送電線電圧安定性の計算経過 ( 送電線が R と X の時 ) 以下では受電電圧 Vrが変数 Pのどの様な関数になっているかを求めます Vr Vs 負荷設備 Z = R + jx Ir Is 調相設備送電端 Ic = jyvr 受電端第 1 図系統図 P - jq jy( モー ) Vr 受電端相電

以下では受電電圧Vrが変数Pのどの様な関数になっているかを求めます Vr 受電端相電圧 Vs 送電端相電圧 Z 送電線インピーダンス R 送電線抵抗分 X 送電線リアクタンス分 Is 送電線電流 Ir 負荷電流 Ic 調相電流 P 負荷有効電力（１相分） Q 負荷無効電力（１相分） Y 負荷設備サセプタンス θ VrとVsのなす角度 α VrとIsのなす角度 （以下では例えばVをベクトルとしVをVの絶対値として扱います） 第１図及び第２図あるいは以下の計算式では全て受電電圧Vrを基準ベクトルとします、 第１図及び第２図から(1)から(4)が成り立ちます Vs = VsCOSθ + jVsSINθ (1) Is = IsCOSα - jIsSINα (2) Vs = Vr + (R + jX)Is (3) Ir = Is - Ic = Is - jYVr (4) (3)に(1)(2)を入れます

VsCOSθ + jVsSINθ = Vr + (R + jX)(COSα - jSINα)Is (5) (5)から

(VsCOSθ - Vr) + jVsSINθ ｛(VsCOSθ - Vr) + jVsSINθ｝(R - jX)

R + jX R2 + X2

（送電線がＲとＸの時）

送

電

線

電

圧

安

定

性

の

計

算

経

過

R(VsCOSθ - Vr) + XVsSINθ X(VsCOSθ - Vr) - RVsSINθ R2 + X2 R2 + X2 (6)から R(VsCOSθ - Vr) + XVsSINθ R2 + X2 X(VsCOSθ - Vr) - RVsSINθ R2 + X2 (2)を(4)にいれます

Ir = Is - Ic = Is - jYVr　= IsCOSα - j(IsSINα + YVr) (9) (9)に(7)(8)をいれます

R(VsCOSθ - Vr) + XVsSINθ X(VsCOSθ - Vr) - RVsSINθ R2 + X2 R2 + X2 Vrを基準ベクトルとしますと Vr = Vr (11) として表せます、またVrの共役のベクトルは Vr = Vr (12) となります この事から負荷電力Wrは次の様になります Wr = IrVr = IrVr (13) (13)に(10)をいれます

R(VsVrCOSθ - Vr2) + XVsVrSINθ X(VsVrCOSθ - Vr2) - RVsVrSINθ R2 + X2 R2 + X2 = P - jQ (14) (14)から R(VsVrCOSθ - Vr2) + XVsVrSINθ R2 + X2 X(VsVrCOSθ - Vr2) - RVsVrSINθ R2 + X2 R2 + X2 = Z2 (17) (17)を(15)(16)にいれて(18)(19)の様にします (15) Q= + YVr2 (16) (10) Wr= -j｛ + YVr2｝ (6) IsCOSα= IsSINα= (7) (8) = -j Ir= -j｛ + YVr｝ P=

RVsVrCOSθ + XVsVrSINθ= PZ2 + RVr2 (18) XVsVrCOSθ - RVsVrSINθ= QZ2 + (X - YZ2)Vr2 (19) COSθと SINθを未知数として(18)(19)を連立方程式として解きます 先ずCOSθを求めます (18)*Rを(20)とします R2VsVrCOSθ + RXVsVrSINθ = PRZ2 + R2Vr2 (20) (19)*Xを(21)とします X2VsVrCOSθ - RXVsVrSINθ = QXZ2 + X(X - YZ2)Vr2 (21) (20)+(21)=(22)とします (R2 + X2)VsVrCOSθ = (PR + QX)Z2 + (R2 + X2)(1 - XY)Vr2 (22) (22)から COSθが(23)の様に求める事が出来ます (RP + XQ) + (1 - XY)Vr2 VsVr 次にSINθを求めます (18)*Xを(24)とします RXVsVrCOSθ + X2VsVrSINθ = PXZ2 + RXVr2 (24) (19)*Rを(25)とします RXVsVrCOSθ - R2VsVrSINθ = QRZ2 +R(X - YZ2)Vr2 (25) (24)-(25)=(26)とします (R2 + X2)VsVrSINθ = (XP -RQ)Z2 + RYZ2Vr2 (26) (26)から SINθが(27)の様に求める事が出来ます (XP - RQ) + RYVr2 VsVr (23)の辺々を２乗します ｛(RP + XQ) + (1 - XY)Vr2｝2 VsVr (27)の辺々を２乗します ｛ (XP - RQ) + RYVr2｝2 VsVr (28)(29)の辺々の和をとりこれを整理すると(30)の様になります COSθ= SINθ= COS2θ= SIN2θ= (29) (28) (27) (23)

