応 用 統 計 学Vo1.23,No.1(1994)
総 合 報 告
時 系 列 解 析 に お け る
長 期 記 憶 モ デ ル につ い て
東京大学経済学部
矢
島
美
寛
Long-memory
Models
in Time
Series Analysis
Yoshihiro
YAJIMA
要 旨 長 期 記 憶 モ デ ル は 系 列 相 関 の 強 い 定 常 時 系 列 デ ー タ を 解 析 す る 目 的 で, Mandelbrot and Van Ness, Granger and Joyeux, Hosking等 に よ っ て 提 案 さ れ た. 従 来 の ポ ピ ュ ラ ー な モ デ ル,自 己 回 帰 移 動 平 均 モ デ ル を,補 完,代 替 す る モ デ ル と し て 注 目 を浴 び,1980年 代 以 降 理 論,実 証 両 側 面 に於 て盛 ん に 研 究 さ れ て い る.本 稿 で は 長 期 記 憶 モ デ ル の 由来,現 在 まで に 得 られ て い る理 論 的 結 果,実 際 デ ー タ へ の応 用 を概 説 す る と と も に,今 後 の 課 題 に つ い て 議 論 す る. 1.序
1970年 に初 版 の発 刊 され たBox
and Jenkins (1976)に
よ り,時 系 列 解 析 の手 法 は広 範 に知 れ
渡 る よ う に な っ た.特 に この本 に よ っ て 展 開 さ れ た 自己 回帰 和 分 移 動 平 均 毛 デル(Autoregressive
Integrated Moving
Average model,以
下ARIMAモ
デ ル と略)に
関 す る 同定,推
定,適 合 度 検
定,そ
し て予 測,制
御 等 へ の 応 用 とい う一 連 の 解 析 手 順 は,数 理 統 計 学 の 専 門家 だ けで な く現 実
に 時 系 列 デー タ の 解 析 に直 面 して い る人 々 に と っ て も,時 系 列 解 析 の 応 用 可 能 性 を大 き く前 進 さ
せ た.以 来ARIMAモ
デ ル の 理 論 的 性 質 は ほぼ すべ て 明 ら か に され る と と も に,現 実 デー タ に た
い す る有 効 性 に つ い て も大 方 合 意 に 達 して い る と言 え よ う.
しか し後 述 す る よ うにARMAモ
デ ル は線 形 な モ デル で あ り,ま た観 測 値 間 の系 列 相 関 が 時 間
差 の 増 大 と共 に 急 速 に減 衰 して い く 「
弱 従 属 」 な 定 常 時 系 列 を対 象 と し て い る.し た が っ て
ARMAモ
デ ル で は処 理 不 可 能 な 時 系 列 デー タ の 存 在 も指 摘 さ れ て い るが,こ
の よ う な デ ー タ に
対 処 す るた め の モ デ ル の研 究 が,1980年
代 以 降 現 在 に至 る時 系 列 解 析 の 中 心 課 題 で あ る.発 展 の
方 向 はCox(1991)の
言 に あ る よ う に 「
強 従 属 性 ・非定 常 性 」 と 「
非 線 形 性(非
ガ ウ ス性)」 に大
別 で き よ う.
本 稿 で は そ の 中 で,観 測 値 間 の 系 列 相 関 の低 下 の 緩 や か な強 従 属 な デ ー タ に対 して 考 案 され た
「
長 期 記 憶 モ デ ル 」につ い て,そ
の 由 来,理 論 的 結 果,応
用 例,今 後 の 課 題,展 望 に つ いて 概 説 す
Key words: Fractional Brownian motion,Fractional differencing,Linear model.
時 系列 解 析 に お け る長 期記 憶 モ デル につ い て る.な お 割 愛 す る 非 線 形 モ デ ル に つ い て はTong(1990)が 詳 し い.
2.定
常 過 程 お よ びARMAモ
デ ル
2.1定 常 過 程後 の比 較 対 照 の た め に,簡 単 に定 常 過 程 の 定 義,性 質 お よびARMAモ
デ ル につ い て説 明 して お
く.確 率 過 程〓
が,次
の2つ
の性 質 を満 足 す る と き定 常 過 程 とい う.
(i)
EX(t)=m
(ii) ƒÁ(t-s)=CoƒÒ(X(t),X(s))す な わ ち期 待 値 が 時 点tに 依 存 せ ず 一 定 で あ り,自 己 共 分 散 関 数 は時 間 差t-Sの
み に依 存 す
る.た だ し回帰 モ デ ル で は期 待 値 が時 間tの
関数 の 場 合 も扱 う.こ の ときX(t),γ(h)は
ス ペ ク
トル 表 現 と呼 ば れ る形 式 に表 わ せ る.
•¬ (1) •¬ (2) (1)は 確 率 積 分 で あ り,{Z(λ)}を 直 交 増 分 過 程 と い い,任 意 の〓 に た い し て 〓を満 た す.ま
たF(λ)を
ス ペ ク トノ
レ分 布 関 数 と い い,単 調 非 減 少 関 数 で
•¬ (3)が 成 立 す る.直 観 的 解 釈 と して はdZ(λ)が
周 波 数 λの波 の 位 相 と振 幅 を表 し,dF(λ)が
そ の平
均 的 な パ ワー を意 味 す る.
任 意 のF(λ)は
確 率 分 布 関 数 と同じ く不 連 続 な階 段 関 数,連
続 な 特 異 関 数,そ
して絶 対 連 続 で
密 度 関 数 を持 つ部 分 に分 解 で き る.た だ 実 際 的 な意 味 が 理 解 し に くい為,連
続 な特 異 関 数 は あ ま
り扱 わ れ な い.ま た 階 段 関数 は 離 散 スペ ク トル とい わ れ て い る.こ の部 分 に対 応 す る{Z(λ)}の
標 本 関 数 は,文 字 ど お り三 角 関 数 の 合 成 され た 形 状 とな る.最 後 に絶 対 連 続 な部 分 の 密 度 関 数 を
ス ペ ク トル 密 度 関 数 とい い,f(λ)と 記 す.ス ペ ク トル 分 布 関 数 が この部 分 の み か ら成 る と き,(2),
(3)は
〓 (4)
〓
と 表 現 さ れ る.通 常 連 続 ス ペ ク トル と い わ れ る. 2.2.ARMAモ デ ル 前 述 の よ う に 離 散 ス ペ ク トル の 実 現 値 は 三 角 関 数 に な る の で,具 体 的 な モ デ ル ・ビ ル デ ィ ン グ の と き に は,連 続 ス ペ ク トル に た い しパ ラ メ ト リ ッ ク ・モ デ ル を 導 入 す る こ と に な る.こ の と き (4)の 表 現 お よ び フ ー リエ 解 析 で よ く知 ら れ たRiemann-Lebesgueの 補 題 に よ り,時 間 差hが 大 2応 用 統 計 学Vol.23,No.1(1994)
き くな る と,自 己共 分 散 関 数 は
γ(h)→0(h→ ∞)を満 足 す る.そ して0へ の 収 束 速 度,つ
ま り観 測 値 間 の 系 列 相 関 の 減 衰 の 仕 方 は,f(λ)の 滑 らか
さ,具 体 的 に は連 続 性,微
分 可 能性 な どに依 存 す る.
