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Sur les champs de vecteurs au dessus d une vari6t6 diff6rentiable admettant les hom60morphismes
locaux ti l espace projectif ti dimension infinie
Par J6y6 Kanitani
R6sum6
Cet article a pour but d 6tudier ra19さbre de ］しie du groupe structural G de 1 espace fibr6 tangent a une vari6tξ diff6rentiable 1レf dont les cartes locales sont des hom60morphislnes川 espace projectif S i dimensions infinie． Ce groupe est une partie du groupe③form6 par Ies transformations prolectives normales sur S．Soit l l ensemble des indices pour une base de S． OII induit la topologie du produit SI b⑮et pu三s de⑤bG、． On d6montre que， un voisinage Up d un 616ment de G、6tant ainsi d6fini， la translation b gauche opさre sur G・comme un automomorphisme． En effectuant un proc6d61nentionn6 dans un article pr6c6−
dent， on d6duit ensuite quelques formules par rapport g sa diff6rentielle qu on utilise A introduire， sur G、， les champs de vecteurs tangents invariants江gauche．
Nous nous occupons enfin au chemin horizontal au dessus de M．
1． Soit M une vari6t6 diff6rentiable dont les cartes locales （gua） （α∈o）sont des applications topologiques de Ua⊂M dans respace projectif 8義dimension infinie． La topologie de S est d6finie comme il suit（1，p．5）． Prenons une base（Aε） （ど∈1） de S． D aprbs le th60rさme de Zelmero， il existe un bon ordre sur elie： le plus petit 616ment se note A、． On introduit Ies coordonn6es homogbnes（rt） （i∈1）d un point P de S par rapport auτepさre班qui s obtient par associer une famille des points d unit6らla base（Aε） （ゴ∈D， les points A，eux−m6mes 6tant nomm6s les sommets de班． Pour chaque poillt 1）les coor−
donn6es≠O sont de nombre fini． Les coordonn6es normales sont caract6ris6es parΣl xt｜＝1・ les signes des coordonn6es ≠0， ct°， tt1，…，xtn （At。くA，1＜…
＜A，n（6tant choisis de telle sorte que tt°＞0・Nous designerons d6sor皿ais par
（ct） （i∈1）1es coordonn6es normales du point x sauf mention expresse du con・
traire・Soitαun point dont les coordonn6es≠Osont aJ°，＿，aJm， et 7． un nombre tel que Oくλ≦mini．（l aJo l，＿JaJMI ）． L ensemble des points x satisfaisantぶ1 in6galit61xt−at l＜λse note（SJ（a，λ）et se nomme cube projectif de centreα et de largeur 2． On donne ￡t S Ia topologie oti rensemble des cubes projectifs est une base．
Cela pos6， prenons un point xo∈M． SupPosons que xo∈σ。，σo＝〜ou。エ。 et que les coordonn6es≠O de xo sontエoh， xon1，．．．，エoh；（ノlh＜ノ1niく…＜Aht）． Soient E（σか 2）un cube pojectif contenu dans pua （こla）， et T， la transfor皿ation projec−
tive qui permute／1n et A，， et qui laisse invariant les autres sommets de班ainsi
4
2
que tous les points d unit6 de 班． On a Tn（Σ（σo， λ）＝（S（uo，2） （αo＝Thσo＝
コph￠u。エo）． D aprbs la convention mentionn6e plus haut， on a ut＞O pour tout point u∈（S（uo，2）．．Dalls le voisinage Vxo＝9ua−！（を（σo，λ）＝（コrngua）一工E（びo，2）
qu on appelle le voisinage cubique du point xo， lesびε（x）（￡∈lt＝1−∫z D sont
・…c・mme c…d・n…1・・al・・d・p・・…∈Vx。・・…m・ll・（、9）（・∈・・一・−1・∫）