(1 - 2XY + Y2Z2)Vr4 + ｛2(RP + XQ - QYZ2) - Vs2｝Vr2 + (P2 + Q2)Z2 = 0 (30) (30)をVrを未知数として解きます、 V = Vr2 (31) と置いて(31)を(30)にいれます (1 - 2XY + Y2Z2)V2 + ｛2(RP + XQ - QYZ2) - Vs2｝V + (P2 + Q2)Z2 = 0 (32) とすればVの２次方程式となります ここで Q = βP (33) と置いて(33)を(32)にいれます (1 - 2XY + Y2Z2)V2 + ｛2(R + βX - βYZ2)P - Vs2｝V + (1 + β2)Z2P2 = 0 (34) (34)に於いて A = 1 - 2XY + Y2Z2 (35) B = 2(R + βX - βYZ2)P - Vs2 (36) C = (1 + β2)Z2P2 (37) とします (35)(36)(37)を(34)にいれます AV2 + BV + C = 0 (38) (38)をVについて解きます -B ± B2 - 4AC 2A (31)で V = Vr2 と置いたので -B ± B2 - 4AC 2A Vrに負値は無いので(40)では負値は除きます (40)が変数Pに対するVrの式となります (40)の　B2 - 4AC　　の前の±の中の+が電圧安定性の「高め電圧」を-が「低め電圧」を示します 負荷限界有効電力　Pmax は B2 - 4AC = 0 となる時のP値で示されます 送電線電圧安定解析ソフトでは(40)式のＰを0から少しづつPmaxまで増加させた時のVrをプロットして描画したものです。 高橋電気管理事務所　　高橋永次 (39) Vr = V = (40) V =

以下では受電電圧Vrが変数Pのどの様な関数になっているかを求めます Vr 受電端相電圧 Vs 送電端相電圧 Z 送電線インピーダンス X 送電線リアクタンス分 Is 送電線電流 Ir 負荷電流 Ic 調相電流 P 負荷有効電力（１相分） Q 負荷無効電力（１相分） Y 負荷設備サセプタンス θ VrとVsのなす角度 α VrとIsのなす角度 （以下では例えばVをベクトルとしVをVの絶対値として扱います） 第１図及び第２図あるいは以下の計算式では全て受電電圧Vrを基準ベクトルとします、 第１図及び第２図から(1)から(4)が成り立ちます Vs = VsCOSθ + jVsSINθ (1) Is = IsCOSα - jIsSINα (2) Vs = Vr + jXIs (3) Ir = Is - Ic = Is - jYVr (4) (3)に(1)(2)を入れます

VsCOSθ + jVsSINθ = Vr + jX(COSα - jSINα)Is (5) (5)から

(VsCOSθ - Vr) + jVsSINθ VsSINθ- j(VsCOSθ - Vr)

jX X

送

電

線

電

圧

安

定

性

の

計

算

経

過

（送電線がXのみの時）

VsSINθ VsCOSθ - Vr X X (6)から VsSINθ X VsCOSθ - Vr X (2)を(4)にいれます

Ir = Is - Ic = Is - jYVr　= IsCOSα - j(IsSINα + YVr) (9) (9)に(7)(8)をいれます VsSINθ VsCOSθ - Vr X X Vrを基準ベクトルとしますと Vr = Vr (11) として表せます、またVrの共役のベクトルは Vr = Vr (12) となります この事から負荷電力Wrは次の様になります Wr = IrVr = IrVr (13) (13)に(10)をいれます VsVrSINθ VsVrCOSθ - Vr2 X X = P - jQ (14) (14)から VsVrSINθ X VsVrCOS 1 X X (15)(16)を(17)(18)の様にします (6) (7) (8) (10) = -j IsCOSα= IsSINα= Ir= -j｛ + YVr｝ Wr= -j｛ + YVr2｝ P= (15) Q= - ( - Y) Vr2 (16)

VsVrSINθ= PX (17) VsVrCOSθ = QX + (1 - XY)Vr2 (18) (17)(18)を辺々２乗します (VsVrSINθ)2= P2X2 (19) (VsVrCOSθ)2 =｛ QX + (1 - XY)Vr2｝2 (20) (19) + (20) を行って整理します Vs2Vr2 = P2X2 + ｛QX + (1 - XY)Vr2｝2 (21) (21)を更に整理します (1 - XY)2Vr4 + ｛2QX(1 - XY) - Vs2｝Vr2 + (P2 + Q2)X2 = 0 (22) (22)をVrを未知数として解きます、 V = Vr2 (23) と置いて(23)を(22)にいれます (1 - XY)2V2 + ｛2QX(1 - XY) - Vs2｝V + (P2 + Q2)X2 = 0 (24) とすればVの２次方程式となります ここで Q = βP (25) と置いて(25)を(24)にいれます (1 - XY)2V2 + ｛2β(1 - XY)PX - Vs2｝V + (1 + β2)P2X2 = 0 (26) (26)に於いて A = (1 - XY)2 (27) B = 2β(1 - XY)PX - Vs2 (28) C = (1 + β2)P2X2 (29) と置きます (27)(28)(29)を(26)にいれます AV2 + BV + C = 0 (30) (30)をVについて解きます -B ± B2 - 4AC (31) 2A (23)で V = Vr2 と置いたので -B ± B2 - 4AC (32) 2A Vrに負値は無いので(32)では負値は除きます (32)が変数Pに対するVrの式となります V = Vr = V =

(32)の　B2 - 4AC　　の前の±の中の+が電圧安定性の「高め電圧」を-が「低め電圧」を示します 負荷限界有効電力　Pmax は B2 - 4AC = 0 となる時のP値で示されます