全微分による

(1)

全微分による1次近似計算

黒田紘敏（理学研究院数学部門）

数理解析学特論A /フロンティア数理物質科学II 第4回

2020年6月4日

数理解析学特論A (第4回) 全微分と線形変換 2020年6月4日 1 / 24

(2)

Review (Tangent line)

Theorem (接線の方程式)

曲線 y= f(x)^のx= aにおける接線の方程式は y = f^′(a)(x−a)+ f(a) で与えられる．

(Ref. http://www.ftext.org/text/subsubsection/2469)

数理解析学特論A (第回) 全微分と線形変換年月日

(3)

Review (Approximate calculation by tangent line)

Example

sin 59^◦の近似値を1次近似で求めてみる．

y =sinxのx =π/3における接線lは l: y= 1

2 x+

√3 2 − π

6 なので，x ≒π/3ならば

sinx≒ 1 2 x+

√3 2 − π

6

が成り立つ．そこで，x=59^◦ =59π/180とすれば

sin 59^◦ ≒

√3

2 − π

360 ≒ 1.7320

2 − 3.1415

360 = 0.85727· · ·

(4)

Review (First-order approximation) 微分係数の式

xlim→a

f(x)− {f^′(a)(x−a)+ f(a)}

x−a =0

より

f(x)− {f^′(a)(x−a)+ f(a)}= terms of(x−a)²,(x−a)³,(x−a)⁴, . . . と考えられる．

1次近似の公式

f(x)を滑らかな関数とすると

f(x) ≒ f(a)+ f^′(a)(x−a) (|x−a| ≪ 1)

が成り立つ．誤差はおよそC|x−a|²^{程度で，定数}Cは2階微分 f^′′の大きさに依存する．

つまり，微分可能であるとは1次近似ができることと考えればよい．

(5)

Aim and Contents

前回は微分法を用いて関数の多項式近似を考えられることを学んだ．

Aim

多変数関数に関する微分法を見直し，微分積分学と線形代数学の関係の一端に触れる．

We review the differential method for multivariable functions and consider the relationship between Calculus and Linear Algebra.

Contents

1 Review

2 接平面(Tangent plane)

3 全微分と1次近似(Total differentiation and First-order approximation)

4 BZ反応の解析，線形化問題(Linearized problem of Oregonator)

(6)

接平面(tangent plane) 関数 z = f(x,y)のグラフは曲面となる．

D

0 x

y z

z=f(x,y)

D

0 x

y z

z=f(x,y)

f(x,y) = p

1−x²−y², D ={(x,y)| x²+y² ≤1}^とおけば z = f(x,y) (⇐⇒ x²+y²+z² =1, z≥ 0)

は原点中心で半径1の球面の上半分（北半球, Northern Hemisphere）．

(7)

接平面(tangent plane)

関数 y= f(x)のグラフは曲線で，その1次近似は直線（接線）となる．

Figure:Tangent line Figure:Tangent plane

2変数関数のグラフは曲面であり，その1次近似は平面（接平面）となる．

地球は丸いが，自分の周りを見回しても地球の大きさに対してごく局所的な範囲しか見えないため平面に感じる．これが接平面である．

(The earth is of course round. However, when standing on the ground, you can only see a very local area relative to the size of the earth. Therefore, the ground feels ﬂat. This is the tangent plane.)

(8)

接平面(tangent plane)

Theorem (接平面の方程式)

曲面 z = f(x,y)^上の点(a,b,f(a,b))における接平面の方程式は z= f(a,b)+ f_x(a,b)(x−a)+ f_y(a,b)(y−b) で与えられる．

(9)

1次近似(First-order approximation)

A₁(a,b,0), A₂(a+h,b,0), A₃(a+h,b+k,0), A₄(a,b+ k,0)とおくと B₃(a+h,b+k,f(a+h,b+k)), B₃^′(a+h,b+k, f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k) なので，|h| ≪ 1,|k| ≪ 1ならば，B₃とB₃^′ のz座標について

f(a+h,b+ k) ≒ f(a,b)+ fx(a,b)h+ fy(a,b)k と考えられる．

(10)

全微分(total differentiation) 得られた近似式

f(a+h,b+ k) ≒ f(a,b)+ fx(a,b)h+ fy(a,b)k は

f(a+h,b+ k)− f(a,b) ≒ fx(a,b)h+ fy(a,b)k とも表せる．これはxとyが両方とも微小変化すれば

（f ^{の変化量）}≒ fx(a,b)×^（x^{の変化量）}+ fy(a,b)×^（y^{の変化量）}

と見積もれる．そこで

∆f = f(x+∆x,y+∆y)− f(x,y) ≒ fx(x,y)∆x+ fy(x,y)∆y で変化量∆x,∆yを0に極限をとった式を

d f = f_x(x,y)dx+ f_y(x,y)dy

で表し，関数 f ^の全微分(total differentiation)という．これを用いると，

次のような1次近似計算が出来る．

(11)

全微分による誤差評価(Error evaluation by total differentiation)

Problem

C =90^◦ の直角三角形ABCがある．簡易計測では2辺ACとBCの長さがそれぞれ3mと4mであったのでAB=5mと判断した．しかし，実際に精密な計測を行ったところそれぞれの辺の長さは3.02mと4.01mであった．このとき，ABの長さと5mとの誤差はどの程度か？

There is a right-angled triangle ABC withC =90^◦. In the simple

measurement, the lengths of the two sides AC and BC were 3 meters and 4 meters, respectively, so AB was determined to be 5 meters. However, when the precise measurement was actually performed, the length of each side was 3.02 meters and 4.01 meters.