forme une base de l espace vectoriel tangent T（x）SMell point x（1，p．12）。
SupPosons ensuite que x。∈（Ua∩Up）． On a alors Ies deux systbmes de coor・
donn6es locales（ut），（uj）（￡，∫∈Ii）qui se relient au moyen d 6quations de Ia form 〆＝P」（…，ut．…）， utニQ1（…，が，…）．
On a ut＝O et Qt＝0 （カ」＝O et 1）」＝0） sauf pour un nombre fini des indices i∈1！（ゴ∈1！）． Nous supPosons que les fonctions Qτ（ゴ∈1） （ll）i（ゴ∈1 ））sont colltinuement diff6rentiables par rapport壼が（元∈lt）（ut（i∈1，））dansΩβ，。（dans Ω．，fi） et que rindice ゴ （1 indice ど） 6tant fix6， Ia borne inf6rieure des valeurs absolues de∂Q乞／∂が≠0 θ∈1）（∂Pノ／∂ut≠0（ゴ∈ア））est positiveδmoins que ces d6rivatives xle tous s，annulent au point v＝：Tk〜クロx （u ＝Th亨）ua t）．
Nous avons alors， un indice∫（un indiceど）une fois donn6，
Q♂一霧一・（Pノー器；一・），
sauf pour皿nombre fini des indices i∈li（∫∈li）． Nous avons aussi（0，no g）
（1．1） ΣP、」（）。・＝ΣQ、JPt・＝δ、・．
5 s
…re l・・…e・（、i）（i∈・）・・（、；，）（」∈・t）il・…t・1…el・…n・（L
、
P．13）
∂＝Σ（｝」・∂， ∂一ΣP，・∂ ・
（1．2〕
『 『 ∂が s d∂us． ∂が T d∂uε． ∂ut −｝∂ut t ．∂が・
2． En prenant d abord， dans S， un repbre班o d une manibre quelconque nous pouvons associer aux autres repさres les familles des points d unit6 de telle sorte que toute trallsformat三〇n prolective T attach6e S un changement d un repbre班 ぶun autre班ノs 6crive （n，P．7）
PX ・ ・ 2P、・ ・」 （ρ≠oi∈1），
1
oti les（pJり （i∈∫）sont Ies coordonn6es normales du sommet A」！ニTAd de班／
par rapPort au repさre？〕〔：
⑳
Σ1別＝1 （ノ∈D．
1
La transformation aillsi caract6ris6e est dite nomale． L inverse T−1 est d6fini
I）a「
・x」一Σ・，5〆t （・≠o，元∈1），
‡
ob（qtJ） （」∈∫） sont les coordonn6es normales de A， par rapport au τepさre transform6班，：
3
（2．1） Σ P、tgノーΣ・、・〃＝δゾ，Σ19川＝1．
1 1 元
On fait un groupe topologique de l ensemble③ des transformations projectives normales， en induisant sur 61a topologie de l ensemble produit SI （L P．ユ0）．
Pour la transfor皿ation projective normale conservant le cube projectif（S．，＝③
（A，，1），ona
（2．2） ヵ、 ＞0，σ、 ＞0，P、 q、 ＝1， P ＝qlt＝0 （1∈1＝1一レD
et elle opbre sur （ξ、 comme un automorphisme． Si elle collserve de plus le somlnet ∠4 ， on a
（2．3） p， ニ● ＝1，p、〕＝g、t＝0 （1∈1！）
de sorte que son 6quation s 6crit
（2．4） ξ ・一ΣP、 ξ」 （i，元∈1 ），
1 oも
ct ξt＝ tt・
On d6finit， dans（》、， un vecteur comme une classs d 6quivalence des couples de deux points de （ξ、（m， p． 4）． Chaque vecteur peut se repr6senter par un couple de la forme（A、（1，0）， P（1，ξり）． L espace de ces vecteurs se note Y・・
L enseml）le des vecteurs ek＠∈1ノ） reprs6nt6s par（ム（1，0）， U、，（1，δの）
forme une base de Y，．
L ensemble G、 des transformations d6finies par les 6quations de la forme（2．4）
est un sous−groupe de 6： nous pouvons induiτe la topologie de 6 sur G・・
Cela revient a dire qu on induit sur G、 la topologie du produit卿 oti l ensemble d arriv6 災3 est la frontii｝re de Y、（‖， no 13， P．10）．
Pour chaque indice元∈1 ， il existe au moins un indicβゴ∈1／tel queヵ！≠0．
D ailleurs， les tels indices sont de nombre fini． Soit io（P， 」） le plus petit de ces indices． On peut alors prendre pJt（ど≠ゴo（p， js），ゴ∈1 ）colnme coordonn6es de la transformation T d6finie par（2．4）．
