L

R

図7.6 抵抗，キャパシタ，インダクタを組み合わせた二端子回路

L

R

C

整理しない形でも正解とします。 in

V

V

_out

R

[

[

[

[

Ω

]

]

]

]

L

[

[

[

[

H

]

]

]

]

C

[

[

[

[

F

]

]

]

]

cos t

ω

① 出 力 電 圧 の 複 素 振 幅 を ， 素 子 の 定 数 （R，C，Lなど）と角周波数ωの関数 として求めよ。 C [[[[F]]]] R [[[[Ω]]]]

cos t

ω

O

V

②角周波数ωが 1/(RC)に等しいときの 出力電圧の振幅と位相を求めよ。 入力信号の複素振幅は１ 。 分圧回路と考えると，出力電圧の複素振幅は， 1 1/ { 1 / ( )} R j C

ω

+ j L

ω

+R× { 1/ ( )} 1 { 1 / ( )} j C j L R j C j L R

ω

ω

ω

ω

+ = + + 2 2 (1 ) (1 ) LC R LC R j L

ω

ω

ω

− = − + 入力信号の複素振幅は１ 。 分圧回路と考えると，出力電圧の複素振幅は， 1 1 1 j C R j C

ω

ω

× + 1 1 j CR

ω

= + 1 CR

ω

= を代入して整理すると， 1 1 2 /4 1 2 2 j j e j π − − = = + 以上より，振幅は 2 / 2 （≒0.7）[V],位相は

− π

/4

[rad]

問題 問題問題 問題 ６６６６ . . . . 回路図回路図回路図回路図のの 書のの書書書 きききき換換換換 ええええ １）図7.7の回路について， ①端子A，B間，および，②端子A，C間の抵抗を計算せよ。 ① ② 1 3 3 1 /R+1 / (3 )R =3 1+ R=4R 1 1 / (2 ) 1 / (2 )R + R =R ３）以下の①～③の回路について，端子A，B間の抵抗を求めよ。 1 1 1 / 1 / 1 / 1 / 2 2 R R R R+ R+ R+ R = + = 1 1 / 1 / 1 / 3 R R+ R+ R= 1 2 1 /R+1 / 2R =3R

R

A

B

R

R

R

A

B

R

R

R

R

A

B

R

R

R

R

R

R

_D

A

B

C

R

R

R

図 7.7 ４ 本 の 抵 抗 を 接続した回路 ① ② ③ R A B R R R R A B R R R A B R R R R R D A B C R R R R A B R R R C R この部分は①と同じ 電気・電子回路では，頭の中で素子の向きや導線を自由に変形して考える能力 が役に立つ。初めのうちは，実際に変形した回路図を書いてみるとよいだろう。

中間試験前の演習 解答例

問題 問題 問題 問題 １１ ．１１．．．キルヒホッフキルヒホッフキルヒホッフキルヒホッフののの 法則の法則法則 ，法則， 合成抵抗，，合成抵抗合成抵抗合成抵抗 //// インピーダンスインピーダンスインピーダンス のインピーダンスののの 式式式式 １）図7.1の２つの回路について，端子A，B間の抵抗値を導き出せ。 a）抵抗R₁～R_Nに流れる電流を i，AB 間の電位差を

v

とすると，R₁～R_Nのそれ ぞれの抵抗の両端の電位差は，R i₁ ～R i_N となる。AB 間の電位差

v

は N 個の 抵 抗 の 端 子 間 の 電 位 差 を 加 え た も の に 等 し い の で ， 1 2 N ( 1 2 N) R i+R i+ +⋯ R i= R +R + +⋯ R i=v と な る 。 こ の 式 よ り ， 抵 抗 N 本 を 直 列 接 続 し た 場 合 の 合 成 抵 抗 は 1 2 N R +R + +⋯ R となることがわかる。 b）抵抗R₁～R_Nに流れる電流を，それぞれi₁～i_Nとする。，すべての抵抗R₁～R_N の両端の電位差は等しく

