l l /2 l /2 A B C D W 材料力学Ⅱ 復習問題 #09

材料力学Ⅱ 復習問題 #09

長さ

l

，直径

d

，縦弾性係数

_E

の

2

本の円形断面部材の端

B

同士を直角に剛節接合し，さらに，

AB

が水平・BC が鉛直にな るように，その両端

A

と

C

を剛体壁と剛体床に完全に固定し てラーメン構造とした．AB の中点

D

に，鉛直下向きの集中荷 重W をかけるとき，荷重点の変位を求めよ．また，最大曲げ応 力を求めよ．ただし，軸力やせん断力による変形や応力は無視 して良い．

l W

l/2 l/2

A B

C

D

材料力学Ⅱ

-2014

復習問題 #09

(2014.06.24)

（解答例１）

軸力による変形は無視して良いので，ABおよび BCの伸びは 0 であり，点Bの変位は0である（たわみ角は0ではない）．B点 で部材を分け，部材 ABの B断面で図のような内力（軸力

NB^，

せん断力QB^{，曲げモーメント}M_B）を考える．作用反作用によ り，部材BCのB断面には図のような内力が生じている．

図のように座標

1, 1, 2, 2

x y x y ^{をとる．たわみは}

1 2

1

1 B 1 B

2 1

2 2

1

1A 1 1 B 1 1 B 1

1

2 3 2 3 B 2

1 1A 1A 1 1 B 1 1 1

0 / 2

1 1

( )

2

1 1 1 1

2 2 2

1 1 1 1 1

4 6 2 6 2

z z

z

z

x

d v M

W l x Q l x M

dx EI EI

dv i W lx x Q lx x M x

dx EI

v v i x W lx x Q lx x M x

EI

 

   

         

     

         

   

 

     

          

 

1 2

1

B 1 B

2 1

2 2

1

1D B 1 1 B 1

2 3 2 3 2 2

1 1D 1D 1 B 1 1 1 B 1 1

/ 2

1 ( )

1 1 3 1

2 8 2

1 1 1 3 1 1 1 1

2 2 6 8 12 2 2 8

z

z

z

x

d v Q l x M

dx EI

dv i Q lx x l M x l

dx EI

v v i x l Q l x x l x l M x lx l

EI

 

  

    

         

 

     

              

      

2 2

2

B 2 B

2 2

2 B 2

2B 2 B 2

2

3 2

B B

2 2B 2B 2 2 2

0

1 ( )

1 2

1

6 2

z

z

z

x

d v N x M

dx EI

dv N

i x M x

dx EI

N M

v v i x x x

EI

 

 

 

    

 

 

     

 

条件は (1) Ａ,Ｃ点で固定支持条件： ^{1 2}

1 1 2 2

1 2

0 dv 0, 0 dv 0, 0

x v x l v

dx dx

     

(2) Ｄ点で連続条件 ^{1 1}

1 1 1

1 1

2 ,

l dv dv

x v v

dx dx

  

(3) Ｂ点でラーメン構造の変形条件

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2 0

0 0 0

x l x

dv dv

x l v x v

dx _ dx _

    

上記の9条件でN_B,Q M_B, _B,i_1A,v_1A,i_1D,v_1D,i_2B,v_2B^{を決めれば良い．}

2 2 3

B B B 1A 1A 2B 2B 1D 1D

3 13 1 25 11

, , , 0, , ,

32 32 16 64 256 1536

Wl Wl Wl

N W Q W M Wl i v v i i v

EI EI EI

            

荷重点の変位は

3 3

1D 4

11 11

1536 24

Wl Wl

v EI Ed

 ^{  } 

最大曲げ応力は曲げモーメントの絶対値が最大になる断面で生じる．曲げモーメントは

W

l/2 l/2

A N

B

D Q

B

M

B

B x

1

B y

₁

B

l

C N

B

B

M

B

y

2

B B

x

2

B

Q

B

 

B B 1 1 1 1

B B 1 1 1

B B 2 2 2

( ) / 2 1 ( 5 19 ) (0 / 2)

32

( ) 1 (11 13 ) ( / 2 )

32

1 ( 2 3 ) (0 )

32

M Q l x W l x W l x x

M M Q l x W l x x

M N x W l x x

         



      

      



曲げモーメント図は右の通りであり，

A D B C

5 9 1 1

, , ,

32 64 16 32

M   Wl M  Wl M   Wl M  Wl である．よって，最大曲げ応力は

max A

max 3 3

5 / 32 5 / 32

M M Wl Wl

Z Z d d

 ^{  } ^

となる．

（解答例２）静定はりのたわみが既知の場合･･･重ね合わせ法を用いて･･･

教科書142頁(48)a式，(48)b式および147頁(52)式を用いて，方向を合わせて解を重ね合わせると，

2 2 3 3 2

B B B B

1B/AB 1B/AB

2 3 2

B B B B

2B/CB 2B/CB

, 5

8 2 48 3 2

2 , 3 2

Wl Q l M l Wl Q l M l

i v

EI EI EI EI EI EI

N l M l N l M l

i v

EI EI EI EI

     

    

と求められる．B点での変形の条件 i_1B/ABi_2B/CB, v_1B/AB0, v_2B/CB0 ^より

B B B B B B

B B

, 5 0, 0

8 2 2 48 3 2 3 2

Wl Q l N l Wl Q l M N l M

M M

         

である．これを解いて， _B 3 _B 13 _B 1

, ,

32 32 16

N   W Q   W M   Wl^{と求められる．}

（解答例３）最小仕事の原理とカスティリアノの第2定理を用いて･･･

不静定力をM_B,Q N_B, _Bとして，弾性ひずみエネルギーは

 

/ 2 2 2 2

B B 1 1 1 B B 1 1 B B 2 2

0 / 2 0

1 { ( ) / 2 } { ( )} ( )

2

l l l

U M Q l x W l x dx l M Q l x dx M N x dx

EI

 

 



    



  



 

最小仕事の原理

B B B

0, 0, 0

U U U

M Q N

  

  

   ^{より B B B}

3 13 1

, ,

32 32 16

N   W Q   W M   Wl ^が求め られる．また，荷重点の変位は U

  ^W

 ^{で求められる．}

※解答例１で，A点の反力，反モーメントを用いて，曲げモーメントを

 

A A 1 1

A A 1 1 1

A A 2 A 2

(0 / 2)

/ 2 ( / 2 )

/ 2 (0 )

M R x x

M M R x W x x

M H x R W x

  



     

     



として微分方程式を解いてたわみを求め，A点の固定条件（2 本），D点 の連続条件（2本）およびB点の変形条件（3本），C点の固定条件（2本）

計9本の条件で

A, A, A,1A, 1A,1D, 1D, 2B, 2B

M R H i v i v i v ^{を求めても良い．}

x

2

B A

M

B C

D

x

1

l W

l/2 l/2

A B

C D M

_A

R

A

H

A