Γを有限グラフとする． V (Γ) = { v

An obstruction to the existence between right-angled Artin groups

片山 拓弥

(広島大学)

1.

本稿では，グラフと言えば単純グラフを指すものとする．

Γを有限グラフとする． V (Γ) = { v

, v

, . . . , v

}

Γ

E(Γ)

Γ

right-angled

Artin

A(Γ) = ⟨ v

, v

, . . . , v

| v

v

v

v

= 1 if { v

, v

} ∈ E(Γ) ⟩ .

与えられた

2

right-angled Artin

Crisp–Sageev–Sapir [2]

問題

1.1. Λ，Γ

A(Γ)

現状，問題

1.1

Kim–

Koberda [7]

1.1

告され始めている．本稿では研究集会「結び目の数学

IX」において発表した，拙著 [4]

の主定理を紹介する．主定理を述べる前に，主定理の主張に現れるグラフ理論の用語 を準備しておこう．

Λ，Γ

Λ

Γ

2

Λ

Γ

Λ

Γ

≤ Γ

とき

Λ

forest

Λ

linear

forest

Λ

V (Λ)

{{ u, v } | u, v ∈ V (Λ), { u, v } ̸∈ E(Λ) }

主定理

1.2. Λ

(1)

Λ

linear forest

, → A(Γ)

Γ

Λ ≤ Γ

(2)

Λ

linear forest

Γ

A(Λ) , → A(Γ)

Λ ̸≤ Γ

主定理

1.2

, → A(Γ)

Γ

Λ ≤ Γ

Λ”を全て求めよ，という問題への完全な解答であるが，主

1.2(1)

right-angled Artin

1.2(1)

キーワード：Right-angled Artin群，埋め込み，誘導部分グラフ

∗〒

739-8526

1-3-1

e-mail: [email protected]

P _n

図

1:

P

n

図

2:

Λ

Λ

Λ

P

⊔ P

め込みの非存在を導く手法の現状について書かれたものはまだ拙著

[6]

IX」における

[4]

[5]

本稿は，次のように構成されている．2章では，主定理

1.2(1)

1.2

を

Salvetti

2.

1.2(1)

この章では主定理

1.2(1)

2

n

P

n

(図 1)．

命題

2.1.

2

Z

∗ Z

2

F

× F

× · · · × F

証明

. Z

∗ Z

F

× F

× · · · × F

Z

∗ Z ∼ = A(P

)，F

× · · · × F

∼ = A((P

⊔ P

⊔ · · · ⊔ P

)

)

A(P

) , → A((P

⊔ P

⊔ · · · ⊔ P

)

)

linear forest

P

≤ (P

⊔ P

⊔ · · · ⊔ P

)

1.2(1)

P

≤ P

⊔ P

⊔ · · · ⊔ P

命題

2.2. Λ

2

)

A(Λ

)

証明.

A(Λ

) , → A(Λ

)

⊔ P

≤ Λ

(P

⊔ P

)

≤ Λ

A((P

⊔ P

)

) , → A(Λ

)．これと仮定を合わせて A((P

⊔ P

)

) , → A(Λ

)

(P

⊔ P

)

linear forest

1.2(1)

(P

⊔ P

)

≤ Λ

⊔ P

≤ Λ

3. Salvetti

この節では，right-angled Artin群

A(Γ)

K (A(Γ), 1)

“Salvetti

有限グラフ

Γ

right-angled Artin

Salvetti

S(Γ)

Euclid

S

(Γ)

S

(Γ)

Γ

#V (Γ)

S

Γ

“

(Γ)

2

2-骨格 S

(Γ)

Γ

CAT(0)

π

(S(Γ))

A(Γ)

right-angled Artin

Salvetti

Γ

S(Γ)

(#V (Γ))–次元トーラスからを削除していき得られる

距離空間

X

Y

X

CAT(0)

-injective

[3, Theorem 1]

次の補題が成立する．

補題

3.1. Λ，Γ

(1) A(Λ) , → A(Γ)

S(Γ)

π

-injective

(2) Λ ≤ Γ

S(Γ)

とは同値である．

証明

. (2) Λ

Γ

S(Γ)

まれることが従う．逆に，S(Λ)が

S(Γ)

V (Λ)

V (Γ)

Λ

Γ

Crisp–Wiest [3, Theorem 1]

さて，補題

3.1

1.2(1)

命題

3.2. Λ

linear forest

π

-injective

S(Λ) → S(Γ)

S(Γ)

この命題の原型である定理

1.2(1)

3.3

3.4

定理

3.3. Λ

forestの補グラフとし，Γ

A(Λ) , → A(Γ)

≤ Γ

.

補題

3.4. Λ

linear forest

Λ ≤ Γ

≤ Γ．

ここで上の主張に出てくる

Γ

Γ

“extension graph”と呼ばれるグラフである (cf.

[1], [4])．定理 3.3

3.4

Salvetti

(煩雑ではあるが)

3.3

Casals-Ruiz [1]，補題 3.4

Katayama [4]

また，主定理

1.2(2)

Salvetti

命題

3.5.

Λ

linear forest

Γ

π

-injective

S(Λ) → S(Γ)

S(Γ)

論文

[4]

3.5

Γ

S(Γ)

2

S(Γ) ˜

S(Γ) ˜

S(Λ)

S(Γ)

π

-injective

Right-angled Artin

Salvetti

3.3

3.4

4.

研究集会「結び目の数学

IX」のお世話をしてくださり，また著者に講演の機会をくだ

参考文献

[1] M Casals-Ruiz, “Embeddability and universal equivalence of partially commutative groups”, Int. Math. Res. Not. (2015) 13575–13622.

[2] J Crisp, M Sageev, M Sapir, “Surface subgroups of right-angled Artin groups”, Internat.

J. Algebra Comput. 18 (2008) 443–491.

[3] J Crisp, B Wiest, “Embeddings of graph braid and surface groups in right-angled Artin groups and braid groups”, Algebr. Geom. Topol. 4 (2004) 439–472.

[4] T Katayama, “Right-angled Artin groups and full subgraphs of graphs”, preprint, avail- able at arXiv:1612.01732.

[5]

,

IX

, http://www.math.chs.nihon- u.ac.jp/ ichihara/Knots2016/Slides/215.pdf.

[6]

, “Right-angled Artin

”,

, to appear.

[7] S Kim, T Koberda, “Embedability between right-angled Artin groups”, Geom. Topol.

17 (2013) 493–530.