ま た フ ー リエ 変 換 の 一 意 性 よ り,自 己 共 分 散 関 数 とス ペ ク トル 密 度 関数 は1対1の
関 係 に あ る
の で,定 常 過 程 にパ ラ メ ト リッ ク ・
モ デ ル をあ て は め 自己 共 分 散 関 数 の強 度 を規 定 す る こ と は,裏
か ら み れ ば ス ペ ク トル 関 数 の 滑 らか さ を規 定 す る こ と と同 値 で あ る.
最 もポ ピ ュ ラー な モ デ ル とし てARMAモ
デ ル が あ る.い
ま定 常 過 程{X(t)}が
〓
を 満 た す と き,ARMA(p,q)モ デ ル に 従 う と い う.こ こ で{a(t)}は,期 待 値0分 散σ2aの 無 相 関 な 確 率 変 数 列 でwhite noiseと よ ば れ る.ま たBは バ ッ ク ワ ー ド シ フ ト ・オ ペ レ ー タ ー(back ward shift operator)と よ ば れ
〓 に よ っ て 定 義 さ れ,さ ら に 〓 〓 と す る.方 程 式 φ(z)=0お よ び θ(z)=0の 根 は す べ て 単 位 円 の 外 に 存 在 し,ま た 互 い に 共 通 な 根 は な い と す る. こ の と き あ る 定 数C(>0)と ρ(0<ρ<1)が 存 在 し,自 己 共 分 散 関 数 は 〓
を満 足 す る.従 っ て時 間 差 の 増 大 と共 に急 速 に 減 少 し,絶 対 収 束 性
〓 (5)
が 成 立 す る.ス ペ ク トル 密 度 関 数 は
〓 (6)とな る.〓
と お け ば,〓
に お い て 無 限 回微 分 可 能 な 解析 関 数 で あ るか ら非 常 に滑 らか な関
数 で あ る.
と く に{a(t)}の 自 己 共 分 散 関 数 は, 〓 で あ る.ま た(6)よ り,ス ペ ク トル 密 度 関 係 は 〓 を み た し,白 色 光 と 同 じ くす べ て の 周 波 数 で 一 定 の 値 を と る.white noiseと よ ば れ る 所 以 で あ る. 後 述 の 「長 期 記 憶 モ デ ル 」 と の 区 別 の た め,ARMAモ デ ル に 限 らず(5)を 満 た す モ デ ル を 「短 3時 系列 解 析 に お け る長 期記 憶 モ デル につ い て
期 記 憶 モ デル 」 とい う.
3.長
期 記 憶 モ デ ル
観 測 値 間 の 系 列 相 関 が 時 間 の 推 移 に た い し て 緩 慢 に し か 減 衰 し な い デ ー タ の 存 在 は,19世 紀 後 半 の 頃 か ら 知 ら れ て い た ら し い(Hampel et al.(1986),Hampel(1986),Beran(1992b)に 詳 し い).ま た 理 論 モ デ ル に 関 す る ア イ デ ア もKolmogorov(1940)ま で 遡 る と さ れ て い る. そ の 後 実 際 デ ー タ を 解 析 す る 上 で の 長 期 記 憶 モ デ ル の 必 要 性 は 経 済 学,水 文 学 両 分 野 に お い て さ ら に 強 く認 識 さ れ る に 至 っ た よ う で あ る.Granger(1966)は,さ ま ざ ま な 経 済 デ ー タ を 解 析 し た 後,こ れ ら の デ ー タ は 系 列 相 関 が 強 く,一 般 に ス ペ ク トル 密 度 関 数 は 図1の よ う に 低 周 波 で 大 き な 値 を と り,高 周 波 に な る に し た が い 減 少 す る 場 合 が 多 い と指 適 し た.Nerlove(1964)も ア メ リ カ の 生 産 指 数 を 分 析 した 結 果,同 様 の 主 張 を し て い る. 一 方Box-Jenkins流 の 解 析 方 法 に 従 え ば ,こ の よ う な デ ー タ に は ま ず 差 分 オ ペ レ ー タ ー 〓 を,デ ー タ が 定 常 と 見 な せ る ま で 作 用 さ せ た の ちARMAモ デ ル を あ て は め る.d(=0,1,2,...) 回 差 分 を と っ て 定 常 と 見 な せ る な ら ば,こ れ を 非 定 常ARIMA(p,d,q)モ デ ル と い う.し か し Grangerに よ れ ば 差 分 を と る と,今 度 は 図2の よ う に低 周 波 の 情 報 が 失 わ れ るoverdifferencing の 状 況 が 起 き 易 い と警 告 し て い る.実 際 例 と し て は,ア メ リ カ の 実 質GNPを 解 析 し たSowell (1992b)が あ る.(な お 最 近Chang and Dickey(1994)はoverdifferencingを 検 出 す る 統 計 量 と し て 逆 自 己 相 関 係 数(inverse autocorrelation)を 採 用 す る こ と を提 案 し て い る.)そ こ でGranger(1980)は 低 周 波 の 波 が 優 勢 な 時 系 列 を 表 現 す る モ デ ル と し て,dを 実 数 化 し たfractional ARIMAモ デ ル を 提 案 し た(以 下FARIMAモ デ ル と略 す).Hosking(1981)も 同 じ モ デ ル を 独 立 に 提 案 して い る.こ の モ デ ル の ス ペ ク トル 密 度 は
図1.低 周 波 が優 勢 なス ペ ク トル 密度 関数 図2.Overdifferencingさ れ た ス ペ ク トル 密 度 関 数
応 用 統 計 学Vol.23,No.1(1994) •¬ (7)
と表 現 され る.こ の命 名 は,(7)の
右 辺 に於 て〓
の項 が(6)のARMAモ
デ ル の ス ペ ク トル 密 度 に対 応 し,〓
の項 が,dが
整 数 の と き,差 分 オ ペ レー タ ー が スペ
ク トル 密度 に与 え る効 果 を表 わ す こ とに よ る.f(λ)は
可 積 分 性 を満 た す 必 要 が あ るが,
•¬ (8)とな る の で,d<1/2で
あれ ば 条件 を満 た し,ま た0<dで
あ れ ば原 点 で 発 散 す る の で低 周 波 が優
勢 な モ デ ル と して 適 当 で あ る.一 方 自己 共 分 散 関 数 γ(h)は
•¬ (9) と な り,0<d<1/2の と き は(5)が 成 立 し な い.こ の よ う な モ デ ル を 「長 期 記 憶 モ デ ル 」 と い う. d=0の と き は,従 来 のARMAモ デ ル で あ る.d<0の と き は 逆 に 原 点 で ス ペ ク トル 密 度 が0と な る が,こ れ は こ れ で 高 周 波 成 分 が 優 勢 な デ ー タ に に 対 す る モ デ ル と し て 有 用 で あ ろ う. 原 点 に 於 い て ス ペ ク トル 密 度 を 発 散 さ せ る た め,操 作 主 義 的 にdを 実 数 化 し て モ デ ル を構 築 し た と い う一 面 も あ る が,定 常 過 程 と し て 独 立 で,か つ 係 数 の 異 な るAR(1)モ デ ル の 適 当 な 加 重 和 を 考 え る と,ス ペ ク トル 密 度 が 原 点 に 於 い て 発 散 す る(Granger (1980)).し た が っ て 短 期 記 憶 モ デ ル に 従 う時 系 列 デ ー タ をaggregateし た 場 合,長 期 記 憶 モ デ ル を 解 析 に 用 い る こ と は 理 論 的 妥 当 性 も保 持 し て い る と 思 わ れ る.た だ こ の よ う な 解 釈 に も 批 判 が あ る こ と は,付 け 加 え て お く (Haubrich and Lo(1989)).も う ひ と つ ポ ピ ュ ラ ー な 長 期 記 憶 モ デ ル と し てfractional Gaussian noise(以 下FGNモ デ ル と 略)が あ る.こ れ は 水 文 学 で 有 名 な 「Hurst現 象 」 か ら 想 を 得 た モ デ ル で あ る. い ま 定 常 過 程 か ら の 観 測 値X(1),X(2),...,X(T)に た い し, 〓 〓 に よ っ て 定 義 す る.さ ら に 〓 〓 〓
と す る.R*T,R**Tは そ れ ぞ れAdjsuted Range,Rescaled Adjsuted Rangeと い う(Mandelbrot and Wallis(1969),矢 島(1989)).も し{X(t)}がi.i.d.に し た が う な ら ば,R**T/T1/2はT→∞
の と き,ブ ラ ウ ニ ア ン ・ブ リ ッ ジ{BB(t):t∈[0,1]}の レ ン ジR=max〓,BB(t)-min〓 BB(t)の 分 布 に 法 則 収 束 す る.し た が っ て
〓 〓
時 系列 解 析 に お け る長 期 記憶 モ デル につ い て
と な る(Feller(1951)).さ ら にSiddiqui(1976)は,ARMAモ デ ル に お い て も期 待 値,分 散 が そ れ ぞ れT1/2,Tの オ ー ダ ー に 比 例 す る こ と を 示 し た.