3． Achaque transformation projective normale P＝（カ」t）∈G・， il correspond une application de 1 indice j∈1！au pointク」＝（？Jt）∈8． Or， la topologie de卿！admet pour base l enseエnble des produits
H UJ，
j∈1
ob UJ coincide avec 8， si l on laisss g cot6 certains indices元、，＿，ゴl de nombre fini pour lesquels on a ．
こノjs＝（YJ（PJs，ε）∩田 （カゴs∈磐） （∫＝1・…・1）・
Ce produit est donc l image d un voisinage Uρde la transformation i ∈G、
sous l application （∋ d6finie par la correspondence dont nous venons de men．
tlonner．
EIlvisageons une transformation ζ∈Uρ． L image（◎ζ）li） est 1 ensemble des sommets（A，！）（ゴ∈1／）du repbr6班 tel que la transformationζest attach6e
au changement de repbre班→製 ・
Celaエevient b dire qu on peut prendre com皿e les coordonn6es de l applica・
tion O．ζ， celles de la transformationζ．
Cela pos6， prenons un point
ζJ、∈（SJ（」ら、・ε）∩％・
Il vient
lζJ，t−lbj，t l＜ε （ζJs ＝Po t＝0）・
む ひ
en partlculer．
・＜P、、 ・（P・ j・）一・〈ζ，， ・（あゴs）
Nous pouvons donc prendre lesζ」，t（ゴ≠io（p，元s）；ち」∈1〃）com皿e coordonn6es l・cal・・d・ζ，． E・・ff・・， cela revi・・川a c・n・…i・・m・・ti・n・C ・pl・・h・ut， si Pindice i。 est le plus petit des indices i tels que ζj・t≠0・Au cas contraire・en P，e。。。tζ，、t・ノ，・W e・t ri・dice l・p1・・p・tit…mm・u・・d・・c…d…6・・1・・al…
、 ● 、
on peut ecrlre
ζ、，t・−1一ζ，，t・ 一Σ1ζ、、tl・
1 ゴ≠i。，i。
Co1皿me， d・aprさs d6finition，ε est moindre que les valeurs absolues des coord・
onn6es Ilormales≠Ode pjs， on a
OくlPJst l一ε＜1ζJ，t l＜ lf）jst l＋ε et， par sulte，コ
1−m、＜1一Σ1ζ、、Tl i，・一 Σ1ζ，、τ1＜・・ε・
i 1
。ti．m。、t l， h。mbre d，、 i。dice、 i t。1， q・・P、、t≠0，・・7・・t・1 i・di・e・・l q・・
PJ、τ＝0， ζ，、τ≠0 （7∈1つ・
Envi，ag。。。， m。i・t・n・・t l・v・i・i・・g・U， d・r616m・・…u・・e・一（e」・）d・G
（eJt＝δJt）． Prelons un polnt
ajs∈（ξ（ejs，2）∩男・
Ona
δノーλ＜aJ， くδS、 ＋・7・・
d ob
o＜1−2．＜a、，・・，Σ1・、劃く2・・
t≠Js
N。。，p。uv・。・p・end・e 1・・a、，t（i≠」・）・・皿me c…d・n・6・・1・・al・・d・…∈Ud・・
Tout pointカJ、∈UJs s 6crit
P、，・一ΣP、teJ、t （lb」、 −0） i… L（加・＝P…
t
etona
1 2 t・t・a、，・−Ps、t 1−1・P」、・a、、s・＋Σ v sti Pi＄t 1 1 1≠ゴ5
≦1カ、・隔、・・−11＋E）1 ptt 11a、，ε1＜27・
／≠js
5
コ
Ce qUI nOUS mOntre qUe
L（カ）（E（・…》）∩8）⊂（σ（PJ…）∩田）・
D ・ut・ep・・t，・n・t・・j・u・12 p、taノ∈田，・i P3，a」∈磐． D・n・，・il ・nf・it
t
2＝ε／2，L（P）11， est contenu dans le voisinage Up d6fini plus haut．
La transformation illverse p 1 qui est aussi normale est d6finie au皿oyen de
（9♂） tel que
Σσ、tPJI一δ、・．
t
Reprenons le pointζ」、 mentionn6 plus haut． Soit i、，r．．，㌦les indices i satisfai−
sant a Pt，t≠0， et り le nombre le plus grand de tels indices pour∫＝1，… ，e・On a iΣ9、・ζ、、L・、，ti−1・9、、tζ s、・1＋……＋9、。tζj， m＋Σ97tζJ、v
t 1
ー（9εltPSst1十……十9仇包2）Jstm）1
≦｜ζ。、ti一力，川＋……＋｜ζ、、t・一ρJ、仇1＋Σ1ζ，、τ1≦2・ε，
丁
コ
Ce qUI nOUS mOntre qUe
の
・（万・）（σ（カ…；）・氾）⊂（c（・・…）・田）・
Donc， si 1 oh faitε＝2／2り， L（圭ii）11ρest contens 11ε． Or， com皿e nous l avons d6montr6 dans un article pr6c6dent（皿， P．7；une d6monstration plus 61abor6e est donn6e A la fin de cet article）， si les transformations
P・ρx t一Σ∫PjtxJ， f・t・σx ・ ＝＝ 2f）o t cj ノ ノ