At this time, what is the error between the length of AB and 5 meters?

q

(3.02)²+(4.01)²−5=?

(12)

全微分による誤差評価(Error evaluation by total differentiation) x =AC, y= BC, z= ABとおけば，z= z(x,y) = p

x²+y²である．この全微分は

d z= z_xdx+z_ydy= x px²+y²

dx+ y

px²+y² dy

であるから，x=3, ∆x =0.02, y= 4, ∆y =0.01として近似値は z(3+0.02,4+0.01)− z(3,4)≒ 3

√3²+4²

·0.02+ 4

√3²+4²

·0.01= 0.02

より，測定誤差はおよそ0.02mである．なお，計算機で計算すると q

(3.02)²+(4.01)²−5= 0.020009960149481643· · ·

なので，今回は1次近似でも十分な誤差評価が行えているとみてもよさそうである．

(13)

全微分による相対誤差評価(Relative error evaluation by total differentiation)

Problem

直円柱の高さ h^{と底面の半径} r^{を実測し体積}V を計算したいが，測定機器の精度として高さhは0.2％以内，半径rは0.1％以内の相対誤差が出るとする．このとき，体積Vの相対誤差はどの程度か？

We want to calculate the volume V of a right cylinder by measuring the height h and the radius r of the base. Due to the accuracy of the

measuring equipment, it is assumed that the relative error is within 0.2%

for the height h and 0.1% for the radius r.

At this time, what is the relative error of volume V?

(Remark)

絶対誤差(absolute error) =^測定値−^理論値 =⇒ ∆V 相対誤差(relative error) =⁽^測定値^-^理論値^)/^理論値 =⇒ ∆V V

(14)

全微分による相対誤差評価(Relative error evaluation by total differentiation)

Problem

高さ hは0.2％以内，半径rは0.1％以内の相対誤差が出るとする．このとき，直円柱の体積Vの相対誤差はどの程度か？

V = πr²hであるから，全微分は dV = ∂V

∂r dr+ ∂V

∂h dh =2πrh dr+πr²dh より

dV

V = 2πrh

V dr+ πr²

V dh =2 dr r + dh

h となる．そこで，相対誤差 ^∆^V

V を全微分を用いて1次近似すれば ∆V

V

≒2∆r r + ∆h

h

≦2 ∆r r

+∆h h

≦2·0.001+0.002=0.004 となり，Vの相対誤差はおよそ0.4％以内であると見積もれる．

(15)

(Review) Belousov-Zhabotinsky reaction

有名な振動化学反応(oscillating chemical reactions)

Oxidant（酸化剤） NaBrO₃,臭素酸ナトリウム

Reductant（還元剤） CH₂(COOH)₂,マロン酸

Acid H₂SO₄,硫酸

Catalyst（触媒） Ce³⁺,Ce⁴⁺,セリウムイオン Redox indicator（指示薬） Fe(phen)₃²⁺,フェロイン

2BrO₃⁻+3CH₂(COOH)₂+2H⁺

−→2BrCH(COOH)₂+3CO₂+4H₂O

酸化反応と還元反応が交互に繰り返され，指示薬の色が変わる．

(A state of the solution oscillates between the oxidation state and the reduced state.)

(16)

(Review) Mathematical model of the BZ reaction

x≈ [HBrO₂], z ≈[Ce⁴⁺] 質量作用の法則より，次の数理モデルが立てられる．

Oregonator







ε dx(s)

ds = x(s) 1−x(s)− pz(s) x(s)−q x(s)+q d z(s)

ds = x(s)−z(s)

ここで，式に現れるパラメータは実験により

ε ≒9.90×10⁻³, q ≒7.62×10⁻⁴, p=1

であることが知られている．とりあえずε^とqは十分小さいと思っておけばよい．(Consider thatεandqare small enough.)

(17)

Nullcline

Oregonator







x˙ = F(x,z)= 1 ε

(

x(1−x)− pz x−q x+q )

˙z= G(x,z)= x−z

Deﬁnition (nullcline) 曲線

F(x,z)= 0, G(x,z) =0 をnullclineと呼ぶ．

F(x,z)= 0 ⇐⇒ z= x(1−x)(x+ q)

p(x−q) (=: f(x)) G(x,z)= 0 ⇐⇒ z= x

(18)

Nullcline

Question

曲線 z = f(x)と z= xの交点に軌道が収束していくことはないか？

(Does the solution trajectory converge to the intersection point of the curves?)