と こ ろ がHurst(1951)は ナ イ ル 川 の 水 位 デ ー タ に,Rescaled Adjusted Rangeを 応 用 し て 解 析 し た と こ ろ(R/S分 析 と 呼 ば れ て い る),R**TはTH(H>1/2)に 比 例 し,厂 長 期 記 憶 性 」が 存 在 す る と主 張 し た.以 来 「Hurst現 象,あ る い は 「Hurst効 果 」 と い う.こ の 現 象 を 引 き 起 こ す 確 率 過 程 と し て 考 案 さ れ た の がfractional Brown運 動 で あ る(Mandelbrot and Van Ness (1968)).{B(t)}がGauss過 程 で
〓
を 満 足 す る と き,fractional Brown運 動 と い う.C(>0)は 定 数 と す る.H=1/2の と き が 通 常 のBrown運 動 で あ る.こ の 確 率 過 程 は 確 率 分 布 が 「自 己 相 似 」な 性 質 を 持 つ,self-similar process の ひ と つ で あ る(前 島(1988)).deterministicな 自 己 相 似 性 を 持 つ フ ラ ク タ ル 図 形 の 確 率 過 程 版 で あ る.こ こ で 確 率 過 程{B(t)}の 差 分 を と っ て 〓 と 定 義 し,FGNモ デ ル と よ ぶ.{X(t)}は,H=1/2の と き は 独 立 同 一 分 布 に し た が う確 率 変 数 列 で あ る.し か しH≠1/2の と き はd=H-1/2と お け ば,{X(t)}は ス ペ ク トル 密 度 が 〓
を み た す 定 常 過 程 で あ る(Geweke and Porter-Hudak(1983)).こ こ でf*(λ)は 常 に 正 の 値 を と る 連 続 関 数 で あ る.自 己 共 分 散 関 数 は(9)を み た す.従 っ て1/2<Hの と き は 長 期 記 憶 モ デ ル と な り,H<1/2の と き は 高 周 波 成 分 の 優 勢 な モ デ ル と な る. こ こ で ピ リオ ドグ ラ ム を 〓 に よ っ て 定 義 す る.f(λ)に 対 す る 基 本 的 な 推 定 量 で あ る.も し長 期 記 憶 モ デ ル に した が っ て い る とす れ ば,(8)よ り ス ペ ク トル 密 度 の 対 数 は 原 点 の 近 傍 で 傾 き-2dの 直 線 に 近 い 形 状 と な る . Graf(1983)は ナ イ ル 川 の デ ー タ か ら 計 算 し た 対 数 ピ リ オ ド グ ラ ム に 最 小2乗 法 を 適 用 し て -2d=-0.7387す な わ ちd=0.3694を え た. さ て 自 己 共 分 散 関 数 が 〓 (10)
を み た す と し よ う.L(h)はslowly varying functionと す る(Feller(1971)) .あ る 付 加 的 な 条 件 の も と で は,自 己 共 分 散 関 数 が(10)を み た す こ と と,ス ペ ク トル 密 度 関 数 が 〓 (11) を み た す こ と は 同 値 で あ る(Zygmund(1959)).Γ(・)は ガ ン マ 関 数 と す る.し た が っ て(10) ,(11)はFARIMAモ デ ル,FGNの モ デ ル の 一 般 形 で あ る. ま と め る と表1の よ う に な る.混 乱 し や す い がdはdifference,HはHurst,DはDimension の 頭 文 字 で あ り,d=H-1/2=(1-D)/2の 関 係 が あ る .
な お 最 近(10)に お い てD=1と な る モ デ ル を,Martin and Eccleston(1992)が 提 案 し て い
応 用 統 計 学Vol,23,No.1(1994)
表1.長 期 記 憶 モ デ ル
る.
4.長
期 記 憶 モ デ ルの 統 計 理 論
長 期 記 憶 モ デ ル の 統 計 的性 質 は,Granger
and Joyeux (1980),Hosking
(1981)を
先 駆 け と し
て,今
日 に至 る まで盛 ん に議 論 され て い る.理 論 的性 質 を解 明 す る際 の 困 難 さ は,短 期 記 憶 モ デ
ル が み た して い た 自 己共 分 散 関 数 の 絶 対 収 束 性,ス
ペ ク トル 密 度 関 数 の 有 界 性 が もは や成 立 しな
い 点 に起 因 す る.一 方 で 短 期 記 憶 モ デ ル で は 思 い も及 ば ぬ よ う な興 味 あ る性 質 も現 れ て くる.紙
幅 の関 係 で以 下 に概 説 す るが,詳 細 につ い て は個 々 の 論 文 お よ び矢 島(1994b)を
参 照 され た い.
4.1.算 術 平 均,2次 形 式 ま ず 時 系 列 モ デ ル の 推 測 に お い て 基 本 的 な 統 計 量 は 標 本 平 均 と標 本 自 己 共 分 散 関 数 で あ る.標 本 共 分 散 関 数 は 観 測 値 の2次 形 式 の1例 と み な す こ と が で き る. 標 本 平 均〓 とす る.こ の と き長 期 記 憶 モ デ ル の も と で は,分 散 の オ ー ダ ー は 1/T-Dと な り,短 期 記 憶 モ デ ル の と き の1/Tよ り 大 き く な る.ま た〓 の 極 限 分 布 は,{a(t)}に 関 す る 以 下 の 仮 定, (1){a(t)}がij.d. (2){a(t)}がmartingale differenceお よ び そ の ヴ ァ リエ ー シ ョ ン (3){a(t)}の 高 次 キ ュ ム ラ ン トが す べ て 絶 対 総 和 可 能の も と で 正 規 分 布 に な る こ とが 示 さ れ て い る(Eicker (1967),Hannan (1979),Hosoya (1992), Ibragimov and Linnik (1975),Yajima (1989)).
