ひずみ軟化材料の有限要素解析: University of the Ryukyus Repository

(1)

Title

ひずみ軟化材料の有限要素解析

Author(s)

伊良波, 繁雄

Citation

琉球大学工学部紀要(36): 9-21

Issue Date

1988-09

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/17652

Rights

(2)

9

Finite Element Analysis of Strain-Softening Material

Shigeo IRAHA

Synopsis

A numerical method for tension fracture of materials which exhibit

strain - softening is presented here by use of the hybrid stress model.

When tension fracture occurs in the materials, the stress field has to

satisfy the equation of stress -crack width relation on cracking surfaces.

For numerical analysis, the equation has to be introduced into the

princi-ple of the hybrid comprinci-plementary energy using Lagrange multipliers

defin-ed on cracking surfaces.

This method is useful for tension fracture analysis because the size

of total stiffness matrix does not increase even for calculation under the

condion of cracking in the materials. The results of computer simulation

on compact tension (CT) test by this method yield a good agreement

with the experimental ones.

Key Words: Concrete, Strain-Softening, FEM

W2

W

Un

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1988:¥51J9El

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I~ffll±*I~H

(3)

10 ひずみ軟化材料の有限要素解析 :伊良故スの大きさも増加する｡このために,あらかじめひびわれの発生が予想されるような要素境界のみに棒要素を配置する方法が行われている｡擁性方程式を用いる方法も同様に,あらかじめひびわれの発生が予測できる場合のみ有効てある｡しかし,任意の荷重や任意の形状の鉄筋コンクリート構造物に応用する時はひびわれの発生を予測するこは困難であり, このような手法にも限界がある｡このために,本報告ではひびわれの発生が要素境界のみに限定されているが , どの要素境界でも容易にひびわれの導入が可能な計算手法について述べる｡二次元 -イブリノドストレスモデルを用いて,壁性条件式が要素境界に垂直な応力とせん断応力の関数の時の弾塑性剛性方程式を求める方法は前報5'6'に示してある｡仮想ひびわれモデルを用いる時のひずみ軟化とは,降伏曲面がひびわれ幅の増加に伴って縮小する現象であるから,塑性条件式の内に応力のみならずひびわれ幅も入ってくる｡このために,塑性条件式を -イブリッド型コンプリノ /タリエネルギーの原理にラグラー/ジェの未定乗数法を用いて導入する時に,ひびわれ幅とラグラ '/.)ェ関数との関係を明らかにする必要がある. そこで,本報告では最初に,/､イブリノド型Hel止nger-Reissnerの変分原理を用いてひびわれ幅とラグランジェ関数との関係を明らかにした｡つぎに.この関係式を用いて,ひずみ軟化を考慮した弾塑性剛性方程式を導く方法を示した｡数値計算例としては ,- 軸引張破壊の問題を解析し,ひずみ軟化曲線の降下部の勾配の大きさによっては数値計算上発散が起ることを示し,その原因を明らかにした｡つぎに,六郷ら7'の行った

CT

試験体の実験のノユミレーションを行い本報告で示している解析手法が十分精度の高いことを示した｡

2 .

変分原理

-イブ1), ド型Hellinger-RelSSnerの原理の汎関数

は次式て与えられる8と -nR'H

等

JJJv.lB(a.,)+ (0.日+ F,)u.]dv

-

∑

JJh｡u.(T:+TP)ds

一

皿 (T,-守.)u.ds -JJsuT.Gtds (I) ここで,B(けり)･コンプリノソタリェネルギー関図-2 局所座標系敬

,F

.:物体

九

で.:表面九

T

.:0..n,,uL,.応九 m ,:外向き法線ベクトルの方向余弦,Ul:変位, 付 : 既知量,a:要素a,b:要素b,Va:要素aの体桁

,Sa

b

:要素a,bの境界,Su:幾何学的境界,SO:力学的境界, ∑ すべての要素の総和

,

∑すべての要素境界の総和である｡式(1)は全体座標系における変分原理であるが, この式の要素境界積分のみを図- 2に示す局所座標系を用いて変換すれば ,前報 Sで示したように .二次元問題に対しては次のように表わされる｡