v

なので，R i_{1 1}=R i_{2 2}= =⋯ R i_{N N} =v・・・（１ ） AB 間に流れる電流iはi₁+ + +i₂ ⋯ i_Nなので，合成抵抗の値を R とすると 1 2 ( _N) R i + + +i ⋯ i =v （１ ）より，i₁=v R/ ₁，i₂ =v R/ ₂，・・・i_N =v R/ _Nなので， 1 2 1 2 1 2 1 / / / 1 / 1 / 1 / N N N v v R i i i v R v R v R R R R = = = + + +⋯ + + +⋯ + + +⋯ ２）以下の回路における点A～Dにおける電位を求めよ。

ループ内の抵抗値の合計は，1.2 + 2.7 + 3.3 = 7.2 [k

Ω

]

したがって，流れる電流 i は，

i=2.4=1 7.2 3

[mA]

この値を使って，A～D の電位は，以下のようになる。

A：2.4 [V]（電圧源と同じ電位）

B：2.4 - 1.2×10

3

_×(1/3)×10

-3

_{– = 2.4 - 0.4 = 2.0 [V]}

C：2.0 - 2.7×10

3

_×(1/3)×10

-3

_{– = 2.0 - 0.9 = 1.1 [V]}

D：0 [V]（基準電位と同じ電位）

（確認すると，1.1 - 3.3×10

3

_×(1/3)×10

-3

_{– = 1.1 - 1.1 = 0.0 [V]）}

３）以下のSI単位系の接頭辞が表す倍数を示せ。例：k（キロ）：10 3

m（ミリ，milli） 10-3 p（ピコ，pico） 10-12 M（メガ，mega） 106 T（テラ，tera） 1012 µ（マイクロ，micro） 10-6 G（ギガ，giga） 109 n（ナノ，nano） 10-9 P（ペタ，peta） 1015 f（フェムト，femto） 10-15

# この機会に，接頭辞を覚えてしまおう。

この他にも，物理量によって，h（ヘクト hect， 2

10 ），da（デカ deca，10），d（デシ deci， 1 10− ），c（センチ centi， 2 10− ）などが使われる。

2.7 k

Ω

3.3k

Ω

2.4 V

A

B

C

D

1.2 k

Ω

図7.2 A～Dでの電圧降下 1

R

2

R

N

R

A B 1

R

R

₂

R

_N A B a） b） 図7.1 N本の抵抗の接続

問題 問題問題 問題 ２２２２ ．．．．分圧回路分圧回路分圧回路分圧回路 図 7.3に示す回路は，いずれも分圧回路として考えることができる。以下の問いに答えよ。数値は，単位 に適切と考えられる接頭辞を使い，小数点以下１桁まで求めよ。 ① 直流電圧発生回路 ② 電圧調整回路 ③ 豆電球駆動回路 図7.3 分圧回路 １）①の回路の等価出力電圧と等価出力抵抗を求めよ。

ⅰ）出力端開放時の出力電圧は，

V_O= 2 12 = 0[V]2. 10 + 2

ⅱ）電圧源をショートして抵抗を計算すると，

R_O= 1 = 1 [k ]Ω 1/ 10 + 1/ 2 0.6

=1.7k

Ω

以上より，等価出力電圧は 2.0 [V]，等価出力抵抗は 1.7 [k

Ω

]

２）②の回路で，出力電圧を1Vに設定するための可変抵抗器の抵抗値R_Vを求めよ。

V O V = 5 = 1 2.7 +

R

V

R

5

R

V = 2.7 +

R

V

より，

4

R

_V= 2.7

→

R

_V = 2.7 / 4[k ]= 675.0Ω

[

Ω

]

３）③の回路で，負荷抵抗である豆電球の端子間に加わる電圧を求めよ。

O × × 5.0 5.0 = 1.2 = 1.2 = 1.0 1.0 + 5.0 6.0

V

[V]

４）情報科学科2 年生のA君は，図7.4の回路で，スイッチがOFF，出力端子がオープンのとき，出力電圧 が５Ｖとなることを理解できないと言う。A 君がわかるように，式や図を使って説明せよ。