し た が っ て 通 常 の 算 術 平 均 に 関 し て は,normalizing factorが 変 化 す る も の の,総 じ て 中 心 極 限 定 理 が 成 立 す る.し か し{X(t)}に 非 線 形 な 関f(x)を 作 用 さ せ た の ち の 和
〓
に 対 す る 極 限 分 布 はf(x)に 依 存 し て,正 規 分 布 に な る 場 合 と 非 正 規 分 布 に な る 場 合(非 中 心 極 限 定 理 と い う)が 生 じ る.こ こ でATは 適 当 なnormalizing factor で あ る が,こ れ もf(x)に 依 存
す る(Breuer and Major (1983),Dobrushin and Major (1979),Rosenblatt (1979),Taqqu (1975),(1979)).
次 に2次 形 式
〓
を 考 え よ う.こ こ でHm(x)は エ ル ミ ー ト多 項 式 と す る.こ の と きQTに つ い て も や は り極 限 分 布
時 系列 解 析 にお け る長 期 記憶 モ デル につ い て
が 正 規 分 布 に な る 場 合 と,非 正 規 分 布 に な る 場 合 が あ る(Abram (1988), Fox and Taqqu (1985), (1987), Heyde and Gay (1993), Giraitis and Surgailis (1990), Terrin and Taqqu(1990)).
4.2.パ ラ メ ー タ 推 定 σ2a以外 の 未 知 の パ ラ メ ー タ を 一 括 し て ベ ク トル〓 と し,ス ペ ク トル 密 度 を 〓
と表 現 す る.た
とえ ばFARIMAで
は〓
とな る.
この と きGauss過
程 に基 づ く最 尤 推 定 量(非Gauss過
程 に応 用 さ れ た と して も)お よび 最 小2
乗 推 定 量(Whittle推
定 量)は 一 致 推 定 量 で あ り漸 近 正 規 性 も満 足 す る.ま た 両 推 定 量 の漸 近 共 分
散 行 列 は同一 で Ω-1で あ る.こ こでΩ は
〓
に よ っ て 定 義 す る.ま た 最 尤 推 定 法,最 小2乗 法 ど ち ら に お い て も,σ2aの 推 定 量 は〓 の 推 定 量 と 漸 近 的 に 独 立 な 正 規 分 布 に し た が い,漸 近 分 散 は2σ4a+x4で あ る.こ こ でx4はwhite noise proc essの4次 キ ュ ム ラ ン トで あ る.以 上 の 結 果 は 短 期 記 憶 モ デ ル の 場 合 と 同 じ で あ る.(Dahlhaus (1989), Fox and Taqqu (1986), Giraitis and Surgailis (1990), Heyde and Gay (1993), Hosoya (1993), Li and McLeod (1986) , Yajima (1985)) 証 明 方 法 は,推 定 量 のleading termが 観 測 値 の2次 形 式 に な る の で,前 述 の 極
限 定 理 を 応 用 す れ ば よ い.ま たSowell(1992a)は 実 際 に 推 定 量 を 計 算 す る 際 に,よ り効 率 的 な 計 算 方 法 を 提 案 し て い る. 次 に セ ミパ ラ メ ト リ ッ ク ・モ デ ル と し て,次 の よ う な ス ペ ク トル 密 度 関 数 を 考 え よ う. 〓 (12) 〓 こ こ でfu(λ)は 正 の 値 を と る 連 続 関 数 と す る .こ の と き 真 の モ デ ル が 短 期 記 憶 モ デ ル(d=0)に し た が う か,そ れ と も長 期 記 憶 モ デ ル(d>0)に し た が う か を 識 別 す る た め に,dを 推 定 し な く て は な ら な い.Geweke and Porter-Hudak (1983)は 以 下 の よ う な 推 定 量 を 提 案 し て い る .ま ず(12)の 対 数 を と り,ピ リ オ ドグ ラ ム を 用 い て 〓 と変 形 す る.こ こ で γ は オ イ ラ ー 定 数 で あ る .ま た〓 と す る.[]は Gauss記 号 で あ る.右 辺 第3項 は 無 視 し,第4項 は 漸 近 的 に 独 立 同 一 分 布 に 従 う と見 な し ,最 小 2乗 法 に よ りdを 推 定 す る.第3項 か ら 生 じ る バ イ ア ス の 影 響 を 防 ぐ た め に は,高 周 波 の ピ リオ ド グ ラ ム を 除 去 し な く て は な ら な い.逆 に あ ま り λTkが 原 点0に 近 い と今 度 は 分 散 が 大 き くな る .そ こ でkの 下 限 をL(T),上 限 をU(T)と し た と き ,L(T)/T1/2→ ∞,U(T)/T→0(T→∞)を み た せ ば,こ の 推 定 量 は 弱 一 致 推 定 量 に な る(矢 島(1994a)) . 簡 便 な 方 法 で あ る が,真 の パ ラ メ ー タ へ の 収 束 が 遅 い .ま たFARIMAモ デ ル に した が い,AR 部 分 の 特 性 多 項 式 の 根が 単 位 円 周 上 近 く に 存 在 す る とバ イ ア ス が 大 き い(Agiaklogolou et al . 8
応 用 統 計 学Vol.23,No.1(1994)
(1993), Cheung (1993b), Hassler(1993),矢 島(1994a)).さ ら に 改 善 す る 必 要 が あ る.Hasller (1993)は 生 の ピ リ オ ド グ ラ ム の 代 わ り にtaperedピ リ オ ド グ ラ ム を も ち い る こ と を 提 案 し て い る が,理 論 的 性 質 は ま だ 不 明 で あ る.他 にKashyap and Eom (1988)の 方 法 が あ る.
