§1
連結空間
定義 位相空間X が X の空集合でない部分集合 A, B に対して，X = A ∪ B ならば， A ∩ B 6= ∅ または A ∩ B 6= ∅ をみたすとき，X を連結空間とよぶ． 定理1.1 １次元ユークリッド空間 R は連結空間である． 定義 R の２点以上を含む部分集合 I が，I の任意の２点 a, b(a < b) に対して， a ≤ x ≤ b =⇒ x ∈ I をみたすとき，I を区間とよぶ． 定理1.2 R の空集合でない部分集合 A は連結空間である． 定理1.3 位相空間 X について次の命題は同値である: (1)X は連結空間である． (2)X の部分集合で開集合かつ閉集合であるものは ∅ 及び X のみである． (3)X の空集合でない開集合 A, B で，X = A ∪ B かつ A ∩ B = ∅ と表せない． 定理1.4 f : X → Y を連続写像で上への写像とする．このとき，X が連結空間なら Y は 連結空間である． (証明) A を Y の部分集合で開集合かつ閉集合とする．A は ∅ または Y であることを示す． A 6= ∅ とする．f−1(A) は，f が連続写像であるから，X の開集合かつ閉集合である． X は連結空間であるから， f−1(A) = ∅ または X である．f−1(A) = ∅ とすると，A 6= ∅ より，a ∈ A が少なくとも一つ存在する．
f が全射より，f (x) = a をみたす x ∈ X が存在する． f (x) = a ∈ A より，x ∈ f−1(A) となり，これは矛盾． f−1(A) = X とする．y を Y の任意の点とする． f は全射より，f (x) = y をみたす x ∈ X が存在する． X = f−1(A) より，x ∈ f−1(A) である． したがって，y = f (x) ∈ A 以上より，A = Y である． Q.E.D
系1.5 f : X → Y が連続写像で，X が連結空間なら，f (X) は連結空間である． (証明) f : X → Y に対して，g : X → f (X) を，g(x) = f (x) (x ∈ X) と定義する． g は上への写像かつ連続写像である． なぜなら，O を f (X) の任意の開集合とする． O = U ∩ f (X) をみたすY の開集合 U が存在する． x ∈ g−1(O) ⇐⇒ g(x) ∈ O = U ∩ f (X) ⇐⇒ f (x) ∈ O = U ∩ f (X) ⇐⇒ f (x) ∈ U ⇐⇒ x ∈ f−1(U) 従って，g−1(O) = f−1(U) f : X → Y は連続写像より，f−1(U) は X の開集合．g :→ f (X) は上への写像で， 定理1.4 より，f (X) は連結． Q.E.D 系1.6 f : X → Y が同相写像ならば，X が連結空間 ⇐⇒ Y が連結空間． (証明) f が同相写像より，f は連続かつ全単射かつ f−1は連続である． 定理1.4 より，X が連結空間 ⇐⇒ Y が連結空間． Q.E.D 定理1.7 Y が位相空間 X の部分空間で，Y = X とする．Y が連結空間ならば，X は連 結空間である． (証明) A を X の部分集合で，開集合かつ閉集合とする．A = ∅ または A = Y であること を示せば良い． A 6= ∅ とすると，A は少なくとも一点 a を含む．
A は開集合であるから，A は a の近傍．Y = X で，a ∈ X より a ∈ Y である． a ∈ Y ⇐⇒ a の任意の近傍 N に対して，N ∩ Y 6= ∅ ゆえに，A ∩ Y 6= ∅ A は X の開集合かつ閉集合であるから，A ∩ Y は Y の開集合かつ閉集合である． 仮定より，Y は連結空間であるから， A ∩ Y = ∅ または A ∩ Y = Y A ∩ Y 6= ∅ より，A ∩ Y = Y =⇒ Y ⊂ A =⇒ Y ⊂ A A は閉集合より，A = A ゆえに，X = Y ⊂ A = A ⊂ X したがって，A = X Q.E.D
系1.8 位相空間 X の部分集合 Y, Z が，Z ⊂ Y ⊂ Z をみたすとき，Z が連結空間なら，Y は連結空間である．特にZ が連結空間なら，Z は連結空間． (証明) Z ⊂ Y ⊂ Z ⊂ X，Z は X における Z の閉包である． Y における Z の閉包 ZY はZY = Z ∩ Y である．Y ⊂ Z より， ZY = Z ∩ Y = Y 定理1.7 より，Y は連結空間である． Q.E.D 例 A = {(x, sin(π x)) ∈ R | 0 < x < 1}, B = {(0, y) | −1 < y < 1}, X = A ∪ B とする．こ のときX は連結空間である．なぜなら， ϕ : (0, 1) → A を ϕ(x) = (x, sin(π x)) と定義すると，ϕ は連続写像．(0, 1) は区間なの で連結空間． ゆえに，A は連結空間である． B ≈ [−1, 1] より，B は連結空間である． A = X より，X は連結空間である． 定義 位相空間X の部分集合 A, B が A ∩ B = ∅ をみたすとき，A と B は互いに分離して いるという． 例 X = R, A = (0, 1), B = (1, 2) とすると，A ∩ B = {1} より，A, B は分離していない．