例１ ：プルアップ抵抗の根元の電位は５ V である。スイッチが OFF,

出力端子がオープンのとき，プルアップ抵抗に流れる電流は 0

したがって，

V

O= 5- 2.7 0 = 5 ×

[V]

例２ ：負荷抵抗を

R

_L

とすると，下の図のような分圧回路とみなせる。

× L O L = 5 2.7 +

R

V

R

，出力端子がオープンなので，

R

L

→∞とすると，

→∞   × ×     R

R

V

R

L L O L = lim 5 = 1 5 = 5 2.7 +

[V]

10k

Ω

2k

Ω

12 V

O

V

5 V

out

V

2.7 k

Ω

V

R

1.0

Ω

L

= 5

R

Ω

1.2 V

2.7 k

Ω

O

V

5 V

図 7.4 論理回 路イ ンタ フェ ース回路

ここの電位は 5V

Ω 2.7 k O V 5 V Ω Lk R

電流は 0

問題 問題 問題 問題 ３３３３ ．．．．テブナンテブナンテブナンテブナン ののの 定理の定理定理 定理 図7.5に示す回路について，テブナン型等価回路を求めよ。

ⅰ）出力端開放時の出力電圧

V

_O

[V],電圧源から流れ出す電

流を i[mA]とすると，各抵抗に流れる電流は図のようになる

ので，

12 V− O _{+ 1 =}VO 2 2

より，

12 V + 2 = V− O O

V = 14 / 2 = 7.0_O

[V]

ⅱ）電圧源をショート,電流源をオープンして抵抗を計算すると，

O R = 1.5 + 1 = 1.5 + 1.0 = 2.5[k ]Ω 1/ 2 + 1/ 2

以上より，等価出力電圧は 7.0 [V]，等価出力抵抗は 2.5 [k

Ω

]

問題 問題 問題 問題 ４４４４ ．．．．フェーザフェーザフェーザフェーザ 表現表現表現 表現 １）以下の実関数で与えられる正弦波信号の複素振幅を複素平面上に図示せよ． ①2 cos(ω πt− / 3) ②sin(ωt+5 / 4)π ③3sin(ω πt− / 6)

２）以下の実関数で与えられる正弦波信号の複素振幅を複素平面上に図示せよ． ①cosωt+sinωt ②2 cosωt+sinωt ③ 2 cos(ωt+3 / 4)π −2 sinωt

１）① 2cos(ω πt− / 3)

：絶対値 2，位相-

π

/3 より。

② sin(ωt+5 / 4)π

：絶対値 1，

sin tω (複素振幅-j)

を位相 5

π

/4 だけ進めたものになる。

③ 3sin(ω πt− / 6)

：絶対値 3，

3sin tω (複素振幅-3j)

を位相

π

/6 だけ遅らせたたものになる。

２）① cosωt+sinωt

：複素振幅は，1 - j となる。

② 2cosωt+sinωt

：複素振幅は，2 - j となる。

③ 2 cos(ωt+3 / 4)π −2 sinωt

：複素振幅は，

π =     j3 /4 1 1 2e 2 - + j + 2j = -1+3j 2 2

となる。

１） ２）

Im

Re

1

2

3

Im

Re

1

2

3

i

i

+

1

V

O

−

2cos(

ωt π

−

/ 3)

2cos(

ωt π

/ 3)

+

sin(

ωt

+

5 /4)

π

sin(

ωt

5 /4)

π

−

3sin(

ωt π

−

/6)

3sin(

ωt π

/6)

①

②

③

cos

ωt

-sin

ωt

+

2cos(

ωt

3 /4)

π

+

2cos(

3 /4)

- 2sin

ωt

π

ωt

cos

ωt

+sin

ωt

①

2cos

ωt

+sin

ωt

②

③

sin

ωt

cos

ωt

-sin

ωt

+

2cos(

ωt

3 /4)

π

+

2cos(

3 /4)

