川崎医科大学
2017
年度入学試験
解答速報
数学
2017年1月22日 実施
1
θ を実数とし，i を虚数単位とする。 (1) A，B を実数の定数とし，任意の実数 θ に対してsin 3θ = sin θ· (A − B sin2θ)
が成り立つとする。 (ⅰ) A = ア ，B = イ である。 (ⅱ) 1 2 π <= θ <= 3 2 π とし，3 次方程式 Ax− Bx 3 = 1 2 の最も小さい解が sin θ に等しいとき， θ = ウエ オカ π である。 (2) a，b，c を実数の定数とし，任意の実数 θ に対して
sin 5θ = sin θ· f(sin2θ)
を満たす 2 次関数 f (x) = ax2+ bx + c を考える。 (ⅰ) 複素数 ( cos 2 5 π + i sin 2 5 π )5 の虚部の値は キ である。 (ⅱ) α，β を実数とするとき，複素数 (α + iβ)5の虚部は ク α4β− ケコ α2β3+ β5に等しい。 (ⅲ) a = サシ ，b =− スセ ，c = ソ である。 (ⅳ) 2 次方程式 f (x) = 0 の解 x は， x = タ − √ チ ツ と x = タ + √ チ ツ である。ここで，2 つの タ ，2 つの チ ，2 つの ツ は，それぞれ同じ値である。 (ⅴ) cos 2 5 π = − テ ト √ ナ ニ である。ただし， ト は，符号 +，− のいずれか である。 (3) p，q，r，s を実数の定数とし，任意の実数 θ に対して，
sin 7θ = sin θ· g(sin2θ)
を満たす 3 次関数 g(x) = px3+ qx2+ rx + s を考える。
(ⅱ) sin 2 7 π· sin 4 7 π· sin 6 7 π = √ マ ミ が成り立つ。 解答 解答記号 正解 ア 3 イ 4 ウエ オカ π 25 18 π キ 0 ク α4β− ケコ α2β3+ β5 5 α4β− 10 α2β3+ β5 a = サシ ，b =− スセ ，c = ソ a = 16 ，b =− 20 ，c = 5 タ − √ チ ツ 5 − √ 5 8 − テ ト √ ナ ニ − 1 + √ 5 4 p =− ヌネ ，q = ノハヒ ，r =− フヘ ，s = ホ p =− 64 ，q = 112 ，r =− 56 ，s = 7 √ マ ミ √ 7 8 解説
(1) (ⅰ) 3 倍角の公式から sin 3θ = 3 sin θ−4 sin3θ = sin θ·(3−4 sin2θ) となる．従って，A = 3, B = 4．
(ⅱ) 3x− 4x3= 1 2 · · · ① が x = sin θ を解にもつとき， 3 sin θ− 4 sin3θ = 1 2 ⇐⇒ sin 3θ = 1 2 ⇐⇒ 3θ = 13 6 π, 17 6 π, 25 6 π ( ... 3 2 π <= 3θ <= 9 2 π ) ⇐⇒ θ = 13 18 π, 17 18 π, 25 18 π この 3 つの θ の値に対して sin θ の値はすべて異なるから，3 つの sin θ の値は①の 3 解である． 1 2 π <= θ <= 3 2 π において sin θ は単調減少なので，最も小さい解に対応するのは θ = 25 18 π で ある．
(2) sin 5θ = sin θ· f(sin2θ)· · · ② とする．
(ⅰ) ( cos 2 5 π + i sin 2 5 π )5 = cos 2π + i sin 2π = 1 であるから，その虚部は 0． (ⅱ) 二項展開により，
(α + iβ)5 =
5C0α5+5C1α4(iβ) +5C2α3(iβ)2+5C3α2(iβ)3+5C4α(iβ)4+5C5(iβ)5
= α5+ 5α4(iβ)− 10α3β2− 10α2β3i + 5αβ4+ β5i
であるから，その虚部は 5α4β− 10α2β3+ β5である．
(ⅲ) (cos θ + i sin θ)5= cos 5θ + i sin 5θ であるから，(ⅱ) において α = cos θ, β = sin θ として虚部
を見ることにより，
sin 5θ = 5 cos4θ sin θ− 10 cos2θ sin3θ + sin5θ
= sin θ· (16 sin4θ− 20 sin2θ + 5)
である．②から
sin 5θ = sin θ· (a sin4θ + b sin2θ + c)