一n

こ

H

-

打J

v

.lB(

q･,)

+

(U

…+

F

･)ul]dxdy

-

∑

JJ b b [ (0:一cmb)U

+(

T:SIT:I)V]ds

-

J

b[(q

n一言

n)

O - (

T

n

:

盲ns )V]ds -Jsu(qnti+Tn,V )ds ここで

,U

は要素境界に垂直な方向の変位

,V

は要素境界に並行な方向の変位,onは要素境界に垂直な応力,Tn,は要素境界面上に作用するせん断応力である｡なお,A,mを方向余弦とすると,on-qxP2+2TI,Rm + oym

2

, Tn

9-

- (qx-0,)Pm +T x, (且2-m2) となる｡要素境界の応力α :, r:,が降伏条件式 f(qJn,TE,)-0 を満足した時を考える｡この時の塑性条件式は (3) 蓋 do:+ 景 dT:5-0 (4,

(4)

琉球大学工学部紀要第36号,1988年となる｡すなわち,図 -2に示すように,要素a,b 境界に破壊か発生した時は式(4)の付帯条件のもとて式(2)を解けはよい｡ここで, ラグランジェの未定乗数｢aを用いて付帯条件式を(2)の変分原理に導入すれは一 n

こ

.

H

- -n

三

日

十Jsn.,

(

景

d

q:

.

･景 ∂T車

h

d

s

'5) となるO ここで,破壊は図- 2に示すように,要素内ではあるが,要素境界の近くに発生していると仮定する｡式(5)の

r

aの物理的意味を明らかにするために,

nR

'

r

の第一変分を求め,その中でSab上の停留条件に関連する項のみを示せば -

∂

r

l

R

'

H

'-Js

_a

_b[Ua

∂

q

?

.

+q

a

n

∂

Ua

+Va

∂

T

:,

+

T

ニ

9 ∂

Vb

-Ub∂

q:

一0

2 ∂

Ub

-Vb

∂

鳥 - T

E

s

∂

Vb

一(

q

:-qE

)

∂

U-

U∂

q

a

n+U∂

oE

+

(T:sI TEs)

∂

V-

Ⅴ∂T

:

i

+

V∂TEs

･(

意 dq:

十

景d

T

･

=

S

)B

r

a

･(

｢

莞 dq

a

n

･r

a

景

dT…5) +

-J

s

a

b[(U3-U･｢

潰 )∂

U

ニ

+(-Ub+

U)8

0 :

･(

v

a

-

v十r

a

景)

d

T

=

S

+(-

Vb+V)

∂

T

E

S

-(

o

a

n

-

o･:)∂U

-(

I

:

S

-

T

E

s

)

∂

V

･(

景

d

q

:

･景d

T

a

n

S

)

ara]ds+ (6, となる｡式

(

6 )

から次式が得られる｡ ∵ 図-4 モール･クーロ/の式 U

A

-U -

r

a

意 U b-U

va-V-

｢潰

･

vb-V

ll

q

ニ-

o

E

,T

a

§-T

E

s

(8) 蓋 dqan

･菜

dTans-0

(

9 )

図一3に示すように,破壊によって生じた要素間のずれを

△

U,ひびわれ幅を△Ⅴとすると,式(7)より

△U-Ub-Ua-r

a

△V-Vb-Va-r

a

_

旦

∂

q

:

_

旦

L aT:S ) (", が得られる｡すなわち,降伏関数が明らかてあれは, ラグラ ./ンェの未定乗数

r

aから△Uと△Vを求めることがてきる｡降伏関数fが図

-4

に示すモールクーロンの式の場合は

f-T

ns± C.un手 C

｡

(ll) てあるから蓋 - 1

,

意 -

±

cl

(.2, となる｡これを式(1￠)代入すれば

(5)

12 ひずみ軟化材料の有限要素解析 :伊良故

△U-±

C

.

ra

,

△Ⅴ

-｢3

(13) となり

,

｢■の物理的意味は要素間のずれの量を意味している｡式(5)において,要素内の応力場を釣合応力場に仮定すれば - イブリノト型コンプリノンクリェ不ルギーの原理が次式のように得られる｡ -nc'"'- -

n

i

t

.