4.3.Misspecifiedモ デ ル の 推 定 パ ラ メ ト リ ッ ク ・モ デ ル が 真 の 確 率 過 程 を 含 ま な いmisspecificationの 場 合 に つ い て は,Ya jima(1992)が あ る.長 期 記 憶 モ デ ル の 特 徴 は,自 己 相 関 関 数 の0へ の 収 束 速 度 が 緩 慢 な こ と で あ っ て,個 々 の 自 己 相 関 関 数 は 必 ず し も大 き い と は 限 ら な い(Hampel et al.(1986),Chap.8). こ こ で は 真 の 確 率 過 程 は(10)を み た す 長 期 記 憶 モ デ ル に し た が う と し,あ て は め る モ デ ル は ARMAモ デ ル と す る.推 定 量 と し て は 最 小 二 乗 推 定 量 を考 え る.こ の と き推 定 量 は,一 期 先 予 測 の 二 乗 誤 差 を 最 小 に す る モ デ ル の パ ラ メ ー タ に 収 束 す る.Gauss過 程 で あ れ ば,こ の モ デ ル は 真 の 確 率 過 程 と のKullback-Leiblerの 距 離 の 極 限 値 を 最 小 に す る も の で も あ る.極 限 分 布 はDに 依 存 し て 正 規 分 布 に も 非 正 規 分 布 に も な る.ま た 収 束 の オ ー ダ ー もDに 依 存 し て 変 化 す る.証 明 に は 前 述 の2次 形 式 に 関 す る 極 限 定 理 を 用 い る. 4.4.回 帰 モ デ ル
誤 差 項 が 弱 従 属 定 常 過 程 に した が う回 帰 モ デ ル を考 え,種 々 の 推 定 量 の性 質 に つ い て論 じ る.モ
デ ル を
〓
と す る.こ こ で β=(β1,β2,...,βk)'を 回 帰 パ ラ メ ー タ と す る.ま た 誤 差 項{ε(t)}が 前 節 ま で の 強 従 属 定 常 過 程{X(t)}で あ り,こ こ で はX(t)=(Xt1,Xt2,・・・,Xtk)'をdeterministicなk次 元 説 明 変 数 ベ ク トル と す る.{ε(t)}の ス ペ ク トル 密 度 関 数 は(12)を み た す と す る. 最 小 二 乗 推 定 量(LSE)に つ い て ま ず 述 べ て お く.強 一 致 性 を 持 つ た め の 十 分 条 件 に つ い て は, Yajima (1988)が あ る.ま た 最 良 線 形 不 偏 推 定 量(BLUE)に 対 す る漸 近 有 効 性 に 関 し て は,説 明 変 数 がGrenander条 件(Grenander (1954))を み た す 場 合 に つ い て,Beran and KUnsch (1985), Samrov and Taqqu (1988), Yajima (1988), (1991)が 論 じ て い る.漸 近 分 布 に つ い て は,前 出 のEicker (1967),Hannan (1979),お よ びYajima(1989),(1991) が あ る.ま たLSEが 漸 近 有 効 で な い 場 合,漸 近 有 効 と な るweighted LSEの 構 成 法 につ い てDah lhaus (1992)が あ る.
つ ぎM推 定 量 につ い て は,Beran and Kunsch (1985), Beran (1991)が あ る.前 述 の 極 限 定 理 を 応 用 し てM推 定 量 で はLSEを 改 善 で き な い こ と が 示 さ れ て い る.Koul (1992)は さ ら に
X(t)がstochasticの 場 合 も 含 め 議 論 し て い る.
R推 定 量 の 漸 近 的 性 質 は,Koul and Mukherjee (1993)がM推 定 量 に 対 す る の と 同 じ 手 法 を 用 い て 導 い て い る.
た だ しM推 定 量 に し ろ,R推 定 量 に し ろ,本 来 分 布 形 に 関 す る ロ バ ス ト推 定 量 と し て 提 案 さ れ た もの で あ る が,こ こ で の よ う に 誤 差 項 の 系 列 相 関 が 強 い モ デ ル に た い し て,ど の よ う な 含 意 が あ る の か 明 ら か に す る 必 要 が あ ろ う.
時 系 列 解 析 に お け る長 期 記憶 モ デル に つ いて
4.5.ノ ン パ ラ メ ト リ ッ ク 推 定
モ デ ル は
〓
とす る.f(x)は,[0,1]上 で 二 回 微 分 可 能 な 関 数 で,各 導 関 数 は 有 界 とす る .Hall and Hart (1990) は カ ー ネ ル 推 定 量 を 用 い る とconsistency order は,弱 従 属 の 場 合 に はT-2/5で あ る が,強 従 属 の 場 合 に はT-2D(4+D)に 速 度 が 低 下 す る こ と を 導 い て い る.
4.6.そ の 他 の 推 測 問 題
Kunsch, Beran and Hampel (1993)は 一 元 配 置 問 題 を 回 帰 モ デ ル の 枠 組 み で と ら え,種 々 の randomizationの も と でLSEの 性 質 を 導 い て い る.い まβiをi番 目 のtreatmentの 主 効 果 と す れ ば,同 じtreatmentを 続 け て 実 験 す る と,相 前 後 す る誤 差 項 は 強 い 相 関 を も つ た めconstantβ iの 推 定 量 の 分 散 は 大 き くな る.し か し別 のtreatmentに 切 り替 え れ ば, contrastβi-βj(i≠j)の
推 定 量 は,i,i.d.の 場 合 に 比 べ 分 散 は 小 さ い.
Dehling and Taqqu (1989)は 経 験 分 布 関 数,U-statistics , Von Mises statisticsの 漸 近 分 布 を 導 出 し て い る.
他 に 正 規 性 の 検 定(Beran (1991)),強 従 属 性 に 関 す る 適 合 度 検 定(Beran (1992a))が あ る .
5.長
期 記憶 モ デル の応 用
5.1.分 析 手 法
実 際 の デ ー タ 解 析 に お け る 手 順 は,現 在 ま で の と こ ろ 十 分 に 確 立 さ れ て い る わ け で は な い が, Box and Jenkinsの 流 儀 に 倣 え ば 以 下 の 手 順 が 考 え ら れ よ う .Cheung (1993a), Sowell (1992b)
が 具 体 例 と し て 参 考 に な る. (1)同 定 4・3で 述 べ た よ う に,個 々 の 自 己 相 関 係 数 は 必 ず し も 大 き く は な い .図3はARIMA(0,d,0) モ デ ル のd=0.2の 場 合 の 自 己 相 関 関 数 で あ る が,こ の 図 か ら はARMAモ デ ル を 当 て は め る べ き か,そ れ と もFARIMAモ デ ル を 当 て は め る べ き か に わ か に は 決 し が た い .し た が っ て 標 本 自 己 相 関 関 数 に 過 度 の 信 頼 を お く こ と は で き な い.標 本 自 己 相 関 関 数 を バ ッ ク ・ア ッ プ す る 同 定 の 方 法 と し て は,前 述 のR/S分 析 あ る い は セ ミパ ラ メ ト リ ッ ク な 方 法 に よ り,ま ず 実 数 差 分dを 求 め る こ と が 考 え ら れ る. た だ しR/S分 析 を 応 用 す る 場 合 に,単 にi.i.dだ け で な く短 期 記 憶 モ デ ル ま で 考 慮 す る と以 下 の 注 意 が 必 要 で あ る.前 述 のSiddiqui (1976)に よ れ ば,短 期 記 憶 モ デ ル で はR*T/(2πf(0))1/2が ブ ラ ウ ニ ア ン ・ブ リ ッ ジ の レ ン ジ の 分 布 に 法 則 収 束 す る.し た が っ てf(0)をf(0)の 推 定 量 と す れ ば,R*TをSTで な く(2πf(0))1/2で 割 っ た 統 計 量 を 採 用 し な く て は な ら な い .2πf(0)は 一 般 に Var(X(t))よ り大 き く,両 者 が 一 致 す る の は{X(t)}が ホ ワ イ ト ・ ノ イ ズ の と き の み で あ る. ナ イ ー ブ に ピ リ オ ド グ ラ ム を 計 算 す る の も,原 点 近 く で の ス ペ ク トル 密 度 関 数 の 挙 動 を 把 握 す る の に は 有 効 で あ る. d≠0の 可 能 性 が 大 で あ れ ば,通 常 のARMAモ デ ル をFARIMAモ デ ル の 中 に 埋 め 込 ん だ 10
応 用 統 計 学Vol.23,No.1(1994) 図3.FARIMA(0,d,0)(d=0.2)モ デ ル の 自 己 相 関 関 数 nestedな 形 式 で,AIC等 の モ デ ル 選 択 規 準 を 応 用 で き る. (2)推 定
推 定 はARMAモ
デル と同 じ く,最 尤 推 定 量 が まず挙 げ られ る.計 算 量 はARMAモ
デ ル に比 べ
大 き くな るが,前 述 のSowellの
方 法 を もち いれ ば節 減 可 能 で あ る.ま た 最 小2乗 推 定量 に よ っ て
も,よ
り簡 略 に 推 定 で き る.