sont normales， il en est de m6皿e pouτla transformation 〆。fJ・・Xノ・＝Σカ《 Wエ・
t
de sorte que la translation h gauche L（γ）：♪→〆peut s 6crire L（ガ）。L（p一工）m6me si nous bornons nos consid6rations aux transformations projectives normales．
Donc，6tant do皿6 un cube（S（p5，．，σ）， nous pouvons trouver un lombre， positif 7．tel que
．乙（γ） （⑤ （PJs，2）∩磐）⊂（巳（Pj，ノ，σ）∩磐）．
Nous pouvons en conclure que la translati皿五gauche opらre sur鶏comme ull hom60morphisme． Autrement dit， elle op）re sur G、 comme un automorphisme．
4． De la m6me mani6re qu ti la vari6t6ハ4，0n d6finit Pespace vectoriel tangent T（ヵ）江G艦ell un pointヵ， pour lequel la famille d applicatiolls
（ ∂∂lb」t）一・（i・」∈・ ぽ・（・・ j））・
forme une base．
Soit∫une fonctions continuement diff6rentiale dans un voisinage de p conte・
N N
nant un Uρ，∫sa restriction a Uρ tel que， pour chaque indice ブ．diff6rent deブs
（s＝1，＿，1），（◎ζ）元（ζ∈Up）est un point fixe dans乙㌧＝8．
﹁
6
Prenons un point
…∈⑮（・…1）∩磐・
Ona
ζ、、＝z）P、ta」，・∈（G（PJ、，・）∩8）
t
Pqsons
N N
f （…，a」，n，…）一∫（…，ΣPltaJ、・，・∵）．
Faisons， par exemple， aJsk−≠0 （k≠js）， ajst＝0 （1∈1，1≠ゐ， t≠元＄），
a〆＝0（ノ≠元s），Soientゴ1，．．．，im les indices i tels que 1）j、t≠0， i≠ゴ、， Effectuons ユe proc6d6 mentionn6 au no g de l article pr6c6dent （‖， P．10） 自
剥テ （…・・…・・・…………）一テ （…・…一）｝
一剥∫（…，PktlaSSk＋Pj，t，（ユー［at、引）・…・P・・t・a・・W・（・−1・…1）・…）
ゴ（… ，P」st，，・・ tP」，t．，…）｝・
工lvient
N ＿ N
誌一書誌、（・…一・・・…り（・≠タ・）・
Cela revient E dire que
（…） dL（・）（、ξ、・）一Σ（（…一・・・…）、￡、・）（嶽）・
。b l…mm・ti・nΣ・・t 6t・ndue aux i・dice・ゴt・1 qu・カ、 ＝0，ゴ≠i。（ コカ， ls）．
乞
Quant au signeσk， il est double en g6n6ral， mais il existe， pour toutえ， le cas o口σ先＝1．
R6ciproquement， soit∫7 une fonction continuement diff6rentiable dans un voi・
N N
．sinage ouvert de l 616ment neutreεde G、 contenant un． U，，プソsa restrictionらU，．
Prenons un point
ζ、、∈輌i）・8・
Ona
・、、・＝Σ9、・ζ、、・∈（E（eJS，λ）∩田） （Σ4、・カゾ＝δノ）．
1
Posons
N N
∫（…，ζ、、・，…）イ（…，Σ9、琶ζ」、 ，…）．
Faisons， paτexemple，ζ」、k≠p」，k （克 ≠ io（P， js），ζJ， ＝P」s （1∈1，，1≠虎，1≠
∠。（夕，js））， ζ！＝2う♂ （」≠ゴs）． Soieロtゴ、 ，…，ら les ind三ces￡tels que口」5乞≠0・
i≠どo（ヵ，元s）． Effectuons le proc6d6 susdit a
7
ζ，，己討7（…・！・…ζ1∴…）−7（…1・・…嚇…）｝
一ζ、，己，、、・｛テ （…・…1 ζ…＋・t・・…）・1 （・一ζ、，・，…），…）
一N∫ （…，9kt1 ρ」、 t＋9t。（，，J、） ・t（ユーP」、k…），…），
en remarquant queζJ、靴etカ」，靴possさdent un m6me signe， si PJ、te≠0． 11 vient
N N
蒜一謡・、（・…一・・9t・・・…）・・ ）（・≠・。＠，∫、）），
ce qui Ilous donne
（・・2） ・・（グ・）、k一Σ（…一・・・・・・・…）・）、；、、、（・≠・。＠，ゴ、）），
・ti 1… mm・ti・nΣ・・t 6t・ndue aux indice・ゴt・1・qu・9kt≠0，∠≠ゴ。（P，js）．
包
Il existe donc， sur G、， Ies cha皿ps de vecteurs tangent invariants b gauche，
dont chacun est d6termin6 par un vecteur tangent ft l 616ment neutre de G、， quf se nomme sa coordonn6．
5． Envisageons Pespace fibr6 principaL8（M， G・）． D6signons par 9。1 hom60−・
morphisme local de Ua×G、庄（prOj ．）−1 Ua． On peut prendre les coordonn6e−．
Iocales
（ut（ゴ∈1 ）， yゴ｛（i，ブ∈∫ ，ど≠￡。（y，」））
d un point（x， y）∈σ。×G、 comme celles du pointゐ＝9。（x，の． （On regarde B；
comme une vari6t6 diff6rentiable admettant les ho皿60morphismes locaux g、