+

_J

sab(景 do:

･

景d

T

車

ads (14, ここて.- n:I.こ1

1

rl

i

H

-

JJvnB(

q

u

)

d

xd

y-

JNn(Uqn+VT｡S)ds

+

JsQ(

U古

n+

V妄ns)ds (.5) である｡付帯条件は 0..,

-0

inVn

v=

∇

,

｡=

O

｡nsu) (10 となる｡要素境界で破壊が生じた時 ,硬化による応力の増加がひびわれ幅に比例すると仮定すれば ,塑性条件式は次のようになる｡蓋 (dq≡- CldU )+ 景 (dTan- C2dV

,

-0

(17) この式て

.C

Lと

C

2はそれぞれ引張破壊に対する醇化係数とすべり破壊に対する硬化係数である｡なお,ひずみ軟化に対してほC‖C2が負になる｡式(17)の仮定は近藤が文献

9 )

で示しているヒソン法にひずみ硬化を導入する時の定式化を参考にしている｡式(1加工式(10) を用いて次のように変形される｡

景(

叱 -

C

l

r

潰)

･

景

(

d

T

･

n

.

-C

2 ｢

浩

一

)

-o

(lg 式(18)をラグランジェの未定乗数｢一を用いて.- イブリッド型コンプリノンタリェネルギの原理に導入する

｡

｢一て変分を行った時 ,式(l釦こ一致させる事を考慮に入れれば一nt･H- -

n

t

･

.

･

J

･

(

意d

q

･

n

+

蓋d

T

:

I

)

ds

-i

J

f(

C

･

(

i )

2 +C

2 (

蓋)

2 )

ds (19, となる｡ここで,Scは破壊面である｡ 3.弾塑性剛性方程式の誘導 3- 1 三角形平面要素弾塑性剛性方程式を導くのに応力場 ,変位場 ,ラグランノェの未定乗数を仮定する必要がある｡ここで紘.前報6)示したように,応力場についてはパラメータが12個 ,変位場 ,ラグランジェの未定乗数については線形の分布を仮定する｡すなわち,変位場とラグランジェの未定乗数はそれぞれeo),式el)のように仮定する｡

U

-u.- 0.

S,V

- V,-

t

.

S

Qo) ｢

-r

v.-

ド

.

,

S

eI) このように仮定して得られるのが図-5の二次元 -イブリノドストレスモデルである｡応力場とひずみ･応力関係式については tq)- [B]iP) ￠2) tE

)

- [C]tq) 約を仮定する｡式￠那23)を用いれば式(15)の第一項の桁分は次のようになる｡

J

JvnB(qり)dxdy

-t

PI T[H]

刷 /

2 e4) ここで･[H]

-

J

v｡[B]'[C][B]dxdy

,刷

- (β., β2, β,2)'てある｡式()5)の第2項の積分は全体座標系と局所座標系の応力の変換式および式C20)を用いれば

X

図-5 二次元 /､イブリッドストレスモデル

(6)

琉球大学工学部紀要第36号 ,1988年

J

a

V

n

(

U

q

n+

VTni)ds-

(

β

)'[G]tu〉 eS) となる｡式(15)の荷重項は iF)荷重ベクトルとして次のように表わされる｡

t

n(U言n+

v

TLn,)ds- tuH Fl ￠ゆ式(19)の右辺第2項については式Czl),式￠2)および全体座標系と局所座標系の応力の変換式を用いることで JJ ･

(

蓋 d

q

:+

景 dT:S)ds

-(

β)'[G'](｢) 627) となる｡これらの式の展開については文献 5'に詳しく述べているので, ここでは簡単な説明のみを行っているO ここまでで式(19)の右辺第 1項と第2項についての説明を終った｡次に第3項は塑性条件式にひびわれ幅が入ったために新しく出てきた項であるが, これについて説明を行う｡図- 6の三角形要素の境界に破壊が生じた時は第3項は次のようになる｡

J

図

一6

ひびわれの発生している要素

i

JJ ･[C

･

(

意 )2･C

2 (

景

)

2

]ds

-

i

畑

中

(

豊

)

2

.C

2 (

景

)

2

]ds

-

i tr)1[G-川 ) ここで t｢)1- (｢】r.o｢2｢20｢｡｢38), GH (1,

1 )

-C,.L.,,GH (2,2)-C,.L.,.-/12 G‥ (3,3)-C,,L",GH (4,4)-C,2Lり3/12 G‥ (5,5)-C,,L..,G‥ (6,6)-C,,L対S/12 GH (り )でⅠキ

J

の時はG‥

(

り)

-0である｡また C

=

-

l

c

,

(

意)

2 十

C

2 (

景

)

2

]

;

≡

y

x

.