定理1.9 X を位相空間とする．X の部分集合族 F = {Fλ | λ ∈ Λ} が， (1)X =Sλ∈ΛFλ (2) 各 Fλは連結空間である． (3) どの２つの F の元も互いに分離していない． をみたすとき，X は連結空間である． (証明) X の部分集合 A が開集合かつ閉集合とすると，各 λ ∈ Λ に対して， Fλ∩ A は Fλの開集合かつ閉集合である．(2) より， Fλ∩ A = ∅ または Fλ∩ A = Fλ (i) すべての λ ∈ Λ に対して，Fλ ∩ A = ∅ であるとき， A = A ∩ X = A ∩ ([ λ∈Λ Fλ) = [ λ∈Λ (A ∩ Fλ) = [ λ∈Λ ∅ = ∅ (ii)Fλ0 ∩ A = Fλであるλ0 ∈ Λ が存在するとき， Fλ0 ⊂ A である．(3) より，任意の λ ∈ Λ について， Fλ∩ Fλ0 6= ∅ である．Fλ∩ A = ∅ または Fλ∩ A = Fλであるから，Fλ∩ A = ∅ とすると， Fλ ⊂ X\A， 先の Fλ0 ⊂ A と合わせて， Fλ∩ Fλ0 ⊂ (X\A) ∩ A
A は開集合より，X\A は閉集合．ゆえに，X\A = X\A A は閉集合より，A = A，したがって， ∅ 6= Fλ∩ Fλ0 ⊂ (X\A) ∩ A = (X\A) ∩ A = ∅ これは矛盾．したがって，すべてのλ ∈ Λ に対して，Fλ ∩ A = Fλである． よって，Fλ ⊂ A，(1) より， X = [ λ∈Λ Fλ ⊂ A ⊂ X ゆえに，A = X である． Q.E.D
定理1.10 X 6= ∅ かつ Y 6= ∅ とする． X × Y が連結空間である．⇐⇒ X 及び Y が連結空間である． (証明) ”=⇒” 射影 PX : X × Y → X は，X の上への連続写像で，X × Y が連結空間 であるから，定理1.4 より，X は連結空間である．Y についても同様である． ”⇐=” 各 y ∈ Y に対して， X × {y} ≈ X である．同様に，各x ∈ X に対して， {X} × Y ≈ Y ゆえに，X × {y} 及び {x} × Y は連結空間である．X × Y の各点 (x, y) に対して， Z(x, y) = (X × {y}) ∪ ({x} × Y ) とおく．ここで， (x, y) ∈ (X × {y}) ∩ ({x} × Y ) ⊂ (X × {y}) ∩ ({x} × Y ) よって，X × {y} と {x} × Y は互いに分離していない．定理 1.9 より， Z(x, y) は連結空間である． X × Y = [ (x,y)∈X×Y Z(x, y) 最後に，Z(x, y) と Z(x0, y0) が分離していないことを示せば，X × Y が連結である ことがいえる． {(x, y0), (x0, y)} ∈ Z(x, y) ∩ Z(x0, y0) ⊂ Z(x, y) ∩ Z(x0, y0) 6= ∅ Q.E.D 定義 位相空間X における最大の連結部分空間を X の連結成分とよぶ． すなわち，X の部分集合 C が X の連結成分であるとは次の条件をみたす． (1)C は連結空間である． (2)C ⊂ C0かつC0が連結空間なら，C = C0である． 例1 X が連結空間ならば，X は X の連結成分である． 例2 R\S0 = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) の連結成分は３つ． 例3 n ≥ 1 のとき，Rn+1\Sn = {x ∈ Rn+1; k x k> 1} ∪ {x ∈ Rn+1; k x k> 1} の連結成分は２つ．
定理1.11 位相空間 X において，連結成分は閉集合である．さらに異なる２つの連結成 分は互いに分離している． (証明) C を連結成分とする．C は連結で，C ⊂ C である．ゆえに， C = C したがって，C は閉集合． 次に，C, D を異なる連結成分とする．このとき，C ∩ D = ∅ を示す． C ∩ D 6= ∅ と仮定して矛盾を導く． C ∪ D は，定理 1.9 より，連結空間である． C ⊂ C ∪ D より，C = C ∪ D， ゆえに D ⊂ C 同様に，D ⊂ C， 以上より C = D， これは矛盾． Q.E.D
§2
弧状連結空間