（α∈o）de．B b S×G、）． Alors la famille d applications
（、9（i∈・ ）・、；、・（i・元∈・t・・≠・・（y・ノ））
forme une base pour l espace vectoriel tangent T（ろ） en point b＝亨）a（x，多「））．
Consid6rons un vecteurσ∈T（の． L hom60morphisme∂（p。，x）≡1 app】ique ver．
σ（partie verticale deσ）au vecteurθtangent a G en point y． Celui−ci deter＿
mine， sur G、， un champ de vecteurs X dont la coordonn6e dL（y−1）θse note w・
（σ）．
Pour que le vecteurσsoit horizontal， il faut et il suffit queてρ（σ）＝0． On a aussi
（5．1）
Envisageons，
〔0，1〕．Puisque ce chemin est compact nous pouvons le nombres O＜tl＜…＜ta＜…＜1，
（ta≦t≦ta＋1）
w（dR（9）σ）＝w（dR（9）（wer．σ＋h・r．σ）
＝w（dR（9）ver．σ＋dR（9）hor．σ）
＝ω（dR（9）ver．σ）＝dL（yg） 1 dR（9）θ
＝dL （9−i！ノー1） dR（9）θ＝dL（≦7≡1） dL（3ノー1） dR（9）θ ＝dL（9−1）dR（9）dL（y−1）θ＝dL（9− ）ゴR（9）w（σ）．
sur M， un chemin x（t）（0≦t≦1）hom6morphe A l intervalle
partager， au moyen des．
en parties de nombre fini dont chacune xa（り est contenue dans un Ua． Cela fait， en prenant d abord un 616ment
n◎
Yo∈Get en posant
・ 、b（り ＝9。 （x。（t）対。） （0≦t≦ら），
． b（t）＝ρ。（x、（t）×Yi） （t、≦t≦ち）
（y、≡9。，。（X（t、））y。；エ。（り⊂σ。，X、（り一σ．），
．・・．・．●．●■■■●●■■●●●■●●●■■■●●●■●●．・・◆・… ．・・．・・・… ◆・・．
on obtient un chemin b（ ）⊂Bau des§us de x（り． On a
ga，。（t）b＝9α
pour tout point b du chemin ba（り（tL≦t≦t。．1）． Lorsque le chemin x（り est continuement diff6rentiable par morceaux， on peut le partager de telle sorte que chaque partie ca（りet donc b。（りsoient continuement diff6rentiables．
6． Nous supPosons ma口1tenant que le chemin xt（りest r6gurier dans l intervalle
〔ta， ta・1〕 （1，n°11， p．9）． D une mani6re pr6cise， les fonctions xt（の（i∈1，）
soIlt conti加ement diffr6rentiables dans〔t。， t。刊〕et pour chaque valeur k∈〔t。，
ta刊〕la borlle inf6rieure de l〆輻（k）1（ ∈∬）est positive， li mions que les tt ￡（k）
皿e SOient tOUS nUIS．
Dans ce cas on a
∀t（z〆t（k））＝Oou 『 ヨ、〉・W1（（ut（ゐ）≠O et l t一た1〈δ）⇒u t（り≠0）），
car， sinon il vielldraient
∀δ〉ぽヨ1（ut（k）≠Oet巨一た［＜δet u t（り＝0）
⇒∀δ〉。ヨtHt（l t−k l＜δet ut（り＝0）
contrairement査lhypothbse． D autre part， on a
ut（t）−ut（k）＝（t−k）u！t（k十θ（t−k）） （0＜θ〈1）・
11faut donc que les ec！t（k）s a皿ulent sauf pour un nombre fini des indices i．
Cela pos6， 1 apPlication d（〜oa，x（t）−1） fait correspondre， au vecteur tangent a B en un ponit quelconque du chemin b。（り， un vecteur tangent a G・ell point Ya・
En particulier， celui qui correspond 9∂／∂ut s，exprime sous la forme
壽γ1・・t（・〉・）。（・≠・・（y・・））・
。ti 1。・。mm・ti・・Σ・・t 6t・ndue aux・・upl・・d i・dice・（・，りd・n・mbre fini・
5，t
Ainsi，1 image du vecteur tangentσau chemin b。（りqui se dolme par ・＝Σ裟 ∂1，，
t
。ti 1…mm・ti・nΣ・・t C・t・ndu・aux i・dice・ゼd・n・mbre fini，・ 6crit
z
鷲・t・・《・：・）ユ
Donc， si l on pose
・（・）一Σ・7vt∂舞 （i≠∫）
り
9
il vient， gr合ce a （4．2），
2、・一Σ芸 γ，，、・（q、・一・k・，。（，，e）つ （ゼ≠元・た≠i。（y・∫））
r，k qui s 6crit
λ♂＝Σ暖アγ，，謝 （i≠ゴ），
r，☆
oti
． γ，，ゾo㈹＝一Σ γ．志，
た≠i。（Y」 ） c，est−b−dire，
Σγ，，ノτ ＝0 （τt。（v，s）＝1）．
t ．．
7． Nous nous occupons maintenant au chemin hirizontal au dessus dg chemin xα（り． Tout chemin au dessus de x，（りs 6crit
b。（t）＝＝R（≦7（t）−1）・b、（t）．
En supposant qu il existe， sur G、， un chemin g（りqui est r6gulier dans〔t。，