I

C

･

2 -

l

c

l

(

A )≡+C

2 (

蓋)

2 ]

;

≡

;

2

￠8) 13 C

･

3 -

l

c

･(

豊 )

2

. C

2(

蓋 )

2];=完 ,3 L l,:節点iとjの間の長さである｡式624),￠5),(綿,627),的を式(1如こ代入すれば次のようになる｡一口｡H**-i iβ),[H]

(

β)

-i

β

)'[G]tu)+ tun F)

+

t

P

)TlG']tr)

-

i (r)T[G-]ir) ￠9) 式￠9)で LP

)

,

1

u

l, †｢)について停留条件を求めると ∂ lβ)● [H](β )-[G](u

)

+

[G*](r)-0Oo) ∂(u)-[G二円P)+tF〉-o eH) ∂ (r):[G*]'(β)-[GH](r)-0 的となる｡式的より (｢)を求めと (ド

)

- [GH]L[G']'(β) ￠3) となる｡式83)を式帥こ代入 L lβ)を求めると (β

)

- ([H]+[G･][G-]-1[G･]T)-1[G]tu) 糾となる｡これを式剛に代入すれば次式のように弾塑性剛性方程式が得られる｡ [G]'([H]+[G･][G-r)[G･]')1[G](u

)

-tF) 85) 3-2 棒要素図7に示すような棒要素の弾塑性剛性方程式を求め ,塑性条件をラグランジェの未定乗数法を用いて -イブリノド型コンプリノソタリエネルギーの原理に導入する事の物理的意味について考えてみる｡棒の断面后を一定とし,軸力のみが作用すると仮定すれば [B],[C]は次のようになる｡ [B]

-

[

1 ]

, [C]

-[

i]

㈹

[H]

-

J[B]T[C][B]dxdy

-[

昔 ] 帥

[

G]

は次のように求められる｡

(7)

14 より

弾性定数

: E

断面積

: A

長さ

L

ひずみ軟化材料の有限要素解析 :伊良故 u2葦諾 F2

→

u2 図-7 棒要素を₀

:=牢

u2 図-8 ひびわれが発生した要素

Juxqnds- 一 u.βA + u｡βA

- 1

j

n '[-A +A]tu) [G]-A[-1 +1]

O

g

)

[

G

']は塑性条件式がonのみの関数 :i-qnであるから

J

r% dOnds- 1β},[A]trl より [G*]- [A] となる｡[G●■

]

ほ

一

i

J

r2Cldsニ

ー

i lr),[C.A ](｢) より lGH]- lC.A] 89) ㈹となるO 式67),(咽,@9),(40)を式(35)に代入することで棒要素の弾型性剛性行列 [ku｡]を次のように求めることがてきる｡･k

叩

]

-

葦 [

十王

]

㈹また,ひびわれ幅｢や応力:qnは式的 ,O4)より次のように求めることができる｡

ド

-で著す (u2- u･, un- 謹話 (uz-uL) (42) 図- 7において ,節点 1を固定し,節点 2に軸力

F

2が作用した時の節点

2

の変位u2を弾塑性剛性方程式を用いて求めれば , (43) となる｡これは , 図

-8

に示すように ,要素内にバネ定数 C.のバネを挿入した棒の変位に一致する. すなわち

,∂

f

/

a

on-1

であれは , ラブラ ./ジ工の未定乗数法で塑性条件式を -イ 7■リッド型コンプリノ / クリェネルギの原理に導入する方法の物理的意味は, 要素内に/ミ不を挿入することを意味する｡