定義 位相空間X における曲線 (path) とは，[0, 1] から X への連続写像 γ : [0, 1] → X の
ことをいう．
γ(0) を γ の始点 (beginning point)，γ(1) を γ の終点 (end point) という．
また，γ を γ(0) から γ(1) への曲線とよぶ．[0, 1] を I と表す． 定義 位相空間X において，X の任意の２点 x, y に対して，x から y への曲線が存在する とき，X を弧状連結空間 (path-connected space) という． 定理2.1 弧状連結空間は連結空間である． (証明) X を弧状連結空間とする．A を X の部分集合で，開集合かつ閉集合とする． A 6= ∅ とする．このとき A = X を示すために，A 6= X と仮定して矛盾を導く． A 6= ∅ より，A は少なくとも一点 a を含む． A 6= X より，b ∈ X かつ b ∈/ A である点 b が存在する． X は弧状連結空間であるから，曲線 γ : [0, 1] → X が存在して， γ(0) = a, γ(1) = b をみたす．γ−1(A) は [0, 1] の開集合かつ閉集合である． γ(0) = a ∈ A より， 0 ∈ γ−1(A)， ゆえに γ−1(A) 6= ∅ γ(1) = b ∈/ A より， 1 ∈/ γ−1(A) したがって， γ−1(A) 6= [0, 1] 以上より，[0, 1] は連結空間でない．これは矛盾． Q.E.D 定義 Rnの部分集合C が凸集合 (convex set) であるとは，C の任意の２点 x, y に対して， x と y を結ぶ線分上の点がすべて C 上に含まれているときにいう． すなわち，x, y ∈ C ならば (1 − t)x + ty ∈ C (0 ≤ t ≤ 1) であるとき C を凸集合 という． 例1 開球 Sr(x) は弧状連結空間 例2 Rnは弧状連結空間 例3 Rnの凸集合は弧状連結空間である．
例 開球Sr(x) ⊂ Rnは凸集合である． なぜなら，Sr(x) = {y ∈ Rn | qPn i=1(xi− yi)2 < r} u, v を Sr(x) の任意の２点とする．0 ≤ t ≤ 1 に対して，p = (1 − t)u + tv また，u, v ∈ Sr(x) より，d(u, x) =k u − x k< r, d(v, x) =k v − x k< r d(p, x) = v u u tXn i=1 (pi− xi)2 = k p − x k = k (1 − t)u + tv − x k = k (1 − t)(u − x) + t(v − x) k ≤ k (1 − t)(u − x) k + k t(v − x) k = (1 − t) k u − x k +t k v − x k < (1 − t)r + tr = r ゆえに，p ∈ Sr(x) 定理2.2 X を位相空間，I = [0, 1] とする．曲線 γ : I → X に対して， γ−1 : I → X を，γ−1(t) = γ(1 − t) (0 ≤ t ≤ 1) と定義すると，γ−1は曲線で ある． (証明) ϕ : I → I を，ϕ(t) = 1 − t (0 ≤ t ≤ 1) と定義すると，ϕ は連続． γ−1 = γϕ より，連続写像の合成写像は連続だから， γ−1はI から X への連続写像．ゆえに曲線． Q.E.D 定理2.3 曲線 α : I → X, β : I → X が α(1) = β(0) をみたすとき， αβ : I → X を (αβ)(t) = ( α(2t) (0 ≤ t ≤ 1 2) β(2t − 1) (1 2 ≤ t ≤ 1) と定義すると，αβ は曲線である．
定理2.4 位相空間 X において，X の任意の２点 x, y に対して，x から y への曲線が存在 するとき，x と y の同値関係が成り立つ． (証明) 反射率，対称律，推移律が成立することを示す． (1) γ : I → X を γ(t) = x (t ∈ I) と定義すると， γ は x から x への path である．ゆえに x ∼ x (2) x ∼ y とすると，x から y への pathγ : I → X が存在する．このとき， γ(0) = x, γ(1) = y である．γ−1 : I → X を γ−1(t) = γ(1 − t) (t ∈ I) と定義すると， γ−1(0) = γ(1 − 0) = γ(1) = y γ−1(1) = γ(1 − 1) = γ(0) = x となり，γ−1はy から x への path となるから，y ∼ x (3) x ∼ y かつ y ∼ z とすると，２つの path α : I → X, β : I → X が存在して， α(0) = x, α(1) = y β(0) = y, β(1) = z α(1) = y = β(0) より，定理 2.3 を用いると，αβ : I → X は path で， (αβ)(t) = ( α(2t) (0 ≤ t ≤ 1 2) β(2t − 1) (1 2 ≤ t ≤ 1) (αβ)(0) = α(0) = x (αβ)(1) = β(1) = z をみたすので，αβ は x から z への path である．ゆえに，x ∼ z Q.E.D