(3)予 測 FARIMAモ デ ル を 例 に と り,説 明 す る.い ま 実 数 差 分 の オ ペ レ ー タ ー⊿dを 一 般 化 さ れ た2項 係 数 を も ち い て 〓に よ っ て 定 義 す れ ば,FARIMAモ
デ ル は時 間 領 域 に お い て
〓
と表 現 で き る.し た が っ て確 率 過 程{Y(t)}を
〓
に よ っ て 定 義 す れ ば,{Y(t)}は 従 来 のARMA(p,q)モ デ ル で あ る.し た が っ て 現 時 点 をTと し て,Y(T+1)に 対 す る 最 良 予 測 量 をBox and Jenkins流 に 構 成 し,Y(T+1)と す れ ば,(13) よ り,X(T+1)に 対 す る 最 良 予 測 量X(T+1)は〓
とな る.た だ しdは
未 知 な の で 推 定 量 で 代替 す る こ と,ま た 観 測 で きな い 過 去 の{X(t)}の
処 理
な どに課 題 が 残 され て い る.
時 系 列 解析 にお け る長 期 記 憶 モ デ ル につ い て
5.2.応 用 例
理 論 が 整 備 さ れ る に つ れ さ ま ざ ま な 分 野 で 応 用 さ れ つ つ あ る.
ま ず 経 済 デ ー タ か ら み て い こ う.経 済 デ ー タ に 関 し て は,マ ネ ー サ プ ラ イ(Porter-Hudak (1990)), GNP (Diebold and Rudebusch (1989), Sowell (1992b)),物 価 指 数(Geweke and Porter-Hudak (1983)),株 価(刈 屋 ・勝 浦(1992), Lo (1991),高 橋(1992)),為 替 レ ー ト(Cheung
(1993a), Diebold et al. (1991),岡 本(1986),刈 屋 ・勝 浦(1992),矢 島(1994a)),利 子 率 の 期 間 構 造(Shea(1991))な ど が 挙 げ ら れ る.
Porter-Hudak (1990)は ア メ リ カ の1959年1月 か ら1988年4月 ま で のM1を 解 析 し た と こ ろ,通 常 の 階 差(1-L)(1-L12)で は 周 期 成 分 が 完 全 に 除 去 さ れ て い な い と し て,seasonal FAR IMA モ デ ル を あ て は め た.将 来 の 値 に 対 す る 予 測 誤 差 を 比 較 し た と こ ろ,一 期 先 予 測 を 除 い て FARIMAの 方 が 通 常 のARIMAモ デ ル よ り 真 値 に 近 か っ た .ち な み に2つ の モ デ ル は〓
〓 で あ る.FARIMAで はGeweke and Porter-Hudakの 方 法 に した が っ て 推 定 し て い る が,上 式 か ら分 か る よ う にd>1/2で あ り,「 非 定 常 」 に な っ て し ま う.文 字 ど お り非 定 常 過 程 な の か そ れ
と も前 述 の 推 定 量 の バ イ ア ス の 影 響 か さ ら に 考 察 を 必 要 と す る .
Sowell (1992b)は,FARIMAモ デ ル に よ りdを 実 数 化 す る と,d=1と は 見 な し難 い 例 も存 在 す る こ と を 示 し て い る.ア メ リ カ の 対 数 実 質GNP(1947年 代 第1四 半 期 か ら1989年 第4四 半 期)の 階 差 を と っ た 時 系 列 を 分 析 し た と こ ろ,SICで は 通 常 のARMAモ デ ル が,AICで はfrac tional ARIMAモ デ ル が 選 択 さ れ た.ピ リ オ ドグ ラ ム を見 る か ぎ り,原 点 λ=0で は0に 近 づ い て お り,overdifferencingの 兆 候 が み ら れ る.そ し てFARIMAに も とづ くス ペ ク トル 密 度 関 数 の 推 定 量 の 方 が 通 常 のARMAの そ れ よ り ピ リオ ド グ ラ ム の 原 点 の 近 傍 で の 動 き を 忠 実 に 追 っ て お り,な お か っ 高 周 波 で の 適 合 度 も遜 色 な い.FARIMAモ デ ル のdの 推 定 値 は 約-0 .591で あ り, 原 系 列 に 対 し て は1-0.59=0.41(<1/2)と な る か ら,FARIMAモ デ ル を 用 い れ ば 定 常 過 程 の 範 囲 内 で モ デ ル 化 可 能 と な る. Lo(1991)は5・1節 で 述 べ た 「修 正R/S分 析 」 を 用 い て ア メ リ カ の 株 価 収 益 率(原 系 列 を 対 数 変 換 し た 後,1回 階 差 を と っ た 系 列,以 下 収 益 率 の 定 義 は 同 様)に た い して は,短 期 記 憶 モ デ ル が 棄 却 さ れ な い と し て い る .刈 屋 ・勝 浦(1992)は 日本 の 株 価 収 益 率,円 ・ド ル 為 替 レ ー トの 収 益 率 に 対 し て も 同 様 の 結 果 を 得 て い る.岡 本(1986)は 為 替 レ ー トの 原 系 列 の 分 析 か ら,長 期 記 憶 性 を 主 張 し て い る.
為 替 レ ー トの 収 益 率 に つ い て は,Cheung (1993a),矢 島(1994a)もGeweke and Porter-Hudak 法 を 応 用 し て 「長 期 記 憶 性 」に つ い て 検 証 し て い る.Cheungは さ ら に 最 尤 推 定 量 も計 算 し て ,そ
の 長 期 記 憶 性 を指 摘 し て い る.し か し デ ー タ と し て 変 動 相 場 制 移 行 直 後 の1973年12月 か ら1987 年12月 ま で の 長 期 に 渡 る 収 益 率 を 採 用 し て い る の で,そ の 間 の 構 造 変 化 す な わ ち 非 定 常 性 の 問 題 が 生 じ る.矢 島 は 別 の デ ー タ で あ る が,外 為 法 改 正 後1981年1月 か ら1987年12月 ま で に つ い て, 全 期 間,1985年9月 の プ ラ ザ 合 意 以 前,以 後 に 分 割 し た 期 間,計3種 類 の デ ー タ に た い し て 解 析 し た 結 果,顕 著 な 長 期 記 憶 性 を 見 い だ す こ と は で き な か っ た .Diebold, Husted and Rush (1991) はFARIMAモ デ ル を 当 て は め た 結 果,欧 米 主 要 国 の お よ そ1世 紀 以 上 の ク ロ ス ・レ ー トに 購 買 力
応 用 統 計 学Vol.23,No.1(1994) 平 価(PPP)が 成 立 す る と し て い る. 以 上 従 来 のARMAモ デ ル を 常 に 凌 駕 す る わ け で は な い が,代 替 的 な モ デ ル と し て 長 期 記 憶 モ デ ル は 大 き な 可 能 性 を 秘 め て い る と 言 え る で あ ろ う.た だ しR/S分 析 で は そ の 検 出 力,ま たf(0) と し て,何 を 採 用 す べ き か が 問 題 と な る.さ ら に 長 期 記 憶 モ デ ル で はf(0)=∞ と な る た め,修 正 R/S分 析 で は 値 が 過 小 に 推 定 さ れ て は い な い か?な ど に 注 意 を 要 す る.