ta．、〕， consid6rons une fonctionノソcontinuement diff6rentiable dans g。（Ua×11；（t））
（1（り＝R（9（り〜】〃a）．S・itたun・v・leu・dans〔t・， t。・・〕・P…ns
f／ ＝f （…，ttt，…，シ Jt（ゐ）），
9（t）−1＝11（t）＝（hX（t））．
La fonction ∫（…，ztt，…，（Y」つα）d6finie par
∫（…，・〆，…，（y）t）。）イ（…，ut，…，Σ（め。ゐノ（k））
t
est continuement difffrentiable dans 〜りa （Ua×Uva）． On a 可一；（dut Ofdt ∂ut）一；（芸1筈）一プ・
c est一五一dire，
（τ一ゴR（9≡1）σ）ft ＝0．
Donc， si 1 on effectue le proc6d6 mention6 au n°9de 1 article pr6c6dent sur
〜 tV
la restrictionプγdeプγE〜ρα（σα×UI（t））， il vient
（…） （・−dR（9−・）・）fi一寄妥綴，・
Le vecteurτ一dR（9 i）σ6tant ainsi vertical，1，apPlication d（〜クa，x（の一1）lui fait cor・
respondre un vecteur tangent蕊Gposs6dant les m合mes coordonn6es que lui．
Celui−ci n est autre chose que le vecteur tangent au chemin L（Yo）g（の一1， car s il
n en 6tait Pas ainsi，1 6quation（7．1）ne serait pas v6rifi6e au moins par rapport un voisinage U；（の． Donc， si l on d6signe par dg（t）−11e vecreur tangent au． chemin
9（の一1，il vient
ω（τ一ゴR（9≡1）σ）＝dL（（Y。9−1）−1）（dL（y。）∠（9−1））ニdL（9）A（9−1）
qui s，6crit， gr合ce b （5．1），
10
dR（9）ω（τ一dR（9 1）σ）＝dR（■）ω（τ）−dR（9）ω（dR（9 1）σ）
！ ＝dR（9）ω（τ）−dR（9）dL（9）dR（9−1）ω（σ）
＝dR（9）ω（τ）−dL（9）ω（σ）＝dR（9）dL（9）∠（9 ） 、 ＝一∠（9）
Ainsi，1 6quation du chemin horizontal au dessus de x。（りse rambne a
dL（9）ω（σ）＝Ag，
ou bien， grace a（4．1），
砦1一星、鞠ノー・・1・・」t）（・≠i・（9・∫））・
On peut 1，6crire
f｛ft，f−li …7・・（i≠・・（9・元）
en posant
2兇＝一Σ 7vkσk，
k≠元 c，est−ft−dire，
Σλノσ，＝o （・、＝ユ）．
5
De plus， en choisissant collvenablement les signesσk etτk， on peut supPrimer la condition i≠io（≦7，元）．
R6f6rences．
1．J． Kanitani． Sur une vari6t610calement applicable dans Pespace projectif bdimension infinie． Research Bulletin， Meisei Univ．（Hino City， Tokyo， Japan），
No．5（Science and Engineering），1970， PP．1−13．
皿．J． Kanitani． Sur l ensemble des transformations projectives normales dans Pespace projectif a dimension infinie． Research Bulletin， Meisei Unive．， No．6
（Science and Engineering），1971， pp．1−14．
田． J． Kanitani． Sur Pespace fibr6 tensoriel a une vari6t6 diff6rentiable adme．
ttant les hom60morphismes locaux a Pespace projectif a dimension infinie． Res・
earch Bulletin， Meisei Univ．， No．9Science and Engineering），1973， PP．1−16．
W．A． Lichnerowitz． Th60rie globale des connexions et des groupes d holon．
omie．
V．N． Bourqaki． Th60rie des ensembles． Hermann．1970．
Remarques sur quelques passages dans les articles pr6c6dents．
1．Il serait mieux de corriger comme il suit le passage dans （D， P．2， de ligne 7査1igne 12 （Soient．．．．．．＿＿de Zorn）．
Lorsqu une partie libre de S engendre un ensembleσ， cette partie elle＿mame qui est une base deσse note〈σ〉． Soit（≡51 ensemble des parties libres de S．
II suffit de prouver que l ensemble（ら， ordonnb par includion， possbde un 61ement
﹁
11 maxima1〈W＞， car alors l，ensemble W engedr6 paτ〈W＞coincide avec 8．
2． （皿），P．4， ligne 5， au lieu de 劉［， lire 〔∠4、， Ap〕．
3．Corriger comme il suit le passage dans（ll）， P．4， de ligne 9江iigne 16．
