TRU Mathematics 23−1〔1987〕
ANOTE ON SOME NON−LINEAR EQUATION IN GEMM RELATIVITY
Haruya》NAGAYAMA and 1㎞ko NA（誼Y勘仏
（Received Apri1 9， 1987）
§0． Introduction
［lhi・p・p・・i・aP・・lditi・nal n・t・・f［2］and th・f・11・Win9・・㎎・・f
induces will be used throughout the paper 2
0≦λ，μ，v，α，B，＿≦3．
In［2］， we searched solutions of the partial differential equations on h
and G−S。d・Ud・“a・f…㎝・・
・・“−1・・v＋（・・“gαB−2gUCtgvB）・。（・）・，（・）一・，
（0．1）
gpv▽U▽。（h）・0・
・。Pa。ticular，。e、earch。d。。1。ti。n，。f（0．1）。n R4 Whi。h had ・h。 f。rm。。ch
that
h＝h（r），
． ・・eq。d・U・・v・−A（・）62d・2・（・＋r2B（・））・・2・・2（・S2・・i・2・d・・2）
with boundary collditions at r＝。。 as follows： ・ ’ ．
・ ・（・）・…（i），・（・）’・…（1），…2B（・）一…（i）・（…）
From the rOsults of the papers（［2］ and ［3］） and discussion in the first part
of the next section of this paper， this problem reduces to solve the follo砿㎎
non−1inear ordinary differential equation㎝y（x）硫th a bQundary condition at
x＝◎oas follows：
ま（・2＋x・（・）巌）一・・（畿）2， （…）
’』撫y（・）・…
．1・thi・p・Pe・，舵顧11 fi・d general・・1・ti・n・y（・0・・1・・）・f（0・3）血i・力
have boundary conditions at x＝◎。 such that
細y（・0・・1・・）−aO・瓢・（y（・0・・1・・）一㌔）＝al
by． a met力od of power series expansion． In particular， we will find two
speeial solutions as follows；
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58
H．NAGAYAMA． AND I． HAGAYAMA
，〈・）・c…t．・a。；・（・）・告， 、．
ぬi（力were g‡ven in ［2］．
§2． The solution y（aO，a1，x）
． We s tart with t士1e following equalities in ［2］； ．
・（・）一（本一・）x」、：i；i嵩・
Where we rather use y and x instead ofη and r・ From the boundary conditions
（0．2） at x＝g y（x） may satisfy the boundary condition at x＝。。 as follows；
・（・）−a。＋・（1），− 『 （…）
．⑰ere a。・s． ・ ・6・・t釦・・．we・・・…uc・an四var・ab…−l and⊇…h・
equati㎝（0．3）using this variable．［［hen the equation（0．3）and the・boundary
condition（1．1）bec㎝es as follows： ’ ”
量（・・（・）⇒聖）一・・（書）2， （…）
f（・）−ao＋0（・）・
（1．2） is equivalent to the following ordinary differential equation of the
first order：
差一W，賠wl…w＋一、f）． （・．3）
Now， we study t士le e（luation （1．3）with a iDitial data at z＝O as follows：
f（0）−ao加dw（0）＝a1・ ・（1・4）
Fピ㎝ the explicit form of （1．3） and the existence theorem of the ordinary
differenti・1・qu・ti…fth・fi・・t・・d…there exi・迦iq・・1y f（・0・・1・・）・・d
w（・0・・1・・）・f・曲i・hare analyti・。n a n・ighbO・h・・d・f・−0胆d・ati・fy血・
equation〈1．3） and the initial condition （1．4）． Thus， we may find the
・・1・ti・n f（・0・・1・・）・f（1・2）with an i・iti・1・・nditi…u・）h th・・t
・（・。，・、，・）−a。，豊・。，・、，・）−a、 ．
by…th・「d・f・P・wer・eri・・expa・・i・−d f（・0・・1・・）i・i・th・f・m・・
follows：
・（・・・・…）−a・・…＋…2・…鵬。・。・n・ （…）
P・tti・g（1・5）i・t・th・1・ft・hand・id・㎝d th・・ight・hand・id・・f（1・2）， W・
NON−LiNEAR EQUATION IN（正NERAI、 REILATIVITY
have the following equalities respectively：
詰（・f（・。・・、・・）・蛭。（（圃（（k＋・）・k＋、・竃1・（k＋・）・k．n＋、an）・k・