4

,数値計算例 4- 1軸力を受ける棒のひずみ軟化解析

3-2

で棒要素の弾塑性剛性方程式を求めた｡この式では

C

Iがある値をとる時に数値計算上発散が起りうる｡そこで , 図- 9に示すように軸力を受ける棒を棒要素と三角形平面要素を用いて解析し,解が発散する時の特性を明らかにする｡なお , この時のひずみ軟化則は図

-1

0

に示すように一直線モデルを仮定する｡ひずみ軟化を示す棒が強制変位G3を受ける時 ,要素内の一ヶ所に破壊が生じたら, この破壊ヶ所のみにひずみが集中する｡このために ,解析では節点2 の右側のみに破壊が生じると仮定するo G3を 0から増加させると応力が引張強度に達するまでほ弾性挙厚さ

: 1

cm

/

E

: 31

0

6

0 0K

gr

/

c

mZ

L

I

チ

;

-一

一

P

}

J

1 /

L

(a

)俸要素図

-9

軸力を受ける棒の解析

(8)

琉球大学工学部紀要第 36号,1988年動を示す｡そして,引張強度に達した後はひびわれ面においてひずみ軟化別を満しなから徐徐に軸力の低下が起こる｡ひずみ軟化が起った時の節点2の変位の増分 ,応力の増分 , ひびわれ幅の増分を式(41), (4g)を用いて求めれば, ･u2-恭 △63, △r-品 △G3 となる｡式(44)で解が発散する時の棒の大きさ

L

cを求

q

n

0

.ニ44.87Kgf/cm2 W l=0.00184cm Cl=-24373Kgf/cm3 15 めればLcニーE/2C--63718cmとなる｡つきに ,同じ問題を図

-9

-(b)に示す三角形平面要素によって解析した結果を図-11に示した｡この図では,L-6 300cmとL-6.350C皿の時は急激な応力解放を伴う軟化を示している｡しかし,L-6370cn)とL-6.372CⅡ】の時は解析不能となっている｡Lが6.300cInと6.400cmの時は応力が増加し見かけ上ひずみ硬化となった｡三角形平面要素で求めた発散の領域は6.350cm<Lc<6 390C皿となり棒理論で求めた値と大体一致する｡図 -11でL>Lcの場合は,Clか負であるにもかかわらず , 引張強度に達した断面の応力が減少することなく増加を起している｡このために,Clが負であれば ,引張強度に達した断面で応力解放ができるように,変位増分を逆向きに加えることにする｡この方法によれは , L>Lcの時でも式(44)から△u2<0,△O｡<0,△｢> 0となりひずみ軟化が起ったことになる｡この方法を図-12に示すように,二本の棒が強制変位を受ける問題に応用する｡図-12では左側の棒がひずみ軟化を起こし,右側の棒のみで荷重を負担する問題である｡なお,中央部の二つの要素 (要素番号3と4) の剛性は非常に小さな値 (E-1.Okgf/cn宇)を用いてい硬化棒理論

1 .

5

1 .

6

1 .

7

1 .

8

1 .

9

2.

0 (

x1

0 -

3 c

m

)

図-11軸力と変位の関係

(9)

1

6

ひずみ軟化材料の有限要素解析 :伊良故るので,この部分は無視できる｡引張破壊後の変位増分△uと鉛直力の増分

△P

の関係は式的の弾塑性剛性方程式を用いて次のように表される｡

(

芋十

器 )

△u-

△p

(45, これより,解が発散する時の条件は

Lc

-E/

C. -1

2 ･

7

4

3

6 c

rqとなる｡すなわち,ここで仮定している材料特性では引張破壊後に発散が起こる｡このために,軟化の勾配

C

1の

0.

9 0,

0.

9

,

1 .

0

,

I

.

01

,

I

.

1

0

倍の

5

ケースについて三角形平面要素を用いて計算した結果を図

-1

3

に示した｡軟化の勾配が

C

lの

0.

9

0

と

0 .