- 2sin

ωt

π

ωt

cos

ωt

+sin

ωt

①

2cos

ωt

+sin

ωt

②

cos

ωt

-sin

ωt

cos

ωt

-sin

ωt

+

2cos(

ωt

+

3 /4)

π

2cos(

ωt

3 /4)

π

+

2cos(

3 /4)

- 2sin

ωt

π

ωt

cos

ωt

+sin

ωt

①

cos

ωt

+sin

ωt

①

2cos

ωt

+sin

ωt

②

2cos

ωt

+sin

ωt

②

③

sin

ωt

sin

ωt

図 7.5 電 圧 源 と 電 流 源 を 含 む回路

2k

Ω

1.5k

Ω

12 V

O

V

1.0 mA

2k

Ω

２）複素振幅が以下の式で与えられる周波数

ω

の正弦波について，実関数を用いる表現を求めよ。位相 はラジアン単位で求め，

π

を含む形で求められない場合には， 1 tan ( )− （tan( )の逆関数）を用いて表 せ。 ① ( /3) 2e−jπ ，②2 2 3 j+ ，③1+j，④3 4 j+ ① ( /3) 2e−jπ ：直ちに，2cos(ωt π− / 3) ②2 2 3 j+ ：

+

π j /3

2 2 3j = 4e

より，4cos(ωt π₊ / 3) ( /3

cos

sin

1

3

3

3

2

2

j

e

π

=

π

+

j

π

= +

j

を覚えておこう) ③1+ j：

+

π j /4

1 j = 2e

より， 2cos(ωt π₊ /4) ④3 4 j+ ：絶対値は，

+

=

=

2 2

3

4

25 5

，したがって5cos(ωt_+θ)，ただし_θ=  _{ }   -1 4 3 tan

[rad]

３）以下の式で表される正弦波の振幅と位相を求めよ。位相はラジアン単位で求め，

π

を含む形で求め られない場合には， 1 tan ( )− （tan( )の逆関数）を用いて表せ。 ①cos

ω

t+2sin

ω

t+4 cos(

ω π

t+ / 6) ②2 cos

ω

t+2sin

ω

t+sin(

ω π

t+ / 4) ③cos

ω

t−2 sin

ω

t+ 2 cos(

ω π

t+ / 4)

①cos

ω

t+2sin

ω

t+4 cos(

ω π

t+ / 6)

複素振幅は，

cos t

ω

→1，2 sin t

ω

→-2j， 4 cos(

ω π

t+ / 6)→













/

4

= 4 cos

+ jsin

6

6

jπ 6

π

π

e

=





_

+





_

+





3

1

4

j = 2 3 2j

2

2

なので，

cos

ω

t+2sin

ω

t+4 cos(

ω π

t+ / 6)→1 - 2j +

2 3 2j

+

=

1+ 2 3

よって，振幅は

1+ 2 3

，位相は 0[rad]

②2 cos

ω

t+2sin

ω

t+sin(

ω π

t+ / 4)

複素振幅は，

2 cos t

ω

→2，2 sin t

ω

→-2j，

sin(

ω π

t+ / 4)→

-je

j /4π

= -j{cos( / 4)+ jsin( / 4)}= -j( 2 / 2+ j 2 / 2)

π

π

なので，

2 cos

ω

t+2sin

ω

t+sin(

ω π

t+ / 4)→2 - 2j +

2 2

/

−

2j 2

/

=

2+ 2 2-(2+ 2 2)j =(2+ 2 2)(1- j)

/

/

/

よって，振幅は

(2+ 2 2)

/

×

2 1+ 2 2

=

，位相はははは

-

π

/4 [rad] （

1- j = 2

，

∠

(1- j)= - / 4

π

に注意）

③cos

ω

t−2 sin

ω

t+ 2 cos(

ω π

t+ / 4)