一 方Geweke and Porter-Hudak法 で は,前 に 指 摘 し た 周 波 数 の 選 択 に 依 存 し て,推 定 量 が 変 化 す る こ とが 問 題 に な る.ま たGaussian MLEに よ っ て 実 際 に 推 定 す る場 合 に は,推 定 値 の 安 定 性,特 定 化 を 誤 っ た 場 合 の ロ バ ス トネ ス 等 の さ ら に 精 細 な 考 察 を 必 要 と し て い る.
次 に 自 然 科 学 分 野 に お け る 応 用 例 に つ い て2,3紹 介 す る.Haslett and Raftery (1989)は,ア イ ル ラ ン ドの12地 点 の 風 力 デ ー タ に 応 用 し て い る.こ の よ う にspatial-time seriesに た い す る 長 期 記 憶 モ デ ル も 今 後 の 興 味 あ る 問 題 で あ る. 近 年 の 大 き な 環 境 問 題 と し て,「 地 球 温 暖 化 」 が あ る.Smith (1993)は4・4節 の 回 帰 モ デ ル に お い て,気 温 の 年 次 デ ー タY(t)に た い し, 〓 を あ て は め,直 線 の 傾 き β2が 有 意 に正 か 否 か の 検 定 を 行 っ て い る.気 温 の デ ー タ と し て は イ ギ リ ス,ア メ リカ の あ る 地 方 お よ び 政 府 間 パ ネ ル(Intergovernmental Panel on Climate Change, IPCC)の グ ロ ー バ ル ・デ ー タ を 使 用 し て い る.誤 差 項 に 弱 従 属 定 常 過 程 を 仮 定 し た 場 合 に 比 べ,推 定 量 の 分 散 は 大 き く な る が,そ れ で もIPCCの デ ー タ に 関 し て は β2=0を 棄 却 し,温 暖 化 の 傍 証 を 得 た.一 方 残 りの 二 つ の デ ー タ に 関 し て 推 定 量 は有 意 で は な か っ た.た だ 著 者 も 述 べ て い る よ う に,説 明 変 数 を1次 直 線 に す る こ と,誤 差 項 を 定 常 過 程 と み な す こ と の 妥 当 性 の 検 討 が 残 さ れ て い る. ま た 工 学 の 分 野 で 「1/fゆ ら ぎ 」 あ る い は 「1/fノ イ ズ 」 と い う 言 葉 を し ば し ば 耳 に す る.水 晶 時 計,電 子 時 計,木 目 模 様,は て は 音 楽 の リ ズ ム ま で に 幅 広 く応 用 さ れ て い る よ う で あ る(寺 本 他(1985),Voss and Clark (1975)).実 は こ れ も.長期 記 憶 モ デ ル で あ る.(8)の 右 辺 の￨λ￨をf で 置 き 換 え(こ こ で はfunctionで は な くfrequencyの 頭 文 字 と し てfを 使 用 し て い る),べ き乗 の 2dを 省 略 し て 「1/fゆ ら ぎ 」 と呼 ん で い る わ け で あ る. 6.ま と め さ て ま と め と し て い く つ か の 考 察 を 加 え た い. 長 期 記 憶 モ デ ル は,系 列 相 関 が 時 間 差 と と も に ゆ っ く り低 下 し,一 見 す る と ト レ ン ド と見 誤 る よ う な デ ー タ の 解 析 に 有 用 で あ ろ う. 現 在 ま で の と こ ろ,マ ク ロ 経 済 デ ー タ な ど の 実 証 分 析 で は 「非 定 常ARIMAモ デ ル 」 対 「定 常 ARMAモ デ ル+決 定 論 的 ト レ ン ド」と い う 形 式 で モ デ ル 選 択 を 行 う場 合 が 多 い.ま た 大 勢 と し て は 非 定 常ARIMAモ デ ル の 方 が 当 て は ま り が 良 い よ う で あ る(Nelson and Plosser (1982), Wasserfallen (1986)).し か し必 ず し も そ れ は 非 定 常ARIMAモ デ ル の 優 位 性 を 意 味 す る わ け で
は な く,相 手(定 常ARMAモ デ ル+決 定 論 的 ト レ ン ド)の 「弱 さ 」 に 起 因 す る 場 合 も あ る.す で に 述 べ た よ う にdを 実 数 化 す れ ば,従 来 のARIMAモ デ ル の 優 位 性 は 必 ず し も 主 張 で き な い (Diebold and Rudebusch (1989), Sowell (1992b)),
時 系列 解 析 に お け る長 期 記憶 モ デル につ い て
ま た こ の 問 題 は 「単 位 根 検 定(unit root test)」 に も 関 係 し て い る.従 来AR(1)モ デ ル の 枠 組 み の 中 で 〓 に お い て 〓 (14)
とい う形 式 の 検 定 問題 を考 え る こ とが 多 い.し
か し 「
長 期 記 憶 モ デ ル 」 を 「
非 定 常ARIMAモ
デ
ル 」 と 「
短 期 記 憶 モ デル 」の 間 に想 定 す れ ば,新 た な検 定 問 題 が考 え ら れ よ う.た
とえ ば,「 非 定
常ARIMAモ
デ ル対 非 定 常FARIMAモ
デ ル 」
〓 (15)あ る い は 「
非 定 常FARIMAモ
デ ル対 定 常FARIMAモ
デ ル 」
〓
な ど は 一 考 に 値 し よ う. た だ し こ の 場 合 に は0.5〓d<1に 対 応 す る 非 定 常FARIMAモ デ ル を 構 築 す る 必 要 が あ る.一 つ の 方 法 は 通 常 のARIMA(p,1,q)モ デ ル がARMA(p,q)モ デ ル の 和 分 と し て 定 義 さ れ る よ う に,同 じ く-1/2〓d<0のFARIMAモ デ ル の 和 分 と し て 定 義 す る こ とが 考 え ら れ る.1<dに た い し て は,和 分 を繰 り返 せ ば よ い.こ の 定 義 の も と で 従 来 の 単 位 根 検 定 に た い す る 検 定 統 計 量 (Dickey and Fuller (1979), (1981))の 検 定 問 題(15)に た い す る検 出 力 は か な り低 い こ と が, シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 結 果 よ り指 摘 さ れ て い る(Diebold and Rudebusch (1991)).表2は 彼 ら の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 で あ る.繰 り返 し の 回 数 は5,000回,名 目 上 の 有 意 水 準 は5%で あ る.こ こ でTは サ ン プ ル 数,ま た〓Tは,回 帰 モ デ ル に お け る｢t値 タ イ プ 」の 検 定 統 計 量,〓TはT(φ-1)に 基 づ く検 定 で あ る.φ は 最 小2乗 推 定 量 で あ る.2つ の 検 定 と も有 意 水 準(d=1の 列)は 名 目 の5%に ほ ぼ 一 致 し て い る.検 出 力 は 相 対 的 に は〓 の 方 が〓 よ り 良 い が,あ ま り高 く は な い. な おdTの 行 は1回 階 差 を と り,検 定 問 題 を 〓 に 帰 着 さ せ た と き,FARIMA(0,d,0)モ デ ル に 対 す るdの 最 尤 推 定 量 の 漸 近 分 布T1/2dr∼ N(0,6/π2)(Yajima (1985))に 基 づ く 両 側 検 定 の 検 出 力 で あ る.