であるから， a = 16, b =−20, c = 5 である． (ⅳ) f (x) = 16x2− 20x + 5 = 0 を解いて x = 5± √ 5 8 ． (ⅴ) θ = 2
5 π のとき，sin 5θ = sin 2π = 0 であり，かつ sin θ =\ 0 であるから，②から f(sin
2θ) = 0 である．したがって，sin2θ の値は (ⅳ) の 2 つの x のいずれかと一致するが，π 4 < 2 5 π < π 2 より sin2θ > 1 2 であるから，sin 2θ = 5 + √ 5 8 である．従って cos 2θ = 1− sin2θ = 3− √ 5 8 となるので，cos θ > 0 に注意すると cos θ = √ 3−√5 8 = −1 +√5 4 である．
(3) (ⅰ) (cos θ + i sin θ)7= cos 7θ + i sin 7θ であるから，(cos θ + i sin θ)7を二項展開しその虚部を見る
ことにより，
sin 7θ = 7C1cos6θ sin θ−7C3cos4θ sin3θ +7C5cos2θ sin5θ−7C7sin7θ
= sin θ· (−64 sin6θ + 112 sin4θ− 56 sin2θ + 7)
である．
sin 7θ = sin θ· g(sin2θ) = sin θ· (p sin6θ + q sin4θ + r sin2θ + s)
であるから， p =−64, q = 112, r = −56, s = 7 である． (ⅱ) θ = 2 7 π, 4 7 π, 6 7 π のいずれについても sin 7θ = 0 であり，かつ sin θ =\ 0 であるから， sin 7θ = sin θ· g(sin2θ) より g(sin2θ) = 0 が成り立つ．これら 3 つの θ の値に対して sin2θ の値
はすべて異なるので，3 つの sin2θ の値が g(x) = 0 の 3 解となる．従って解と係数の関係より， sin2 2 7 π· sin 2 4 7 π· sin 2 6 7 π = 7 64 であり，sin 2 7 π, sin 4 7 π, sin 6 7 π はすべて正であるから， sin 2 7 π· sin 4 7 π· sin 6 7 π = √ 7 8 である．
2
θ を実数とし，i を虚数単位とする。 (1) 複素数平面において，複素数 z が 2 + 3 2 i を中心とする半径 5 2 √ 2 の円周上にあるとし，w = 1 z とおく。 (ⅰ) 2 + 3 2 i = ア イ である。 (ⅱ) w− ウ − エ i オカ =√2|w| が成り立つ。 (ⅲ) w は中心− キ クケ + コ サシ i，半径 ス セ √ 2 の円周上にある。 (2) 複素数平面においてzA= cos θ + i sin θ, zB= cos 2θ + i sin 2θ, zC= cos 3θ + i sin 3θ
とし，複素数 zA，zB，zCの表す点を，それぞれ，A，B，C とする。 (ⅰ) π < θ < 2π とする。3 点 A，B，C を頂点とする三角形が正三角形となるのは θ = ソ タ π のときであり，直角三角形になるのは θ = チ ツ π のときである。 (ⅱ) 0 < θ < π とする。3 点 A，B，C を頂点とする三角形の面積を S とするとき， S = sin θ テ ト ナ sin 2θ である。ただし， テ は符号 ＋，− のいずれかである。 S が最大となるのは θ = ニ ヌ π のときである。このとき S の最大値は ネ ノ √ ハ である。 (ⅲ) θ = 1 とし，m，n を整数とする。m，n が arg(zA) = arg ( zBm zCn ) を満たすとき，m，n は， 整数 k を用いて m = 2 + ヒ k, n = フ + ヘ k と表せる。このうち，m，n が共に 50 以上，150 以下を満たす m，n の組は ホマ 組ある。
解答 解答記号 正解 ア イ 5 2 ウ − エ i オカ 8 − 6 i 25 − キ クケ + コ サシ i − 8 25 + 6 25 i ス セ √ 2 2 5 √ 2 ソ タ π 4 3 π チ ツ π 3 2 π sin θ テ ト ナ sin 2θ sin θ − 1 2 sin 2θ ニ ヌ π 2 3 π ネ ノ √ ハ 3 4 √ 3 2 + ヒ k 2 + 3 k フ + ヘ k 1 + 2 k ホマ 25 解説 (1) (ⅰ) 2 + 3 2 i = √ 22+ ( 3 2 )2 = 5 2 (ⅱ) z は z − ( 2 + 3 2 i ) = 52 √ 2· · · ① を満たしている．w = 1 z ⇐⇒ z = 1 w であるから， ① に代入すると， w1 − ( 2 + 3 2 i ) = 52 √ 2 ⇐⇒ 1 − ( 2 + 3 2 i ) w = 5 2 √ 2|w| ⇐⇒ 2 + 3 2 i w− 1 2 + 3 2 i = 5 2 √ 2|w| ⇐⇒ 5 2 w − 8− 6i25 = 52 √2|w|
