Lo´s
の定理，BPI
と選択公理
alg-d
http://alg-d.com/math/ac/
2013
年
10
月
19
日
定理. 選択公理⇐⇒ Lo´sの定理+BPI 証明. ⇐=を示す．{Xλ}λ∈Λ を互いに素な非空集合の族，X := ∪ λ∈Λ Xλとする．X∩Λ = ∅としてよい．A := X∪ Λと置く．二項関係R⊂ A × Aを aRb⇐⇒「a ∈ X, b ∈ Λ, a ∈ Xb」または「a = b∈ X」 で定める．A := ⟨A, R⟩とする． {Xλ}λ∈Λ が選択関数を持たないと仮定する． I :={Σ ⊂ Λ | {Xλ}λ∈Σは選択関数を持つ} はΛ 上のイデアルである．BPIにより素イデアル P ⊃ I が存在する．このときU := {Σ ⊂ Λ | Λ \ Σ ∈ P }はΛ上の超フィルターである． Lo´sの定理よりAとAΛ/U は初等 的同値である．Rの定義よりA |= ∀u∃v(vRu)が成り立つ．よってAΛ/U |= ∀u∃v(vRu) であるから，u := [idΛ] ∈ AΛ/U に対してある v ∈ AΛ/U が存在して vRu となる． f : Λ −→ Aによってv = [f ]と書けばΣ := {λ ∈ Λ | f(λ) R idΛ(λ)} ∈ U である．R の定義からf (λ) R idΛ(λ) ⇐⇒ f(λ) ∈ Xλ だからf|Σ は{Xλ}λ∈Σ の選択関数である． よってΛ\ Σ ∈ F ⊂ U だから∅ = Σ ∩ (Λ \ Σ) ∈ U となり矛盾する．参考文献
[1] Paul E. Howard, Lo´s’ theorem and the Boolean prime ideal theorem imply the axiom of choice, Proc. Amer. Math. Soc. 49 (1975), 426–428, http://www.ams. org/journals/proc/1975-049-02/S0002-9939-1975-0384548-X/home.html