・・（dfdz）2一蕊（竃・・（一）・k．、一。an）・kl．・．’
C・叩ari・g th・・e t・。・qualiti・・， w・ h・v・ ・ recurf・nt f・imla a、 f。11。w，，
k＋1 ．
・（k＋1）（ll“2）ak＋・㌔1、竺（圃一2n）a斑一naゼ、層・・ （1・6）
脆・・fineaf・・c・i・ny（・。・・、・・）byy（・。・・、，・）一・（・。，・i，i）・肚㎝血・
Study of the first part of this・section and the above reSults， we have proved
the following ． ’ ． ． 、 ’
PROPOSエTION． Anon−1inear ordinary differential equation．
忌（・y（・）・・2）畿）一・・（畿）2
・ith bO・・dary・・nditi・n・頑出・t靱y（・）＝aO・nd碁低・（y（・）−aO）−al h・・
th・uniq・…1・ti・・y（・0・・1・・）曲i・；h i・analyti…an・ighb・・f・・d’・f x−・…
follows；． 』 ． ’
、y（…？…）−a・…（1）・・2（i）2㌔・・一よ。・k（1＞k・
曲ere a。（・≧2）are d・t・㎝i・・d by th・．f・11・輌9・ecurrent f・m1・・
k＋1
（k’1）（k’2）ak＋・㌔1、n裡一2n）a・ak−n＋・・
酬K1・F・㎝the ab・ve recurre・t f・㎜・1・・w・fi・d th・t if・0・1＝0・
then an＝O f・r n≧2・nd・・w・h・v・tw・・peci・1・・1uti・n・a・f。11・w・；
・（・。，・，・）−a。−c…t．，・（・，・、，・）一告，
曲i（）hPlay important roles in ［2］．
噸K2・S。…皿・rical calcu1・ti・n・・f an＝a（・）by a c・mp・ter are
given as follows；
a（0）＝1 a（0）＝2
a（ 1）＝2 a（ 1）＝1
a（ 2）＝−1．000000000000000 a（ 2）＝−1．000000000000000
a（ 3）＝6．666666666666667D−1 a（ 3）＝1．333333333333333
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60
H．NAGAYAMA AND I．NAGAYAMA、
a（ 4）＝−3．333333333333333D− 1
a（ 5）＝ 5．551115123125783D−18
a（ 6）＝ 0．222222222222222
a（ 7）＝−0．222222222222222
a（ 8） 3．695082230804130D−18
a（ 9）＝ 2．716049382716050D− 1
a（10）＝−3．209876543209877D− 1
a（11）＝−8．074349270001139D−18
a（12）＝ 4．897119341563786D− 1
a（13）＝−6．255144032921811D− 1
a（14）＝−2．928060724286127D−17
a（15）＝ 1．072702331961591
a（16）＝−1．433470507544582
a（17）＝−5．224578939412502D−17
a（18）＝ 2．643194634964183
a（19）＝−3．638164913885079
a（20）＝−7．479397218527370D−17
a（21）＝ 7．048519026571154
a（22）＝−9．906518315297466
a（23）＝0．OOOOOOOOOO（XXX）O
a（24）＝1．989418957137293D＋1
a（25）＝−2．839868583718607D＋ 1
a（26）＝ 6．996113090560986D−16
a（27）＝5．860567526153735D＋1
a（28）＝−8．467015592198069D＋ 1
a（29）＝2．240134733430858D−15
a（30）＝1．785115395897402D＋2
a（ 4）＝−1．916666666666667
a（ 5）＝2．800000000000000
a（ 6）＝−4．047222222222222
a（ 7）＝ 5．688888888888889
a（8）一一7．653125−
a（ 9）＝ 9．654320987654322
a（10）＝−1．103157021604938D＋1
a（11）＝1．055030303030303D＋1
a（12）＝−6．227156781939770
a（13）＝−4．675951538173760
a（14）＝2．520740229822261D＋1
a（15）＝−5．737409703468974D＋1
a（16）＝9．926371310977944D＋1
a（17）＝−1．400211468531469D＋2
a（18）＝1．525146498517841D＋2
a（19）＝』8．493721787722224D＋1
a（20）＝−1．443572914340212D＋2
a（21）＝ 6．390950952397937D＋2
a（22）＝−1．4868580575582271＞÷3
a（23）＝ 2．664165740353852D＋3
a（24）＝−3．854623360592762p十3
a（25）＝4．162947425048916D＋3
a（26）＝−1．760229968892296D＋3
a（27）＝−6．378853944065186D＋3
a（28）＝ 2．425086389686828D＋4
a（29）＝−5．535259372548587D＋4．
a（30）＝9．877879906629117D＋4，
Where・w・d・n・t・D＋・・ by 10”．
［1］
［2］
［3］
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