Cela rend la d6monstration plus rigoreuse．
En supPosant R（γ） （ど≦γ＜β＞vrai， consid6rons Pensemble 8＝u（（fl，Aε） （e≦i≦γ） （ ≦γ＜β）．
f
Celui−ci est une partie de l ensemble bien ordon6 （（Ajt）（t ∈」））． De．plus， si A／∈￡1，il existe Ar∈〔A，，ノ1β〔et Aa∈〔A，， Ar〕tels que At．＝frAa． On a donc，
e且 vertu de （1），
A〆≦Alt⇒（∠4／∈［Av ， Att〕＝（faAt （e≦ゼ≦a）））
⇒．A♂∈8
ce qui nous montre que 8 est un segment de l，ensemble（（Aft） （」 ∈」） （（V），
EIII 16）． Entre〔A、，・4P〔et 8， il exise l，iso皿orphismeψβd6fini par
ψβ（∠4．t）＝f，（A、） （レ≦i＜β）．
On peut le prolonger h une transformation projective qui apPlique Pespace σ engendr6 par〔∠4、，∠4β〔a1，espaceぴengendr6 par￡． Si 8 coincidait avec l ensem．
ble（（A」t）e ∈」））i on auraitび．＝8． Or，σ⊂S． Il faudrait doncσ＝8， c，est absurde， carβ∈ひ．
Le compl6mentaire de 8 par rapport E Pensemble（（．4Jt） G∈」））n 6tant pas ainsi vide， il poss6de le plus petit 616ment Abt de sorte que
At∈8⇒A」 ＜Abt．
On a donc ．．．．．．．．◆．．．
4．Corriger comme il suit l，6quation（7．1）dans（D， P．5， ligne 7 de bas．
（7．1） rx 」＝Σ q，Sx ・．
t
5．Il serai mieux de corriger comme il suit le passage dans（［）， P．6，rde ligne 3 えP．8，1igne 5．
La仕ansformation TI applique le point qui possbde les c！t comme coordonn6es par rapport au repbre班ノau point qui possbde les x 5 d6finis par（7．1） com血e coordonn6es par rapPart a ce repbre班 ． Or， aux repさres班et班 ， les sommets At et∠4，ノainsi que les points d unit6 Uto…τr et Utoノ…t， se correspondent． Donc， le fait susdit est vrai mame qu，on y remplace W par班． En particulier， elle apPli・
que le point qui poss6de les vtt d6finis par（6．1）comme coordonn6es par rapPort 査釦［au point qui possbde les ztiJ donn6s par
ρ・X ・＝Σσ撚触 t，7n
comme coordonn6es par rapport蕊班， c，est−b−dire， si les ct sont les coordonn6es homog6nes d，un point P， il en est de mame pour les x t， car（7i。T）P＝1）． Si 1 on pose」E）＝Ah， il vient 『
Σσ、句、・＝oσ≠ゐ），
t
Σq、・Pht≠o．
t
■
ユ2
De plus， en posant P＝ひtn on obtiellt
Σq、・P、 ・＝＝・Σq、np、 ． ／ l
Donc， en multipliant tous les gtJ（i，ノ∈．1）par un facteur colnmun on peut faire
2）qiJptt＝δ1ヨ
6
de sorte qu，il vientρτ x j＝xj． Prenons maintenant comme〆￡et x J les coor−
donn6es normales des po輌nts Q et 7i Q． Alors，1a valeurτ（Q）se d6termine unlquement et on a
ρ（P）τ（TP）x s＝xJ．
Or， les x J et xJ 6tant les coordonn6es normales du m6me point 1）， on a〆 」＝
t」（ブ∈1）．Donc ρ（P）τ（TP）＝1． Si l，on y fait P＝ノlh， il vient，己grace b（6．1），
τ（Ahり＝1 ce qui xlous montre que les coordonn6es x t＝qht （i∈∫） du point An＝ T−1Ah． par rapPort蕊班， sont normales， c ect−i−dire， que la transformation
（7．1）est normale．
De m6me， en remarquant que， par la transformation（7．1）， le point Q＝TP est apPl輌qu6 au point T−1Q＝P， et que celui−ci est apPliqu6 au point TT一工Q＝Q par la transformation（6．1）， et en faisallt 1 usage toujours les coordonn6es nor・
males par rapPort au repbre班．， on d6duit
・（Q）ρ（T 1Q）x ・＝E）♪PXLqdi c ・．
1，m ・ Or， les x／t etピ t 6tant les coordo皿6es normales du meme point Q， on a rrt＝
x t． Donc，
Σ P q。at＝δ仇包τ（TP）ρ（P）＝δ．t．
