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∫ g ( E ) f ( E ) dE ≅ ∫ g ( E ) dE + 6( k T ) g '()

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Academic year: 2021

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(1)

平成２８年度・統計力学試験問題

[

１

] N

個の粒子が，右図のようにそれぞれ独立にエネルギー

0

か

e

の状態を取りうる２準位系について，小正準集合の方 法を適用することを考える．以下の問いに答えなさい．

(1)

全エネルギーが

E = n e

で与えられる時の微視的な状態の数

W

nを求めなさい．

(2)

このときのエントロピー

S

を求めなさい．

(

ヒント： 必要であれば，スターリングの公式：

log x ! @ x log x - x

を用いよ．

) (3)

統計力学的温度の定義

T E S ÷ = 1

ø ç ö è æ

を用いて，エネルギーEを温度の関数として求めよ．

(

ヒント： 今の場合，

n

E

= ¶

¶ e

1

である．

)

(4)

絶対零度の極限（

T ® 0

）でのエネルギーE の値を求め，その物理的意味を説明しな さい．

(5)

高温の極限（

T ® ¥

）でのエネルギーEの値を求め，その物理的意味を説明しなさい．

[

２

]

周波数

w

で振動する

1

次元の調和振動子

N

個から成る系がボルツマン統計に従ってい るとして，全系のエネルギー

E

と温度

T

の関係を導くことを考える．量子論的には

1

つの

1

次元調和振動子のとれる固有状態のエネルギー

e

mは

e ÷ ! w

ø ç ö

è

æ +

= m

m

2

1

（m = 0，

1

，

2

，．．．）

で与えられる．この時，

(1)

ボルツマンの１粒子分配関数を求めよ．

(2)

全系の平均のエネルギー

E

を求めよ．

(3)

この系の比熱をもとめよ．

(4)

十分高温では比熱はどうなるか述べよ．

[

３

]

フェルミ分布関数は，

1 ) 1

(

( )

=

b E-µ

+ E e

f

で与えられる．温度が十分低い

( T << µ / k

B

)

有限温度であるとき，適当な関数

g ( E )

とフェルミ分布関数の積の積分は，

g(E) f (E) dE ≅ g(E) dE

0

∫

µ

+ π

2

6 (k

B

T )

2

0

∫

∞

g'( µ )

と近似できる．これをゾンマーフェルト展開と呼ぶ．以下の問いに答えなさい．

(1)

絶対零度と，

T << µ / k

Bを満たす有限温度でのフェルミ分布関数の概形をそれぞれ描 きなさい．

(2)

絶対零度での化学ポテンシャルを，特にフェルミ・エネルギーと呼ぶ．全粒子数を

N

と し，状態密度を

n (E )

とすると，フェルミ・エネルギー

E

Fはどのように定義されるか式

0

e

(2)

を用いて説明せよ．

以下では，状態密度

n (E )

が

î í ì

<

= ³

0) ( 0

0) ( ) ) (

( E

E E D

n

　　　　：　 　：　 定数

で与えられる電子系について考える．以下の問いに答えなさい．

(3)

恒等式

N = n(E) f (E)dE

0

∫

∞ に対してゾンマーフェルト展開を適用することで，この

系では

T << µ / k

Bで

µ

は温度に依存せず

µ @ E

Fとなることを示せ．

(

ヒント：ゾンマーフェルト展開において

g(E) dE

0

∫

µ

=

0

g(E) dE

EF

∫ +

EF

g(E) dE

∫

µ

)

と積

分区間を分割して考える）

(4)

全系のエネルギー

U

は

U (T ) = En(E) f (E)

0

∫

∞

dE

で与えられる．これに対してゾンマー フェルト展開を行い，

T << µ / k

Bを満たす低温でこの系の電子比熱

C

が

k D T

C

B

3

2

p

2

=

で与えられることを示せ．

参照

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