定理2.5(Glueing Lemma) X, Y を位相空間，A, B を X の部分集合とする．f : A → X, g : B → X をみたす 写像とする．f ∪ g : A ∪ B → X を (f ∪ g)(x) = ( f (x) (x ∈ A) g(x) (x ∈ B) と定義すると，次が成立する． (1)A, B が A ∪ B の開集合のとき，f, g が連続なら，f ∪ g は連続である． (2)A, B が A ∪ B の閉集合のとき，f, g が連続なら，f ∪ g は連続である． (証明) (1) を証明する．(2) も同様である． Y の開集合 O に対して，(f ∪ g)−1(O) が A ∪ B の開集合であることを示す． x ∈ A のとき， (f ∪ g)(x) = f (x) ∈ O x ∈ B のとき， (f ∪ g)(x) = g(x) ∈ O よって， x ∈ (f ∪ g)−1(O) ⇐⇒ (f ∪ g)(x) ∈ O ⇐⇒ x ∈ f−1(O) ∪ g−1(O) ゆえに，
(f ∪ g)−1(O) = f−1(O) ∪ g−1(O)
f は連続より，f−1(O) は A の開集合．A は A ∪ B の開集合であるから，f−1(O) は
A ∪ B の開集合．同様に，g−1(O) は A ∪ B の開集合． したがって，(f ∪ g)−1(O) は A ∪ B の開集合である． Q.E.D 定理2.6 f : X → Y が連続写像で，X が弧状連結空間ならば，f (X) は弧状連結空間で ある． (証明) x, y を f (X) の任意の２点とする．x = f (x0), y = f (y0) をみたす X の元 x0, y0が 存在する．X は弧状連結であるから， γ(0) = x0, γ(1) = y0 をみたすpathγ : I → X が存在する．写像 f γ : I → Y は連続写像で， (f γ)(0) = f (γ(0)) = f (x0) = x (f γ)(1) = f (γ(1)) = f (y0) = y をみたすので，f γ は x から y への path． Q.E.D
定理2.7 X(6= ∅), Y (6= ∅) を位相空間とする．X および Y が弧状連結空間である． ⇐⇒ X × Y が弧状連結空間である． (証明) ”=⇒” (x, y), (x0, y0) を X × Y の任意の２点とする． Y の点 y, y0に対して，Y が弧状連結であることより， α(0) = y, α(1) = y0 をみたす曲線α : I → Y が存在する．˜α : I → X × Y を ˜ α(t) = (x, α(t)) (t ∈ I) と定義すると，α は曲線で，(厳密にいうと明らかでない．下で証明する)˜ ˜ α(0) = (x, α(0)) = (x, y) ˜ α(1) = (x, α(1)) = (x, y0) である．次にX も弧状連結であるから， β(0) = x, β(1) = x0 をみたす曲線β : I → X が存在する． ˜β : I → X × Y を ˜ β(t) = (β(t), y0) (t ∈ I) と定義すると， ˜β は曲線で，(厳密にいうと明らかでない．下で証明する) ˜ β(0) = (β(0), y0) = (x, y0) ˜ β(1) = (β(1), y0) = (x0, y0) したがって，(x, y) ∼ (x, y0), (x, y0) ∼ (x0, y0) より，(x, y) ∼ (x0, y0) ”⇐=”PX : X × Y → X および PY : X × Y → Y の 連続性と定理2.6 より明らか． Q.E.D (連続性の証明) PXα : I → X について，˜ (PXα)(t) = P˜ X(˜α(t)) = PX(x, α(t)) = x ゆえに，PXα は定値写像だから連続写像．P˜ Yα : I → Y について，˜ (PYα)(t) = P˜ Y(˜α(t)) = PY(x, α(t)) = α(t) ゆえに，PYα = α，いま α は曲線だから連続写像．˜ 写像f : W → X × Y が連続写像 ⇐⇒ PXf および PY が連続写像 より，α は連続． Q.E.D˜