9

倍の時は, し

こ1

2.74

36 cm

E=

310 600k

gr

/c

m/

十

u

十u

lu

垣車重 T

5

r-I-IITTTTT-I5

-蚕

室蚕室】

T

L

辛

3

∴ 占

∫

･'' ...I:...Li..-, 4 '..L5_∴

′′′

′′′′′′′′′′しし ′′′′′′′′′し図

一1

2

軸力を受ける二本の棒のひずみ軟化解析

P(

k

t

f

)

P:

鉛直力の合力

C

J

=

-

2

4

3

7 3K

gr

/

c

mL

与

/ / / / / 引張破壊を生じた棒は完全に応力解放を行い,破壊の生じてない他の 1本の棒のみで荷重を支えている｡軟化勾配がClの時は,当然のことながら,引張破壊後に発散を起こし解を得ることができなかったO 軟化の勾配が

C

lの

1 .

01

と

1 .

1

0

倍の場合は見かけの硬化を示したが,前に述べたように,変位増分を逆向きに加えた所 ,引張破壊を起こした棒は完全に応力を解放し,他の棒だけで荷重を負担していることが解った｡なお, 図

-1

3

において,引張破壊後の荷重の低下の割合は播理論から得られる値と完全に一致する｡ 4-2 CT試験体のひずみ軟化解析本報告で揖案している解析手法を図

-1

4

に示すCT 試験体のひずみ軟化解析に応用する｡このようなCT 試験体の実験および有限要素解析は野村和泉4),六郷ら7)によって行われており,本手法の精度の確認のためには良い例題である｡六郷らの行った実験でのコンクリートは

W/

C-0.

4

3

,圧縮強度は

4

2 .

9 MPa

であり,ひずみ軟化則における諸定数は表 - 1に示す通りである｡表 - 1のCT試験体のリガメソトの長さは

1

5 c

m,

3 0c

m.

6 0c

m

の

3

種類で, これらを各各

Sma

ll, L:

:

.

I

:

I

@47,I

′

(

xl

0 -

3cm)

1 .

01 C

l / i.1

0

C

1 .

0

2.0 3.0 図

-1

3

軸力と変位の関係

(10)

琉球大学工学部紀要第33号,1988年衣- 1 ひずみ軟化曲線 Large Medium Small b(mm) Guo 3l叩 150 fE(kgVcR) 44.87 44,87 44,87 Sl(kgf/cJ) ll.22 ll.22 ll.22 W1(XlO3cm) 2.76 2.54 2.03 W2(XlO3cm) 16,36 17.97 12.92 / / / / / ＼ ≡プア＼/ / ′/ ミ＼＼＼

】

＼ /

1 /

l

/ /

/

/ I ＼ D 図-15

CT

一試験体の要素分割 (粗･分割) Midium,Largeの試験体と称している｡ 4- 1では要素の大きさが解に大きな影響を与えることが分かったが

,

CT

試験体の解析でも要素の大きさが解に影響を与えることは当然予想される｡このために.図-15と図I16に示すように -)ガノント上の要素分割を変えた解析を行った｡図-17に要素分割が粗い時の荷重

P

と開口変位

COD

の関係を示した｡要素分割はLarge,Midium,

Smallの各試験体に対し同じ分割を用いているために,荷重段階ごとのひびわれ進展長さもそれぞれ5 cm,2･5cm,l･2cmとなっている｡このために,ひびわ

+a

n

･

L

;

,

.

誌

,･

r

T J

f

m 口日日

H

U

H

1

-0

P

⇒

T

f

図

-1

4 CT

一試験体 / A ＼ /

I

J

＼ /∫I

∼

1II 】 1 ㌔ -⊥ l C ＼■ / ー ± / l l D 図-16

CT

一試験体の要素分割 (細･分割) れ進展長さの長いLarge,Midium,Smallの順に解の変動が激しくなっている｡特にLarge供試体は3段階日の荷重増分で硬化が起ったために,荷重増分の方向を逆に変えて計算を行った｡ひびわれ面上でひずみ軟化別を満足しているか否かのチェックを各荷重段階ごとで行ったが ,すべて,十分満足していることが分った｡なお, このような例題として,図-19 -(a)に

COD

が0.7240m の時の各ひびわれ面上の応力とひびわれ幅の関係を示した｡図-19-(b)には最初にひびわれが生じた点

(

C

点に近い要素)の荷重段階ごとの応力とひびわれ幅の関係を示してあるカしいず

(11)

18 P (K N ) ひずみ軟化材料の有限要素解析 :伊良故

COD (mm )

図-17 CT一試鉄体の荷重･開口変位曲線 (粗分割)

P (KN)

COD (mm )

図一18 CT_{口変位曲線 (}-試験体の荷重･開_細分_{割 )}

(12)

琉球大学工学部紀要第36号,1988年 Cr n (kgl/cml)

0.