ノ
En somme，
Σq、ip，i＝Σカノg，・＝δ，J．
t t 、
Prellons d abord une base（∠40，t）（i∈∫） de S． En y associant une famille des point d unit6 Uo formons un repbre窺o． En fait des autres repさres衷nous con・
viendrons de choisir les familles des points d unit6 de telle sorte que les trans・
formations proiectives attach6es aux changements衷o→乳 soient normales． Les
・repbres衷sont dits alors normalis6s par rapPort査班o．
Prenons deux repbres nor皿alis6s班et班ノ． Soient
T・Z etj一ΣP，・x （Z≠0，ノ∈1，Σ1 P，・ 1＝1）
「 フ
タ ・θx ・＝Σ P、 ・ tt（θ≠0，元∈1，Σlp！・1＝1）
1 1
｛es transformations projectives attach6es respectivelnellt aux changements 扱。→E｝1 et班o→班！． Si Pon choisl convenablement le facteur commun des coodτdonn6es
〈p，J）U∈1）des sommets At．（ ∈1）de班 par rapport査班， 1a transformation
13
projective attach6 au changement班→批se donne par
T・ρx 」 ・Σ p，sc t（ρ≠o，タ∈∫）．
t
On peut multiplier tous les PtJ par un facteur commun sans changer cette 6qua・
tion elle−mame． Soit a t（i∈1）les coordonn6es homogbnes d un point P par rap・
port li班o． Les coordonn6es x／J et x 勺 des points T1） et （ToT） 1）par rapPort査 班o se do皿ent respectivement par
zx・・＝Σカ，・tt et Zθx ・＝E） PiSP．t cm．
i l，7n
En particulier， si Pon fait P＝Ah， il vient TAon＝Ah， T／1バ＝An！，
c ・・t一五一di・e，1・・IE）ρttphl（i∈1）…tl・・c…d・皿6・・d・A・ ・On・d・n・
1
Σ VPP・、、・＝・nP、 j O∈1）．
l
Si 1 on fait ensuite P＝σ。、h， （ToT）びo仇 devient Ie pointσ、／ dont les coordon・
コ6es homogさnes s 6crivent P！t十Pn！t． On a donc，τ、＝τh de sorte qu en multi・
pliant tous les PtJ par un facteur comm皿convenable， on peut faire Σ允PゾーP・J t （ち元∈1）．
l
C・，、t a di，e q。。1， p。i。t（T。T）P de c…d・nn6・・h・m・gb…Σ（1 ltp，。t）tm
l，7n
．，。n。in，id， avec l。 p。i。t・T・p de c。。・d・nn6・・h・m・gbn・・ΣP。・t・m． Ain・i，・n
︷
prenant comme coordonn6es 1）， TP，（T。T）P， T！P les cocrdonnbes normales on peut d6duir
X（P）ρ（TP）ニ0（P）．
Faisons−y 1）＝Aore． Puisque les I）ht et Pn t sont les coordonnさes normales des sommets Ah et／1／des rep6res班et 班！， on a Z（ノ1。h）＝θ（Aoh）ニ1． Il vient donc，
P（An）＝1 ce qui nous montre que la transformation T est aussi norma1・
De plus， comme nous l avons dit plus haut la transformation projective T−1 attach6e au changement gJ→班o est aussi normale． Ainsi， dans le systbme des repさres normalis6s， tout transformation prolective attach6e au changement d ul1 Tepさre E皿autre est normale． Par cons6quent， une fois que tous les repさres de
、S soient normalis6s par rapPost a un repさre 班o， on peut prendre comme repさre original n importe quel repbre sans changer les familles des poillts d unit6．
6． Avant le passage dans（IH）， P．9，這partir de ligne 14， il faut noter que l・ensemble des indicesゴsatifaisnt li Q兇≠O est contenu dans Pensemble des indi
・ces i tels queξt（り≠0（0＜t≦t。）． Mais on peut le prouver ais6ment comme il suit． Commeξ（り∈③（u，σ）， siξ包②＝0，0n a ttt＝・O et， par suite，ξt（り一z〆＝
．tξit（t、）＝0 （0＜t、＜t）． Cependant， Ilarcξ（t） 6tant r6gulier en point tt， il existe ull nombre positif t。 tel qu on a ξ t（t）≠O pour tout couple（i， t l u t≠0，
0＜t≦t。）．