定理2.8 Rnの開集合X が連結空間ならば，X は弧状連結空間である． (証明) x を X の任意の点とする． U(x) = {y ∈ X | x ∼ y} U(x) = X を示せば良い． (1) U(x) は開集合であることを示す． z を U(x) の任意の点とする．X は開集合で，x ∈ X より， 正数ε が存在して，Sε(x) ⊂ X をみたす． Sε(x) の任意の点を w とすると，α : I → Sε(x) 但し， α(t) = (1 − t)w + tz (0 ≤ t ≤ 1) は連続で， α(0) = w, α(1) = z をみたす．α(t) ∈ Sε(x) d(α(t), z) = k α(t) − z k = k (1 − t)w + tz − z k = k (1 − t)(w − z) k = (1 − t) k w − z k = (1 − t)d(w, z) z ∈ U(x) より，曲線 β : I → X が存在して， β(0) = x, β(1) = z をみたす．βα−1はx から w への曲線である．ゆえに w ∈ U(x) すなわちSε(x) ⊂ U(x) をみたす．したがって，U(x) は開集合． (2) U(x) は閉集合であることを示す． X\U(x) = [ w∈X\U (x) U(w)
各U(w) は開集合であるから，X\U(x) は開集合．ゆえに U(x) は閉集合．
(3) X = U(x) を示す．
x ∈ U(x) より，U(x) 6= ∅，U(x) は開集合かつ閉集合である X の部分集合． X は連結空間であるから，U(x) = X である． Q.E.D
§3
ホモトピー
定義 X, Y を位相空間とする．連続写像 f : X → Y, g : X → Y がホモトピック (homotopic) であるとは，連続写像F : X × I → Y が存在して， F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x) (x ∈ X) をみたすときにいう．このときf ' g と表す． また，F を f から g へのホモトピー (homotopy) とよび，F : f ' g と表す． 定義 X, Y を位相空間，A を X の部分集合とする．連続写像 f : X → Y, g : X → Y が A に関してホモトピック(relative homotopic) であるとは， f (x) = g(x) (x ∈ A) をみたし，連続写像F : X × I → Y が存在して， F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x) (x ∈ X) F (x, t) = f (x) = g(x) (x ∈ A, t ∈ I) をみたすときにいう．このときf ' g rel A と表す． また，F を f から g への A に関する相対ホモトピーとよび，F : f ' g rel A と表す． 特に，A = ∅ のとき，f ' g 及び f ' g rel A は同値． 例1 f : I → R2をf (x) = (cos (2πx), sin (2πx)) (x ∈ I) g : I → R2をg(t) = (0, 0) (t ∈ I) F : I × I → R2を F (x, t) = ((1 − t) cos 2πx, (1 − t) sin 2πx) (x, t ∈ I) と定義したとき，F は f から g へのホモトピーである．(証明略) 例2 X を位相空間．C を Rnの凸集合とする． X から C への２つの任意の連続写像 f : X → C, g : X → C に対して f ' g である． なぜなら，F : X × I → C を F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x) (x ∈ X, t ∈ I) と定義する．f (x), g(x) ∈ C かつ C は凸集合であるから， F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x) ∈ C である．また， ( F (x, 0) = f (x) F (x, 1) = g(x) (x ∈ X) F は連続 (連続性の証明はややこしいので略す) であるから，F : f ' g定理3.1 X, Y を位相空間，Map(X, Y ) を X から Y への連続写像すべての集合とする． Map(X, Y ) のホモトピックな元は，Map(X, Y ) の上での同値関係である． すなわち，f, g ∈Map(X, Y ) に対して，f ' g ならば同値． (証明) 反射率，対称律，推移律が成立することを示す． (1) F : X × I → Y を，F (x, t) = f (x) (x ∈ X, t ∈ I) と定義する． O を Y の任意の開集合とする． F−1(O) = {(x, t) ∈ X × I | F (x, t) ∈ O} = {(x, t) ∈ X × I | f (x) ∈ O} = {(x, t) ∈ X × I | x ∈ f−1(O)}