⇐⇒ w − 8− 6i 25 =√2|w| · · · ② となる． (ⅲ) ② の両辺を 2 乗すると， ( w− 8− 6i 25 ) ( w− 8 + 6i 25 ) = 2ww ⇐⇒ ww + 8 + 6i 25 w + 8− 6i 25 w− 4 25 = 0 ⇐⇒ ( w + 8− 6i 25 ) ( w + 8 + 6i 25 ) = 8 25 ⇐⇒ w + 8− 6i 25 2= 8 25 ⇐⇒ w + 8− 6i 25 = 2 5 √ 2 となるので， w は中心− 8 25 + 6 25 i ，半径 2 5 √ 2 の円周上にある． (2) (ⅰ) 三角形 ABC が正三角形となるとき，̸ AOB = 2 3 π であることが必要である．このとき， arg ( zB zA ) =± 2 3 π + 2kπ ⇐⇒ θ = ± 2 3 π + 2kπ （k は整数） であるが， π < θ < 2π であるから θ は k = 1 のとき θ = 4 3 π である（このとき確かに三角 形 ABC は正三角形となるので十分である）． 次に，AB = BC であることに注意すると，三角形 ABC が直角三角形となるのは AC が三角 形 ABC の外接円の直径となるときである．このとき， arg ( zC zA ) =±π + 2kπ ⇐⇒ 2θ = ±π + 2lπ ⇐⇒ θ = ± 1 2 π + lπ （l は整数） であるが， π < θ < 2π であるから θ は l = 1 のとき θ = 3 2 π である． (ⅱ) 0 < θ < π 2 のとき
S = △OAB + △OBC − △OCA = 1 2 · 1 · 1 · sin θ + 1 2 · 1 · 1 · sin θ − 1 2 · 1 · 1 · sin 2θ = sin θ− 1 2 sin 2θ π 2 < θ < π のとき
S = △OAB + △OBC + △OCA = 1 2 · 1 · 1 · sin θ + 1 2 · 1 · 1 · sin θ + 1 2 · 1 · 1 · sin(2π − 2θ) = sin θ− 1 2 sin 2θ これは θ = π 2 のときも成り立つので，いずれの場合も S = sin θ− 1 2 sin 2θ である（下図参 照）．
（注：実際には 0 < θ < π 2 のときを考えただけで S の空所は埋まってしまうので，要領よく 先に進みたいところではある．） O y x O y x O y x A B C A B C A B C θ θ θ θ 0 < θ < π 2 のとき π 2 < θ < πのとき θ = π 2 のとき θ 2π− 2θ このとき， dS dθ = cos θ− cos 2θ = −2 cos2θ + cos θ + 1 = −(cos θ − 1)(2 cos θ + 1) であり， dS dθ = 0 ⇐⇒ 2 3 π であるから，増減表は以下の通り． θ 0 · · · 2 3 π · · · π dS dθ + 0 − S ↗ 3 4 √ 3 ↘ したがって， S は θ = 2 3 π のとき最大値 3 4 √ 3 をとる． (ⅲ) θ = 1 のとき arg(zA) = arg ( zBm zCn ) ⇐⇒ 1 = 2m − 3n + 2lπ （l は整数） であるが，ここで，π は無理数であるから l = 0 となるしかない．このとき，2m− 3n = 1 · · · ③ の解のひとつとして (m, n) = (2, 1) が見つかるので，2· 2 − 3 · 1 = 1 · · · ④ として ③ − ④ から 2(m−2)−3(n−1) = 0 ⇐⇒ 2(m−2) = 3(n−1) が得られる．ここで，2 と 3 は互いに素であ るから，2(m− 2) = 3(n − 1) = 6k（k は整数）とおけるので，これより m = 2 + 3k, n = 1 + 2k と表せる．これらがともに 50 以上 150 以下となるとき， 50 <= m <= 150 ⇐⇒ 50 <= 2 + 3k <= 150 ⇐⇒ 16 <= k <= 148 3 より 16 <= k <= 49 50 <= n <= 150 ⇐⇒ 50 <= 1 + 2k <= 150 ⇐⇒ 49 2 <= k <= 149 2 より 25 <= k <= 74 であることから 25 <= k <= 49 がわかるので，題意を満たす m, n の組は 25 組ある．