複素振幅は，

cos t

ω

→1，−2 sin t

ω

→2j， 2 cos(

ω π

t+ / 4)→

2(1

/

2 j

+

/

2)= 1+ j

なので，

cos

ω

t−2 sin

ω

t+ 2 cos(

ω π

t+ / 4)→1 + 2j + 1 + j = 2 + 3j よって，振幅は

2

2

+

3 = 13

2 ，位相_θ=  _{ }

  tan-1 3

問題 問題 問題 問題 ５５５５ ．．．．インピーダンスインピーダンスインピーダンスインピーダンス ２） 図7.6の回路について，端子A，B間のインピーダンスを計算せよ。 ① ② ③ ④ ① 1 1 / ( ) R j C

ω

+ j L

ω

+ 2 1 L R j LC

ω

ω

= + − ② 1 j L R j C

ω

ω

+ + R j L 1 C

ω

ω

  = +  −    ③ 1 1 / (j L

ω

)+ j C

ω

+1 /R ₁ 2 _/ j L LC j L R

ω

ω

ω

= − + ₍₁ 2 ₎ j LR R LC j L

ω

ω

ω

= − + ④ 1 2 1 1 1 / ( ) 1 / 1 / ( ) j C

ω

+ j L

ω

+ R+ j L

ω

1 2 2 2 1 1 / 1 j L j L j L R L C

ω

ω

ω

ω

= + + − ２）以下の回路について，それぞれの設問に答えよ。

C

R

L

R

C

L

1

L

C

2

L

R

図7.6 抵抗，キャパシタ，インダクタを組み合わせた二端子回路

L

R

C

整理しない形でも正解とします。 in

V

V

_out

R

[

[

[

[

Ω

]

]

]

]

L

[

[

[

[

H

]

]

]

]

C

[

[

[

[

F

]

]

]

]

cos t

ω

① 出 力 電 圧 の 複 素 振 幅 を ， 素 子 の 定 数 （R，C，Lなど）と角周波数ωの関数 として求めよ。 C [[[[F]]]] R [[[[Ω]]]]

cos t

ω

O

V

②角周波数ωが 1/(RC)に等しいときの 出力電圧の振幅と位相を求めよ。 入力信号の複素振幅は１ 。 分圧回路と考えると，出力電圧の複素振幅は， 1 1 / { 1 / ( )} R j C

ω

+ j L

ω

+R× { 1 / ( )} 1 { 1 / ( )} j C j L R j C j L R

ω

ω

ω

ω

+ = + + 2 2 (1 ) (1 ) LC R LC R j L

ω

ω

ω

− = − + 入力信号の複素振幅は１ 。 分圧回路と考えると，出力電圧の複素振幅は， 1 1 1 j C R j C

ω

ω

× + 1 1 j CR

ω

= + 1 CR

ω

= を代入して整理すると， 1 1 2 /4 1 2 2 j j e j π − − = = + 以上より，振幅は 2 / 2 （≒0.7）[V],位相は

− π

/4

[rad]

問題 問題問題 問題 ６６６６ . . . . 回路図回路図回路図回路図のの 書のの書書書 きききき換換換換 ええええ １）図7.7の回路について， ①端子A，B間，および，②端子A，C間の抵抗を計算せよ。 ① ② 1 3 3 1 /R+1 / (3 )R =3 1+ R=4R 1 1 / (2 ) 1 / (2 )R + R =R ３）以下の①～③の回路について，端子A，B間の抵抗を求めよ。 1 1 1 / 1 / 1 / 1 / 2 2 R R R R+ R+ R+ R = + = 1 1 / 1 / 1 / 3 R R+ R+ R= 1 2 1 /R+1 / 2R =3R

R

A

B

R

R

R

A

B

R

R

R

R

A

B

R

R

R

R

R

R

_D

A

B

C

R

R

R

図 7.7 ４ 本 の 抵 抗 を 接続した回路 ① ② ③ R A B R R R R A B R R R A B R R R R R D A B C R R R R A B R R R C R この部分は①と同じ 電気・電子回路では，頭の中で素子の向きや導線を自由に変形して考える能力 が役に立つ。初めのうちは，実際に変形した回路図を書いてみるとよいだろう。