したがって，F−1(O) = f−1(O) × I，f−1(O) は X の開集合であるから，F−1(0) は
X × I の開集合． (2) f ' g とすると，F : X × I → Y が存在して， F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x) をみたす．G : X × I → Y を，G(x, t) = F (x, 1 − t) (x ∈ X, t ∈ I) と定義する． G(x, 0) = F (x, 1 − 0) = g(x) G(x, 1) = F (x, 1 − 1) = f (x) ϕ : I → I を，ϕ(t) = 1 − t (t ∈ I) と定義すると，ϕ は連続写像．1X をX につい ての恒等写像とすると， F (1X × ϕ)(x, t) = F (1X × ϕ(x, t)) = F (1X(x), ϕ(t)) = F (x, 1 − t) = G(x, t) 連続写像の合成写像は連続だから，G は連続写像．ゆえに g ' f (3) f ' g, g ' h とすると，連続写像 F, G : X × I → Y が存在して， F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x) G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x) をみたす．H : X × I → Y を， H(x, t) = ( F (x, 2t) (0 ≤ t ≤ 1 2) G(x, 2t − 1) (1 2 ≤ t ≤ 1) と定義すると，t = 1 2のとき，F (x, 2 · 12) = g(x) = G(x, 2 ·12 − 1) より， H は well-defined である．また， H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x) (x ∈ X)
§4
基本群
定義 位相空間X における曲線 α, β : I → X が α(1) = β(0) をみたすとき，α と β の積 α · β : I → X を， (α · β)(s) = ( α(2s) (0 ≤ s ≤ 1 2) β(2s − 1) (1 2 ≤ s ≤ 1) と定義する． 定義 X を位相空間，p ∈ X とする．X の曲線 α : I → X が α(0) = α(1) = p であるとき， α を p を基点 (basic point) とする X の loop という．また，p を基点とする X の loop すべての集合を， Ω(p) = {α : I → X | α は連続で，α(0) = α(1) = p} と表す． 定理4.1 Ω(p) の {0, 1} に関してホモトピックな元は，Ω(p) の上での同値関係である． すなわち，α, β ∈ Ω(p) に対して，α ' β rel {0, 1} ならば同値． (証明) 略 (幾何学特論で証明) 定義 α ∈ Ω(p) に対して，x の同値類を，α のホモトピー類とよび， hαi = {β ∈ Ω(p) | α ' β rel {0, 1}} と表す． 定義 p ∈ X を基点とする loop のホモトピー類すべての集合を，基本群とよび， Π1(X, p) = {hαi | α ∈ Ω(p)} と表す． 定理4.2 基本群 Π1(X, p) は群である． (証明) 補題 4.3∼4.6 参照のこと
補題4.3 hαi, hβi ∈ Π1(X, p) に対して，hαihβi = hα · βi と定義すると，この定義は
well-defined である．
(証明) hαi = hα0i かつ hβi = hβ0i =⇒ hα · βi = hα0· β0i を示せば良い．
仮定より，α ' α0 rel {0, 1} かつ β ' β0 rel {0, 1} なので， 連続写像F : I × I → X, G : I × I → X が存在して， F (s, 0) = α(s) F (s, 1) = α0(s) F (0, t) = α(0) = α0(0) = p F (1, t) = α(1) = α0(1) = p (s ∈ I, t ∈ I) G(s, 0) = β(s) G(s, 1) = β0(s) G(0, t) = β(0) = β0(0) = p G(1, t) = β(1) = β0(1) = p (s ∈ I, t ∈ I) をみたす．H : I × I → X を， H(s, t) = ( F (2s, t) (0 ≤ s ≤ 1 2) G(2s − 1, t) (1 2 ≤ s ≤ 1) と定義すると，s = 1 2のとき，F (2 · 12, t) = p = G(2 ·12 − 1, t) より， H は well-defined である．