3
f (x) = x + 2 π sin(πx) とする。 (1) 0 <= x <= 1 の範囲において，f (x) は x = ア イ のとき最大値 ウ エ + √ オ π をとる。 (2) 曲線 C : y = f (x) 上の点 (t, f (t)) における曲線 C の接線を ltとする。 (ⅰ) t = 0 のとき，直線 ltの方程式は y = カ x であり，t = 1 のとき，直線 ltの方程式は y =−x + キ である。 (ⅱ) 0 <= t <= 1 において，直線 ltの y 切片は t = ク のとき最小値 ケ をとり，t = コ のとき最大値 サ をとる。 (ⅲ) 0 < t < 1 とし，曲線 C の 0 <= x <= 1 の部分，直線 lt，直線 x = 0，および，直線 x = 1 で囲まれ た部分の面積を Stとする。Stは t = シ ス のとき最小値 セ π − ソ π2 をとる。 解答 解答記号 正解 x = ア イ x = 2 3 ウ エ + √ オ π 2 3 + √ 3 π y = カ x y = 3 x y =−x + キ y =−x + 2 t = ク のとき最小値 ケ t = 0 のとき最小値 0 t = コ のとき最大値 サ t = 1 のとき最大値 2 t = シ ス t = 1 2 セ π − ソ π2 2 π − 4 π2 解説 (1) f′(x) = 1 + 2 cos(πx) = 0 より x = 2 3 となるので，f (x) の増減は以下の通りとなる． x 0 2 3 1 f′(x) + 0 − f (x) 0 ↗ 2 3 + √ 3 π ↘ 1従って f (x) は x = 2 3 のとき最大値 2 3 + √ 3 π をとる． (2) (ⅰ) ltの方程式は y = (1 + 2 cos πt)(x− t) + t + 2 π sin πt = (1 + 2 cos πt)x− 2t cos πt + 2 π sin πt となるので，t = 0 のとき y = 3x，また t = 1 のとき y =−x + 2 となる． (ⅱ) ltの y 切片を g(t) =−2t cos πt + 2 π sin πt とおくと，g ′(t) = 2πt sin πt となるので g(t) の増減 は以下の通りとなる． t 0 1 g′(t) 0 + 0 g(t) 0 ↗ 2 従って t = 0 のとき最小値 0，また t = 1 のとき最大値 2 をとる． (参考) f′′(x) =−2π sin πx であるから，0 < x < 1 のとき f′′(x) < 0 であり f (x) は上に凸な グラフとなる．(f (x) のグラフを y = x と y = 2 π sin πx の重ね合わせで考えても凹凸は分か る) 従って y 切片 g(t) が単調増加であるのは明らか． (ⅲ) 下図のように点 A, B, C をとる．斜線部の面積が Stである． O y x A B C 1 lt y = f (x) 台形 OABC の面積を U とすると，St= U− ∫ 1 0 f (x)dx である． ∫ 1 0 f (x)dx = [ 1 2 x 2− 2 π2 cos πx ]1 0 = 1 2 + 4 π2 でありこれは定数であるから，U が最小となるときを考えればよい． x = 1 における ltの y 座標は 1 + (2− 2t) cos πt + 2 π sin πt であるから， U = 1 2 · 1 · {( −2t cos πt + 2 π sin πt ) + ( 1 + (2− 2t) cos πt + 2 π sin πt )} = (1− 2t) cos πt + 2 π sin πt + 1 2 である．これより dU dt = (2t− 1)π sin πt を得るので，U の増減は以下の通りとなる．
t 0 1 2 1 dU dt − 0 + f (x) ↘ 1 2 + 2 π ↗ 従って Stは，t = 1 2 のとき最小値 ( 1 2 + 2 π ) − ( 1 2 + 4 π2 ) = 2 π − 4 π2 をとる．
