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赤阪正純(httpンク

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(1)

連立漸化式の解 き方 θ雀鶴i服

連立漸 化 式 とは,その名 の とお り

{:￨￨￨三 :監11争   ^{とい う形}

i][][t■ ぅ[11ゞ_1増しi千1霞

η」か ら定 まる こ とを意味 してい まり が あって

,α 2.1や

+1が

と同様 に2通りの解 法 が あ ります ヽら,解法 も普通 の連 立方程 式 の場 合

はあ くまで も 「連 立」漸 化式で すか

解法 ①  2つの漸化式をうまく組み合わせて置 き換えを して処理する

(加

)

解 法 ②   一方 の漸化 式 を

(少

)他

,数

}ま

}だ

_(代

一 たいてい3項間漸化式に帰着する

連立漸化式は,係数の状況 によって解 き方に違いがあ ります

ナナメの係数が等 しい場合

θ 詢

{;￨￨II::11:%

αη十仇

^=4・

1 

① ―② より,

αη

+1 ク

+1=%―

,α

よって,数列

{α

}は

ごη=α l=αl―

bl= 2

α″―^bη

=‑2¨

したがって

③

より

2α,=4・ ^3η 1‑2      

α 場=2・

1‑1

③ ―④ より

2場

=4・ ン 1+2   b2=2・

 l+1

設′

^:「

1『

θ マ ブ

｀ Z=〜

わり

L

鰤摯ι ・ ずね

た ´

■

鋭κ

Point

一  どの よ うに組 み合 わせ るのか は状況 に よる

(た

)

ナナメの係数が等 しいタイプの漸化式は

, 

例 題 1

αl=1,

場 場

計  規

物 

％

け   一 一  

慨呻 出勁 

ｂ

″ ぉ

解法 ①  (カ ロ減法的解法

)

考え方

の漸化式の和

―② )

を考える

々を足したり引いたりする ₎

①

① 十② より,

απ

+1+う

^+3♭

_"十

+賜

2と

+1=30″

よって,数列 (%}は

,初

^3の

列 なので,

Oπ =ε13η l=(α

l十 う1)321=4・³²¹¹

赤阪正純(httpンフinupri.web fc2 com)        _{連立漸化式の解き方}

₍₂₎

解法 ②

入法的解法 )

考え方   ^{① ょり}

η +1‑2α ηなので

{%}だ

作 る

0

① より,磁

=α

+1‑2α

よって,陽.1=αη

+2 2α

αη

+2 2α

_"+2(α

⑥ よ り

,α

1‑3α

2と

よって,数列{グπ

}は

α 2=∂

2 3α l=5‑3=2

αη +1 3α η =2… ⑥ ′

⑤ ′

  ⑥ ′ より

αη +1‑―   αη  ― ^‑  4・

αη +1‑3α η

3濠 間

ガ しギ ∴α η ^{+2 4α} η ■ ^+3α π

考プ 場  (特

方程式′ ^2̲4′ +3=0よ り

TYPe① (̀1)(′

ってι=1,

20場

1‑2

αη

=2・ F 1‑1

よって,%+l=2・

32‑1な

bπ =αη

.1‑2α

=2・

=6・

1‑1‑4・

3π

1+2

=2・

1+1

″メ

^:r島

3) 漸 化式 よ り,

{%罵^三靴 11蹴 1霊 )18

⑤ よ り,α_η

+1‑α

=Oη

}は ,初

動 =ι13η l=(α

2 α

l)321=(5‑1)・

∴

+1 α

=4・

今度 は

,ナ

先ほどの解法 を振 り返 ると

, 

,ナ

,ナ

,そ

次の 例 題

2や

3は ,咄

導しているがわかりますね

_{フみ 7ム}

得 な①の あが

圧倒りК 簿キιす れ

″

うん

かζ』

^:f嚢

1 ^{診 注} 特性 方程 式 が

̀=1を ^{解 にもつ の で,⑥}

′  ￨ノ

か らい きな り αηを求めて もか まい ませ ん 当然 ⑤ は不要 にな ります

ば ― の話ですハ 組み合わせ方め からない場創よ 解法② で解に 出こなりま九

ク 躍 灘 〜

2  ナナ メの係数 が等 しい とは限 らな い場合

{:￨￨II′ ;￨:I詣