φ : [0,1 2] → [0, 1], φ(s) = 2s と定義すると， F (2s, t) = F (φ(s), 1x(t)) = F ((φ × 1X)(s, t)) = F · (φ × 1X)(s, t) G についても同様に ψ を定義すると， H(s, t) = ( F · (φ × 1X)(s, t) (0 ≤ s ≤ 12) G · (ψ × 1X)(s, t) (12 ≤ s ≤ 1) H(s, 0) = ( F (2s, 0) = α(2s) (0 ≤ s ≤ 1 2) G(2s − 1, 0) = α(2s − 1) (1 2 ≤ s ≤ 1) ) = (α · β)(s) H(s, 1) = ( F (2s, 1) = α0(2s) (0 ≤ s ≤ 1 2) G(2s − 1, 1) = α0(2s − 1) (1 2 ≤ s ≤ 1) ) = (α0· β0)(s) H(0, t) = F (0, t) = α(0) = α0(0) = p H(1, t) = G(1, t) = β(1) = β0(1) = p {1 2} × I は I × I の閉集合．H は連続写像であるから，Glueing Lemma より，
補題4.4 (結合法則) 位相空間 X の曲線 α, β, γ が α(1) = β(0), β(1) = γ(0) をみたすと き，(α · β) · γ ' α(β · γ) rel {0, 1} ((α · β) · γ)(s) = α(4s) (0 ≤ s ≤ 1 4) β(4s − 1) (1 4 ≤ s ≤ 12) γ(2s − 1) (1 2 ≤ s ≤ 1) (α · (β · γ))(s) = α(2s) (0 ≤ s ≤ 1 2) β(4s − 2) (1 2 ≤ s ≤ 34) γ(4s − 3) (3 4 ≤ s ≤ 1) (証明) F : I × I → X を， F (s, t) = α( s t+1 4 ) = α( 4s t+1) (0 ≤ s ≤ t+14 ) β(s−t+14 1 4 ) = β(4s − t − 1) ( t+1 4 ≤ s ≤ t+24 ) γ(s−t+24 1−t+2 4 ) = γ( 4s−t−2 2−t ) (t+24 ≤ s ≤ 1) と定義すると，F は連続写像で，t ∈ I として F (0, t) = α(0), F (1, t) = β(1) が成立するので，(α · β) · γ ' α(β · γ) rel {0, 1} Q.E.D
(証明 2) hαi, hβi, hγi ∈ Π1(X, p) に対して，
(hαihβi)hγi = hα · βihγi = h(α · β) · γi = hα · (β · γ)i
= hαihβ · γi = hαi(hβihγi)
補題4.5 (単位元の存在) 位相空間 X の曲線 α : I → X を α(0) = x, α(1) = y とすると， ex· α ' α rel {0, 1}, α · ey ' α rel {0, 1} である曲線ez : I → X, ez(s) = z (s ∈ I) が存在する． 特に，ep : I → X を，ep(s) = p とすると，hepi は Π1(X, p) の単位元である． (証明) F : I × I → X を， F (s, t) = x (0 ≤ s ≤ t 2) α(s−t2 1−t 2) = α( 2s−t 2−t) ( t 2 ≤ s ≤ 1) と定義する．F は連続写像 (証明略) で， F (s, 0) = α(s) F (s, 1) = (ex· α)(s) F (0, t) = x F (1, t) = α(1) (s ∈ I, t ∈ I) ゆえに，α ' ex· α rel {0, 1} Q.E.D 補題4.6 (逆元の存在) 位相空間 X の曲線 α : I → X を α(0) = x, α(1) = y とすると， α · α−1 ' e x rel {0, 1}, α−1· α ' ey rel {0, 1} である曲線α−1 : I → X, α−1(s) = α(1 − s) (s ∈ I) が存在する． このとき，hα−1i = hαi−1はhαi の逆元である． (証明) F : I × I → X を， F (s, t) = α(2s) (0 ≤ s ≤ t 2) α(t) (t 2 ≤ s ≤ 1 − 2t) α−1(2s − 1) (1 − t 2 ≤ s ≤ 1) と定義する．F は連続写像 (証明略) で， F (s, 0) = α(0) = x = ex(s) F (s, 1) = (α · α−1)(s) F (0, t) = α(0) = x F (1, t) = α−1(1) = x (s ∈ I, t ∈ I) ゆえに，ex ' α · α−1 rel {0, 1} Q.E.D