(19)

Nullcline

Oregonator



 x˙ = F(x,z) = 1 ε

(

x(1−x)− pz x−q x+q )

=0 ⇐⇒ z= f(x)

˙z =G(x,z) = x− z= 0 ⇐⇒ z= x

Question

曲線 z = f(x)とz = xの交点(x_∗,z_∗)に軌道(x(s),z(s))がs → ∞^で収束していくことはないか？

(Does the solution trajectory(x(s),z(s))converge to the intersection point of the curves z = f(x)andz = xass → ∞^?)

そこで，交点(x_∗,z_∗)の近くでの微分方程式の様子を調べてみる．

(Therefore, let us consider the state of the differential equation near the intersection point(x_∗,z_∗).)

(20)

線形化問題(Linearized problem)

F(x,z)を交点(x_∗,z_∗)の周りで1次近似すれば，|u|,|v| ≪1に対して F(x_∗+u,z_∗+v) ≒ F(x_∗,z_∗)+ ∂F

∂x(x_∗,z_∗)u+ ∂F

∂z(x_∗,z_∗)v

= F_x(x_∗,z_∗)u+F_z(x_∗,z_∗)v となる．よって，|u(s)|,|v(s)| ≪1に対して



F(x_∗+u(s),z_∗+v(s))≒ F_x(x_∗,z_∗)u(s)+ F_z(x_∗,z_∗)v(s) G(x_∗+u(s),z_∗+v(s))≒ Gx(x_∗,z_∗)u(s)+Gz(x_∗,z_∗)v(s)

（今回はG(x,z)が1次式なので近似というよりも等号だが，一般的な解法として紹介する．）

(21)

線形化問題(Linearized problem) そこで，解(x(s),z(s))と交点(x_∗,z_∗)のずれを

u(s) := x(s)−x_∗, v(s) := z(s)−z_∗ とおくと，x˙ = u˙ なので

u˙ = F x,z = F(x_∗+u,z_∗+v)≒ Fx(x_∗,z_∗)u+Fz(x_∗,z_∗)v となる．よって，元の常微分方程式系は次の線形方程式

u(s)˙ = F_x(x_∗,z_∗)u(s)+F_z(x_∗,z_∗)v(s) v(s)˙ = G_x(x_∗,z_∗)u(s)+G_z(x_∗,z_∗)v(s)

で近似できる(Approximation problem)．これはヤコビ行列(Jacobian matrix)を用いて

u˙ v˙

!

=

F_x(x_∗,z_∗) F_z(x_∗,z_∗) Gx(x_∗,z_∗) Gz(x_∗,z_∗)

 u v

!

と表せる．

(22)

線形化問題(Linearized problem)

Oregonator



 x˙ = F(x,z) = 1 ε

(

x(1−x)− pz x−q x+q )

=0 ⇐⇒ z= f(x)

˙z =G(x,z) = x− z= 0 ⇐⇒ z= x

もし解の軌道(x(s),z(s))が交点(x_∗,z_∗)に十分近ければ，

u(s) = x(s)−x_∗, v(s)= z(s)−z_∗ ^とおけば|u(s)|^と|v(s)|^{は十分小さい} ので

u˙ v˙

!

=

F_x(x_∗,z_∗) F_z(x_∗,z_∗) Gx(x_∗,z_∗) Gz(x_∗,z_∗)

 u v

!

を近似的にみたすと考えられる．

(If the solution trajectory(x(s),z(s))is close enough to the intersection point(x_∗,z_∗)and setu(s) = x(s)−x_∗, v(s)= z(s)−z_∗, then|u(s)|^and

|v(s)|are small enough and(u(s),v(s))is considered as an approximation of the above differential equation.)

(23)

Conclusion

(Today’s topics)

1 接平面(Tangent plane)

2 全微分と1次近似(Total differentiation and First-order approximation)

3 BZ反応の解析，線形化問題(Linearized problem of Oregonator) 多変数関数でも1次近似により扱いやすい問題で近似することができる．

交点（平衡点）の周りでの様子を調べるために，1次近似を利用して線形化問題を考えた．これを解析するために，次回以降は行列の固有値や線形常微分方程式の解について説明する．

(In order to investigate the state around the intersection (equilibrium point), we considered a linearized problem using a ﬁrst-order approximation. So next week, we will explain the solution for linear ODE systems.)

(24)

References

神永正博，「超」入門微分積分(ブルーバックス)，講談社，2012.

川添充・岡本真彦，思考ツールとしての数学，共立出版，2012.

荒木修・齋藤智彦，本質から理解する数学的手法，裳華房，2016.

相良紘著，化学工学会編，化学工学のための数学の使い方，丸善出版，

2014.

千葉逸人，工学部で学ぶ数学新装版，プレアデス出版，2009.

杉浦光夫，基礎数学2解析入門I，東京大学出版会，1980.