2

W(rTYTl)

0.

2

W (rTlm) OLl

0.

2

W(rTYTl) 図-19 ひびわれ面上の応力とひびわれ幅の関係

(

a

)La

r

g

e

試験体 ,粗分割 ,

COD-0

.

7

2

4 0mm

19 (b)Large試験体,粗分割,最初にひびわれの生じた点 (

C

)

Sma

ll試験体,細分割,

COD-0

.

3

0

1 8mm

(

d

)Sma

ll試挨体,細分割,最初にひびわれの生じた点

(13)

20 ひずみ軟化材料の有限要素解析 :伊良故

九もひずみ軟化別を満足していることが分かる｡図-18には要素分割が細かい時の

P

と

COD

関係を示した｡この時の荷重段階ごとのひびわれの進展長さはLargeで2･5cm,Midiumで 1.25C山,Smallで0625C山

となっている｡図-18において,Large試験体で多少の変動が見られるが全体的に変動は小さく実験値に近い値となっている｡Large試験体における変動は , ひびわれが生じた境界の応力がひずみ軟化曲線の第 1勾配に入った時にPが減少し,第2勾配に入った時に

P

の増加が起っているO このような変動は

COD

が

0 .

7953m まで続き,それ以後は硬化を生じる点が発生したが,荷重増分を逆方向に加えることで解を求めた｡ひびわれ面におけるひずみ軟化別のチェックは,いずれの荷重段階でも十分に満足している｡このような例題として ,図-19(｡)に

COD

が0.3018mmのときの Small試験体のひびわれ面での応力とひびわれ幅の関係を示した｡また,図- 19-(d)には ,最初にひびわれが生じた境界の荷重段階ごとの応力とひびわれ関係を示した｡図一20にはリカメ / ト上の応力分布の変化を示した｡これよりひびわれ面上の応力分布の特 (a)試験体 Large 徴はひびわれ発生後の急激な低下とそれに続くゆるやかな直線的に低下する部分からなることが分かる｡このことは,ひずみ軟化曲線の第 1勾配が急激な応力低下部に対応し,第2勾配がゆるやかな低下部に対応していることを示している｡ U n(kgf/crn2) (b)試験体 Medlum (C)試験体 Small 図 -2

0 CT

一試験体のリカノント上の応力分布

(14)

琉球大学工学部紀要第 36号,1988年

5.

むすび本報告では , 仮想ひびわれモデルを仮定した時のひずみ軟化別を直接に - イブリノド型コンプリノソクリェ不ルギの原理に導入する方法を示した｡この方法から得られる弾塑性剛性方程式を用いれば , ひびわれが要素境界に発生しても全体剛性マトリックスの大きさが増加することはない｡棒要素と三角形平面要素を用いて ,棒のひずみ軟化解析を行った結果 ,要素の大きさとひずみ軟化曲線の勾配によっては数値計算上発散や硬化が起こる｡ 4-1で示したように発散は , ある一点だけで起こるのて,発散はめったに起らないと云える｡しかし, 硬化はCT試験体のひずみ軟化解析に見られるように,要素が大きい時はいつでも起こりうるO 硬化が起った時の計算手法は荷重増分の方向を逆にすることである｡このような方法でCT試験体のひずみ軟化解析を行ったところ, ひびわれ面での応力とひびわれ幅の関係はひずみ軟化別を満たすことを確認した｡また, 得られた荷重 -開口変位曲線もほは実験値に一致する｡謝辞本研究にあたり,数値計算やデータ整理に御助力をいただいた本学科卒業生 :崎浜秀仁氏 (首都高速道路公団),安仁星聡氏 (松村組 )官艮直好氏 (沖縄富士通) に感謝の意を表します｡参考文献

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