な お こ れ は 分 布 がexactに 正 規 分 布 に し た が う と き の 検 出 力 の 理 論 値 で あ り,実 際 の 有 限 標 本 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に お い て はd Tの 分 布 と 正 規 分 布 の 差 が 問 題 に な る.し た が っ て 従 来 の 単 位 根 検 定 に 対 し 公 平 な 比 較 で は な い が, 機 械 的 に 単 位 根 検 定 を 適 用 す る こ と はmisleadingで あ る と 言 え よ う. さ ら に(14)の 検 定 に お い て,{a(t)}がwhitenoiseで は な く長 期 記 憶 モ デ ル に し た が う 場 合 に は,〓Tお よ びT(φ-1)の 極 限 分 布 はDickey and Fullerが 導 出 し た 分 布 と大 き く 異 な る (Sowell(1990)). た だ し 公 平 を 欠 か ぬ よ う付 け加 え る と,長 期 記 憶 モ デ ル に 否 定 的 な 見 解 も あ る.た と え ば 短 期 記 憶 モ デ ル に ト レ ン ド項 を 加 え る こ と に よ っ て も 「Hurst現 象 」は 起 こ り得 る(Bahttacharaya et al.(1983)).い ま{X(t)}を 〓 14応 用 統 計 学Vol.23,No.1(1994)
表2.FARIMA(0,d,0)モ デ ル に た い す る単 位 根 検 定
と す る.こ こ で{Y(t)}はARMAモ デ ル に し た が い,-1/2<β<0と す る.こ の と きR/S分 析 を 応 用 す る と,推 定 量 はH>1/2に 収 束 して し ま う.注 意 す べ き こ と は β が 負 な の で,ト レ ン ド は 時 間 の 経 過 と 共 に 消 失 す る の で,解 析 す る 際 に 見 過 ご し て し ま う 可 能 性 が 大 き い 点 で あ る.た だGeweke and Porter-Hudak法 を 用 い れ ばH=1/2(d=0)をconsistentに 推 定 で き る(Kuns ch(1986),矢 島(1994a)).
関 連 し て ス ペ ク トル 密 度 が 原 点 近 くで 増 大 す る の は ト レ ン ドの 除 去 が 不 完 全 で あ る こ と に 起 因 す る と の 主 張 も 以 前 よ り あ る(Adelman (1965)).(一 方 中 立 的 な 立 場 か ら,Adelmanの 解 析 に は,ス ペ ク トル 密 度 の 推 定 に お け る 分 離 可 能 性(resolvability)の 問 題 が 無 視 さ れ て い る との 指 摘 も あ る(Hatanaka and Howrey(1968)).
ま た 真 の キ デ ル が た と えFARIMAモ デ ル に し た が っ て い て も,ARモ デ ル ・フ ィ ッ テ ィ ン グ に よ り最 良 線 形 予 測 量 と遜 色 の な い 予 測 量 が 構 成 で き る場 合 が あ る(Ray (1993)).
以 下 の 表3は 筆 者 がFARIMA(0,d,0)モ デ ル に た い し て,ARモ デ ル を 当 て は めAICに よ り 次 数 選 択 を 行 っ た シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 で あ る.100回 繰 り返 し,n,kは 各 々 サ ン プ ル 数,選 択 さ れ た 次 数 を 表 す.最 大 次 数 は2.0n1/3と し た.真 の モ デ ル がFARIMAモ デ ル に し た が う と き,最 大 次 数 をn1/3の オ ー ダ ー に と れ ば,AICに よ る 次 数 選 択 はShibata (1980)の 意 味 で 漸 近 有 効 に な る(矢 島(1991)).定 数 項 の2.0は 試 験 的 な も の で あ り,格 段 の 理 由 は な い.d=0.0(white noise) の 場 合 は,ベ ン チ マ ー ク と し て 掲 げ て あ る.Hampel et al.(1986)の 指 摘 に あ る よ う に,d=0.2 の と き は,個 々 の 自 己 相 関 係 数 は ρ(1)=1/4,ρ(2)=1/6,… と い う よ う に 小 さ い の で,FARIMA モ デ ル で あ っ て も低 い 次 数 が 選 択 さ れ て い る.d=0.4,n=200ぐ ら い に な っ て,よ うや く高 い 次 数 が 選 択 さ れ る よ う に な る.次 に 一 期 先 の 予 測 誤 差 を 考 え よ う.相 対 予 測 誤 差 の 理 論 的 下 限 は white noise,原 系 列 各 々 の 分 散 の 比Var(a(t))/Var (X(t))で あ る が,d=0.2で は0.91,d= 0.4で は0.48で あ る.一 方AICに よ っ て 選 択 さ れ た モ デ ル に よ る 相 対 予 測 誤 差 の100回 の 平 均 は そ れ ぞ れ0.98,0.54と な り,確 か にARモ デ ル に よ る 予 測 も悪 く は な い. 最 後 に プ ト レ マ イ オ ス の 天 体 モ デ ル を 持 ち 出 す ま で も な く,あ る 現 象 に た い し て 説 明 力,予 測 力 の あ る モ デ ル が,の ち に 学 問 的 見 地 か ら到 底 受 け 入 れ 難 い こ と も有 り得 る(Klemes (1974)). これ ら の 批 判 は 謙 虚 に 受 け と め る と し て,ま た 時 系 列 解 析 一 般 に た い し て 「理 論 な き 計 測 」 と の 批 判 は あ る も の の,ま ず デ ー タ に よ り適 合 す る モ デ ル を 構 築 し,そ こ か ら帰 納 的 に モ デ ル と整 合 的 な 理 論 を 確 立 す る と い う 接 近 法 も 重 要 と 思 わ れ る.こ の 観 点 か ら み て 長 期 記 憶 モ デ ル は ARMAモ デ ル を 補 完,代 替 す る モ デ ル の 有 力 な1候 補 と 考 え ら れ る. 15
時 系列 解析 に お け る長 期 記憶 モ デル につ いて
表3.LFARIMA(0,d,0)モ デ ル に た い す るAICに よ るARモ デ ル ・フ ィ ッ テ ィ ン グ
謝 辞 お よび 付 記
本 稿 は 応 用 統 計 第13回
シ ン ポ ジ ウ ム 「
時 系 列 解 析 の 実 際 」(1991年 於 専 修 大 学)
で講 演 した 内容 を加 筆 訂 正 した もの で あ る.講 演 の機 会 を与 え て くだ さ っ た組 織 委 員 会 に心 か ら
の謝 意 を表 した い.さ
らに貴 重 な御 助 言 を くだ さ っ た 査 読 者 に もお 礼 を申 し上 げ た い.
参
考
文
献
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